高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.1圆的切线学案新人教B版选修4-1(2021学年)

２0１７-2018学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.１圆的切线学案新人教B版选修4-１
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１．2。

1 圆的切线
［对应学生用书P１５]
[读教材·填要点]
1.直线与圆的位置关系
(1)相离:直线和圆没有公共点,称直线和圆相离.
（2）相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径,则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.
（3）相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点,则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点．
２．圆的切线判定定理
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
３．圆的切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等．
推论2:经过圆外的一个已知点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角.
4．三角形的内切圆、旁切圆
(1）内切圆:与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．
（2）旁切圆:与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆,叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆．
[小问题·大思维]
1．下列关于切线的说法中,正确的有哪些?
①与圆有公共点的直线是圆的切线;
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;
④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.
提示:由切线的定义及性质可知，只有③④正确.
2．圆的切线的判定方法有哪些？
提示:圆的切线的判定方法有:
(1）定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(２）几何法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.
（３)判定定理：过圆的半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
［对应学生用书P16]
切线的判
定
[例1] 如图所示,已知AB是⊙O的直径,ＢC是⊙Ｏ的切线,切点为B,OC平行于弦AD。

求证:ＤC是⊙O的切线．
［思路点拨] 本题考查圆的切线的判定方法．解决本题只要证明OＤ⊥CＤ即可.
［精解详析] 如图,连接ＯＤ.
∵ＯＣ∥AD，∴∠3=∠1，∠4=∠2.
∵OD＝OA，∴∠1＝∠2，∴∠4=∠3．
∵ＯD=OＢ,OC＝OC,
∴△DOC≌△BOC。

∴∠CDＯ＝∠CＢO。

∵AＢ是直径,ＢC是切线,
∴∠CBＯ=9０°,∴∠ＣＤO＝90°。

∴DC是⊙O的切线.
证明某条直线是圆的切线,有以下规律:
(１）若已知直线经过圆上的某一点,则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径,简记为“连半径,证垂直”;
（2)若直线与圆的公共点没确定，应过圆心作直线的垂线，得到垂线段,再证明这条垂线段的长等于半径,简记为“作垂直,证半径”．
１．如图所示,在△ABC中，已知AＢ＝AC,以ＡＢ为直径的⊙O交ＢC于点D,DE⊥ＡＣ于点Ｅ.
求证:DＥ是⊙O的切线.
证明:连接ＯD和AＤ,如图所示.
∵AB是⊙O的直径，∴ＡD⊥ＢC。

又∵AB＝AC,∴BＤ=ＣＤ.
∵AO=ＯB,∴ＯD∥AC.
∵DE⊥AC，∴DＥ⊥OD,
∴ＤＥ是⊙O的切线.
切线的性质及判定定理的
应用
［例2] 如图，OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥ＯB,Ｐ是OＡ上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q，过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，求证:△ＰQR为等腰三角形．
［思路点拨］本题考查切线的性质的应用．解答本题需要证明△ＰQR中的两个角相等,因为ＱR为切线，故可考虑连接OＱ，得到垂直关系,然后再证明.
［精解详析] 连接ＯQ．
因为QR是⊙O的切线,所以OQ⊥QR.
因为OＢ=OＱ，
所以∠B＝∠OQB．
因为ＢO⊥OA,
所以∠BＰO=90°－∠B=∠RPQ，
∠PQR=90°-∠OQP.
所以∠RＰQ＝∠PＱR.
所以RP=RQ,所以ＰＱR为等腰三角形．
(１)圆的切线的性质定理及它的两个推论,概括起来讲就是三点：①经过圆心；②切线长相等;③平分切线的夹角．
(２）若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得垂直关系.
2．如图，ＡB是⊙O直径,弦ＣD∥AB，连接AD,并延长交⊙O过B点的切线于E点，作EG⊥AＣ交AC的延长线于G点.
求证：ＡC=CG。

证明：如图，连接BC交AＥ于F点.
∵AB∥CD,∴∠1=∠３。

又∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即AF＝BF。

①
AB为⊙O的直径,BE为⊙O的切线,
∴错误!,
∴∠4＝∠5，即FＥ＝ＢF。

②
由①②得AF＝FE.③
又AＢ为⊙O的直径,∴BC⊥ＡG。

又EG⊥AＧ,
∴ＢC∥EＧ。

④
由③④得AC=CＧ.
［例3] 某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向４5海里的Ｂ处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号,但是轮船没有收到这一信号,直到又继续前进了15海里到达C处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号．(１)若轮船收到第一次信号后,为避免触礁,航向改变角度至少为东偏北多少度．
(2）当轮船收到第二次信号后,为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度?
[思路点拨］（１）根据题意转化为B作暗礁区域圆的切线问题.
(2)与（1)问思路一致,在C处作暗礁区域圆的切线求解．
[精解详析] (1)如图所示,圆心A为暗礁区中心的哨所位置，⊙A的半径为１5海里．过点Ｂ作⊙Ａ的切线，Ｄ是切点,连接DＡ.
由切线的性质定理，知∠ADB＝90°.
在Ｒt△ABＤ中,ｓin∠ABＤ=错误!=错误!＝错误!。

∵sin 2０°≈1
3
,∴∠ABD≈20°.
∴当轮船第一次收到危险信号时，所改变角的度数应至少为东偏北２0°。

(2)过点C作⊙A的切线，Ｅ为切点,连接AE.
由切线的性质定理,知∠AEC＝90°。

在Rt△AＣE中，∵AC＝45－15＝３0,
∴sin∠ACＥ=错误!=错误!＝错误!，∴∠AＣE=３0°。

∴当轮船第二次收到危险信号时，所改变角的度数应至少为东偏南30°．
解决实际问题要善于抓住问题的特征-—动切线的特殊位置,分析切线的变化规律,从“变"中找出“不变”，使问题简单化.
3.如图,AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点D,ＡB、ＡC与圆相交于点E、Ｆ.则ＡE·AＢ与A Ｆ·AC有何关系？请给予证明．
解：AE·AB＝AF·AC．证明如下：
连接DＥ。

∵AD为⊙Ｏ的直径，∴∠DEA＝９0°。

又∵BC与⊙Ｏ相切于点D,
∴AＤ⊥BC，即∠AＤＢ=90°。

由射影定理知,AD２=AＢ·AE。

同理AD2=ＡＦ·ＡＣ。

∴AE·AＢ＝AF·ＡC。

[对应学生用书P17]
一、选择题
１.ＡＢ是⊙O的切线,在下列给出的条件中,能判定ＡB⊥CD的是（）
A.AB与⊙O相切于直线ＣD上的点C
B.ＣＤ经过圆心Ｏ
C．CD是直径
D．AB与⊙O相切于C,ＣD过圆心O
解析:圆的切线垂直于过切点的半径或直径.
答案:D
2.如图所示，AB是⊙O的直径,BＣ是⊙O的切线,AC交⊙O于D，ＡB＝6,BC=8,则BD=( )
A.４Ｂ.４。

8
Ｃ.5。

2 ﻩ D.6
解析:∵BC是⊙O的切线，
∴△ＡBC是直角三角形.
∴ＡC= 错误!=１0。

∵AB是直径,∴AC⊥ＢＤ。

∵AB2＝AＤ·AC，
∴AD＝错误!=错误!＝错误!。

∴CD=1０－错误!＝错误!．
∵BＤ２=CD·AＤ,
∴ＢD=错误!=错误!=4。

８。

答案:B
3.如图所示,EB是半圆⊙O的直径，A是BE延长线上一点,AC⊥BC于C,且AC是半圆的切线，切点为Ｄ，连接OD,若AC=１2，BC＝9,则OD的长为( )
A．5 B．错误!
C.6 ﻩD．４
解析：∵ＡC＝12,ＢC＝９,
∴AB=错误!＝15。

∵AC为半圆的切线，∴OD⊥ＡC。

又∵AC⊥BC,∴ＯＤ∥BC。

∴错误!=错误!，∴错误!=错误!,
∴OD＝4５8
.
答案:B
4.已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为３0°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC ＝5，则⊙Ｏ的半径是（)
A。

错误!B．错误!
C.1０ﻩ
D.5
解析:如图，连接ＯＣ,则OＣ⊥PC,∵∠PＡC＝∠OCＡ＝３０°
∴∠COP=６0°,在 Rt△ＰCO中,ＰC＝５,
则OC＝
PC
tan∠COＰ
＝错误!=错误!.
答案：A
二、填空题
5.如图,在Ｒt△ABC中,∠C=9０°,AC=１5 cm，ＡB=２５cm,以Ｃ点为圆心,12 ｃm为半径的圆和ＡB的位置关系是___＿_＿_＿.
解析:过点C作CD⊥AB，
∵AC=15 ｃm，ＡB＝２５cm,∴BＣ=20 cm．
∴ＣＤ＝错误!=１２(ｃm）．
∴半径为12 cm的⊙C与AB相切．
答案：相切
6．如图，在菱形AＢＣD中,对角线AC=６ｃm，BＤ＝８ｃm,以Ａ为圆心,ｒ为半径的圆与ＢC相切,则ｒ为_＿__＿___ cｍ.
解析:∵AＣ＝６ｃm，BＤ＝8 ｃｍ,
∴OB＝4 cｍ，OC=３ cm。

∴BC＝＼r(OC2+OB２）＝5 ｃm。

∵S△ABC=错误!AC·BO＝错误!×６×４=１2 cｍ2，
又∵Ｓ△ABC=＼f(1,2）BC·AE=＼f（1,2)×5r，
∴12=＼f(5r，2)。

∴r=错误! cm。

答案:错误!
7.如图，是两个滑轮工作的示意图,已知⊙O１，⊙O2的半径分别为４cｍ,２ cm,圆心距为１０ cm,AB是⊙Ｏ1,⊙O2的公切线,切点分别为A,B，则公切线AB的长为＿_＿_____ cｍ．
解析:如图所示.
分别连接O1A,O2Ｂ.设AＢ与O1O2交于C，则有
△ＢCO2∽△ACO１,
∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!.
解得O１C＝错误!。

∴O2C=10-错误!=错误!.
∴ＡB=＼r（O1Ｃ２－Ｏ１A2）+错误!
= ＼r(＼ｆ(4０0,９)－16）＋错误!
＝８.
答案:８
８.如图,ＡB为⊙O的直径，过Ｂ点作⊙Ｏ的切线BC,OC交⊙O于点E,ＡE的延长线交BC 于点D，若AＢ=BＣ=2 ｃｍ,则CＥ=_＿_＿____，CD=＿＿__＿＿_＿。

解析:∵ＢＣ是⊙O切线,AB为直径,
∴∠ABD＝90°。

∵AB＝2。

∴OB＝1.
又∵ＢC=2，∴OC＝错误!＝错误!。

又∵OＥ=1,
∴CE＝(＼r(5）－1) cｍ.
连接BE。

不难证明△CＥD∽△CBE，
∴错误!＝错误!.
∴ＣE2＝CＢ·CD。

∴(错误!-1)２=2CD．
∴CD＝（3-错误!) cｍ。

答案:(5-１） cm （３－错误!） cｍ
三、解答题
9.如图,已知AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上，ＢＤ＝ＯＢ，点C 在圆上,∠CAB＝30°，求证：DＣ是⊙Ｏ的切线.
证明:连接OC、BC，
∵ＡB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。

∵∠CAB=３0°,
∴BＣ＝＼ｆ(1，２)AB＝BＯ,
又∵BD=BO,∴BC=BO＝BD。

则△ＯCD是直角三角形．
∴ＯC⊥CD，
∵OC是⊙Ｏ的半径.
∴ＤC是⊙O的切线.
1０.如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于Ｃ、D，大圆的弦ＥＦ切小圆于C,ED 交小圆于G,若小圆的半径为2，EＦ=4错误!,试求EＧ的长.
解:连接GC,则GC⊥ＥD.
∵EF和小圆切于C，
∴ＥF⊥CD,ＥC＝错误!EＦ＝2错误!.
又CD＝4,∴在Rt△ＥCD中,
有ＥD＝错误!
＝错误!＝2错误!。

由射影定理可知EＣ2=EG·ED,
∴ＥＧ＝EC２
ＥＤ
=错误!＝错误!。

11．如图,已知AB是⊙Ｏ的直径,锐角∠DAＢ的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥ＡD，垂足为D,直线ＣD与AB的延长线交于点E。

(1)求证:直线ＣD为⊙O的切线;
(２)当AＢ=2ＢＥ,且ＣE＝错误!时,求AD的长．
解：(1)证明:连接ＯC，
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC＝∠CAＢ．
∵OA＝OＣ,∴∠OCA＝∠CＡＢ,
∴∠OCA＝∠DAＣ，∴AD∥CO.
∵ＣD⊥ＡＤ，∴OC⊥DＥ，
∴CD为⊙O的切线．
（2）∵AB＝2ＢO，AＢ=2BE,
∴ＢO＝BE=CO.
设ＢO=ＢE=ＣO=x,
则ＯＥ＝2x.
在Ｒt△OCE中，
OC2+ＣE2＝OＥ２,则
x2＋（３)2=（２ｘ）2,
∴x=１，
∴AE＝３，∠Ｅ=30°,AD=错误!．
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