高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.1圆的切线学案新人教B版选修4-1(2021学年)
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2017-2018学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.1圆的切线学案新人教B版选修4-1
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1.2。
1 圆的切线
[对应学生用书P15]
[读教材·填要点]
1.直线与圆的位置关系
(1)相离:直线和圆没有公共点,称直线和圆相离.
(2)相交:如果圆心到一条直线的距离小于半径,则这条直线和该圆一定相交于两点,此时称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.
(3)相切:如果一条直线与一圆只有一个公共点,则这条直线叫做这个圆的切线,公共点叫做切点.
2.圆的切线判定定理
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.圆的切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论1:从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等.
推论2:经过圆外的一个已知点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角.
4.三角形的内切圆、旁切圆
(1)内切圆:与一三角形三边都相切的圆,叫做这个三角形的内切圆.
(2)旁切圆:与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆,叫做三角形的旁切圆,一个三角形有三个旁切圆.
[小问题·大思维]
1.下列关于切线的说法中,正确的有哪些?
①与圆有公共点的直线是圆的切线;
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;
④过直径的端点,垂直于此直径的直线是圆的切线.
提示:由切线的定义及性质可知,只有③④正确.
2.圆的切线的判定方法有哪些?
提示:圆的切线的判定方法有:
(1)定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)几何法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.
(3)判定定理:过圆的半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
[对应学生用书P16]
切线的判
定
[例1] 如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD。
求证:DC是⊙O的切线.
[思路点拨] 本题考查圆的切线的判定方法.解决本题只要证明OD⊥CD即可.
[精解详析] 如图,连接OD.
∵OC∥AD,∴∠3=∠1,∠4=∠2.
∵OD=OA,∴∠1=∠2,∴∠4=∠3.
∵OD=OB,OC=OC,
∴△DOC≌△BOC。
∴∠CDO=∠CBO。
∵AB是直径,BC是切线,
∴∠CBO=90°,∴∠CDO=90°。
∴DC是⊙O的切线.
证明某条直线是圆的切线,有以下规律:
(1)若已知直线经过圆上的某一点,则需作出经过这一点的半径,证明直线垂直于这条半径,简记为“连半径,证垂直”;
(2)若直线与圆的公共点没确定,应过圆心作直线的垂线,得到垂线段,再证明这条垂线段的长等于半径,简记为“作垂直,证半径”.
1.如图所示,在△ABC中,已知AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E.
求证:DE是⊙O的切线.
证明:连接OD和AD,如图所示.
∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC。
又∵AB=AC,∴BD=CD.
∵AO=OB,∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线.
切线的性质及判定定理的
应用
[例2] 如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q,过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R,求证:△PQR为等腰三角形.
[思路点拨]本题考查切线的性质的应用.解答本题需要证明△PQR中的两个角相等,因为QR为切线,故可考虑连接OQ,得到垂直关系,然后再证明.
[精解详析] 连接OQ.
因为QR是⊙O的切线,所以OQ⊥QR.
因为OB=OQ,
所以∠B=∠OQB.
因为BO⊥OA,
所以∠BPO=90°-∠B=∠RPQ,
∠PQR=90°-∠OQP.
所以∠RPQ=∠PQR.
所以RP=RQ,所以PQR为等腰三角形.
(1)圆的切线的性质定理及它的两个推论,概括起来讲就是三点:①经过圆心;②切线长相等;③平分切线的夹角.
(2)若题目条件中有圆的切线,可考虑连接圆心和切点,则得垂直关系.
2.如图,AB是⊙O直径,弦CD∥AB,连接AD,并延长交⊙O过B点的切线于E点,作EG⊥AC交AC的延长线于G点.
求证:AC=CG。
证明:如图,连接BC交AE于F点.
∵AB∥CD,∴∠1=∠3。
又∵∠2=∠3,
∴∠1=∠2,即AF=BF。
①
AB为⊙O的直径,BE为⊙O的切线,
∴错误!,
∴∠4=∠5,即FE=BF。
②
由①②得AF=FE.③
又AB为⊙O的直径,∴BC⊥AG。
又EG⊥AG,
∴BC∥EG。
④
由③④得AC=CG.
[例3] 某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出危险信号,但是轮船没有收到这一信号,直到又继续前进了15海里到达C处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号.(1)若轮船收到第一次信号后,为避免触礁,航向改变角度至少为东偏北多少度.
(2)当轮船收到第二次信号后,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度?
[思路点拨](1)根据题意转化为B作暗礁区域圆的切线问题.
(2)与(1)问思路一致,在C处作暗礁区域圆的切线求解.
[精解详析] (1)如图所示,圆心A为暗礁区中心的哨所位置,⊙A的半径为15海里.过点B作⊙A的切线,D是切点,连接DA.
由切线的性质定理,知∠ADB=90°.
在Rt△ABD中,sin∠ABD=错误!=错误!=错误!。
∵sin 20°≈1
3
,∴∠ABD≈20°.
∴当轮船第一次收到危险信号时,所改变角的度数应至少为东偏北20°。
(2)过点C作⊙A的切线,E为切点,连接AE.
由切线的性质定理,知∠AEC=90°。
在Rt△ACE中,∵AC=45-15=30,
∴sin∠ACE=错误!=错误!=错误!,∴∠ACE=30°。
∴当轮船第二次收到危险信号时,所改变角的度数应至少为东偏南30°.
解决实际问题要善于抓住问题的特征-—动切线的特殊位置,分析切线的变化规律,从“变"中找出“不变”,使问题简单化.
3.如图,AD是⊙O的直径,BC切⊙O于点D,AB、AC与圆相交于点E、F.则AE·AB与A F·AC有何关系?请给予证明.
解:AE·AB=AF·AC.证明如下:
连接DE。
∵AD为⊙O的直径,∴∠DEA=90°。
又∵BC与⊙O相切于点D,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°。
由射影定理知,AD2=AB·AE。
同理AD2=AF·AC。
∴AE·AB=AF·AC。
[对应学生用书P17]
一、选择题
1.AB是⊙O的切线,在下列给出的条件中,能判定AB⊥CD的是()
A.AB与⊙O相切于直线CD上的点C
B.CD经过圆心O
C.CD是直径
D.AB与⊙O相切于C,CD过圆心O
解析:圆的切线垂直于过切点的半径或直径.
答案:D
2.如图所示,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,AC交⊙O于D,AB=6,BC=8,则BD=( )
A.4B.4。
8
C.5。
2 ﻩ D.6
解析:∵BC是⊙O的切线,
∴△ABC是直角三角形.
∴AC= 错误!=10。
∵AB是直径,∴AC⊥BD。
∵AB2=AD·AC,
∴AD=错误!=错误!=错误!。
∴CD=10-错误!=错误!.
∵BD2=CD·AD,
∴BD=错误!=错误!=4。
8。
答案:B
3.如图所示,EB是半圆⊙O的直径,A是BE延长线上一点,AC⊥BC于C,且AC是半圆的切线,切点为D,连接OD,若AC=12,BC=9,则OD的长为( )
A.5 B.错误!
C.6 ﻩD.4
解析:∵AC=12,BC=9,
∴AB=错误!=15。
∵AC为半圆的切线,∴OD⊥AC。
又∵AC⊥BC,∴OD∥BC。
∴错误!=错误!,∴错误!=错误!,
∴OD=458
.
答案:B
4.已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过C点的切线PC与AB的延长线交于P,PC =5,则⊙O的半径是()
A。
错误!B.错误!
C.10ﻩ
D.5
解析:如图,连接OC,则OC⊥PC,∵∠PAC=∠OCA=30°
∴∠COP=60°,在 Rt△PCO中,PC=5,
则OC=
PC
tan∠COP
=错误!=错误!.
答案:A
二、填空题
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15 cm,AB=25cm,以C点为圆心,12 cm为半径的圆和AB的位置关系是________.
解析:过点C作CD⊥AB,
∵AC=15 cm,AB=25cm,∴BC=20 cm.
∴CD=错误!=12(cm).
∴半径为12 cm的⊙C与AB相切.
答案:相切
6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6cm,BD=8cm,以A为圆心,r为半径的圆与BC相切,则r为________ cm.
解析:∵AC=6cm,BD=8 cm,
∴OB=4 cm,OC=3 cm。
∴BC=\r(OC2+OB2)=5 cm。
∵S△ABC=错误!AC·BO=错误!×6×4=12 cm2,
又∵S△ABC=\f(1,2)BC·AE=\f(1,2)×5r,
∴12=\f(5r,2)。
∴r=错误! cm。
答案:错误!
7.如图,是两个滑轮工作的示意图,已知⊙O1,⊙O2的半径分别为4cm,2 cm,圆心距为10 cm,AB是⊙O1,⊙O2的公切线,切点分别为A,B,则公切线AB的长为________ cm.
解析:如图所示.
分别连接O1A,O2B.设AB与O1O2交于C,则有
△BCO2∽△ACO1,
∴错误!=错误!,即错误!=错误!.
解得O1C=错误!。
∴O2C=10-错误!=错误!.
∴AB=\r(O1C2-O1A2)+错误!
= \r(\f(400,9)-16)+错误!
=8.
答案:8
8.如图,AB为⊙O的直径,过B点作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC 于点D,若AB=BC=2 cm,则CE=________,CD=________。
解析:∵BC是⊙O切线,AB为直径,
∴∠ABD=90°。
∵AB=2。
∴OB=1.
又∵BC=2,∴OC=错误!=错误!。
又∵OE=1,
∴CE=(\r(5)-1) cm.
连接BE。
不难证明△CED∽△CBE,
∴错误!=错误!.
∴CE2=CB·CD。
∴(错误!-1)2=2CD.
∴CD=(3-错误!) cm。
答案:(5-1) cm (3-错误!) cm
三、解答题
9.如图,已知AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C 在圆上,∠CAB=30°,求证:DC是⊙O的切线.
证明:连接OC、BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°。
∵∠CAB=30°,
∴BC=\f(1,2)AB=BO,
又∵BD=BO,∴BC=BO=BD。
则△OCD是直角三角形.
∴OC⊥CD,
∵OC是⊙O的半径.
∴DC是⊙O的切线.
10.如图,已知两个同心圆O,大圆的直径AB交小圆于C、D,大圆的弦EF切小圆于C,ED 交小圆于G,若小圆的半径为2,EF=4错误!,试求EG的长.
解:连接GC,则GC⊥ED.
∵EF和小圆切于C,
∴EF⊥CD,EC=错误!EF=2错误!.
又CD=4,∴在Rt△ECD中,
有ED=错误!
=错误!=2错误!。
由射影定理可知EC2=EG·ED,
∴EG=EC2
ED
=错误!=错误!。
11.如图,已知AB是⊙O的直径,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E。
(1)求证:直线CD为⊙O的切线;
(2)当AB=2BE,且CE=错误!时,求AD的长.
解:(1)证明:连接OC,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAB,
∴∠OCA=∠DAC,∴AD∥CO.
∵CD⊥AD,∴OC⊥DE,
∴CD为⊙O的切线.
(2)∵AB=2BO,AB=2BE,
∴BO=BE=CO.
设BO=BE=CO=x,
则OE=2x.
在Rt△OCE中,
OC2+CE2=OE2,则
x2+(3)2=(2x)2,
∴x=1,
∴AE=3,∠E=30°,AD=错误!.
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