函数的概念与定义域

函数的概念与定义域
一、函数的概念
一、映射
1．映射：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有惟一元素和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：;
2．象与原象：如果是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素对应的元素叫做象， 叫做原象;3.映射的性质：
①方向性：集合A 到集合B 的映射与集合B 到集合A 的映射是不同的;
②任意性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都要有象，但不要求B 中的每一个元素在A 中都要有原象;
③惟一性：集合A 中元素的象是惟一的，即“一对一”、“多对一”是允许的，但“一对多”是不允许的.二、函数
1．定义：设A 、B 是两个非空数集，是从A 到B 的一个映射，则映射就叫做A 到B 的函数，记作：;
2．函数的三要素为:定义域、值域、对应法则，两个
f B A f →:B A f →:a a B A f →:B A f →:()x f y =
函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，二者才能称为同一函数;
3．函数的表示法有：解析式、列表法、图像法.例1、（1）给出下列四个对应,是映射的是（ ）
① ② ③ ④
A.②④
B.①②
C. ②③
D.①④
(2)设在下图中,能表示从集合
{}{}|02,|12,A x
x B y y =≤≤=≤≤A
.
A .
B .
D .
C
(3)已知集合，，下列不表示从到的映射是
： ∶ ∶ ∶例2、（1）已知在映射作用下的象是.
①求在作用下的象
② 若在作用下的象是，求它的原象
（2）给定映射，点的原象是
{}04P x x =≤≤{}02Q x x =≤≤P Q .
A f x y x 21=→.
B f x
y x 31
=→.C f x y x 3
2
=→.D f x
y x =→(),x y f (),x y xy +()2,3-f f ()2,3:(,)(2,)f x y x y xy →+()2,4
（3）设集合和都是实数集，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，象的原象组成的集合是( ) 二、区间的概念
设是两个实数，而且，规定：
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，
表示为；
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，
表示为；
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开
半闭区间，表示为，．
这里的实数与都叫做相应区间的端点。

A B B A f →:A x B 1
3
+-x x
f
1.A {}1.B {}1,0,1-.C {}0.D {}
2,1,0--,a b a b <a x b ≤≤x [,]a b a x b <<x (,)a b a x b ≤<a x b <≤x [,)a b (,]a b a b
在数轴上，这些区间可以用一条以和为端点的线
段来表示（如下表），在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，空心点表示不包括在区间内的端点。

例3（1）用区间表示下列集合：
（1）； （2）且； （3）或．
a b {|||3}x x ≤{|x x R ∈0}x ≠{|2x x ≤-1}x >
（2）已知集合，或，用区间表
示，，，．
三、求解函数的定义域
例4、求下列函数的定义域（1） （2）（3） （4）
{|54}A x x =-<<{|1B x x =≥0}x <A B A B A B 42
1-=x y x
x y 312
--=x x
x y 1
232+-+=
2
)1(0
++=
x x y
例5、（1）已知函数的定义域为，求的定义域
（2）已知函数的定义域为，求的定义域
例6已知函数的定义域为，求实数的范围.
)(x f []4,1)2(x f )1(+x f []4,2)12(-x f ()f
x =R k
例7、下列各题中的两个函数是否表示同一个函数（1），；
（2），；
（3）
，；
（4），；
（5），;
()=x f 2
x ()=x g 33
x ()=x f x ()=
x g 2
x ()=
x f 1
12--x x ()=x g 1+x ()1
+=
x x x f ()=
x g x
x +2()1
22
--=x x
x f ()1
22
--=t t
t g
(6)
,(7)
,三、求函数解析式
求函数解析式的方法：（1）待定系数法（2）换元法（3）配凑法
（4）特殊值法和消元法
（5）运用函数的性质求其解析式例8、（1）已知是单调递增的一次函数，且
，求x
x x f 2
)()(=
2
)()(x x x g =
()0
x x f =()1
=x g )
(x f []14)(-=x x f f )
(x f
（2）已知是二次函数，且，有最小值为-2，求（3）已知函数，求（4）已知函数，求（5）已知函数满足，，求
)(x f 1)3()1(==f f )(x f )
(x f 23)1(2+-=+x x x f )
(x f x x x f 8)4(+=+)
(x f )(x f y =x x f x f 21
()(2=+)
(x f
例9、（1）已知，求，，．
（2）已知函数，求
，，，．
（3）已知（1）求（2）求（3）求234(0)()(0)0(0)
x x f x x x π⎧->⎪=⎨⎪<⎩(2)f -((1))f f ((0))f f 2(0)
()1(0)0(0)
x x f x x x ⎧>
⎪==⎨⎪<⎩(2)f (2)f -((2))f f -(((2)))f f f -()2
)(,111)(2
+=≠∈+=x x g x R x x x f 且)
2(),2(g f ()[]
2g f ()[]
x g f。