第25讲-等比数列及其前n项和-2021年新高考数学一轮专题训练含真题及解析

第25讲-等比数列及其前n 项和
一、 考情分析
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.体会等比数列与指数函数的关系.
二、 知识梳理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：
a n
a n －1
＝q (n ≥2，q 为非零常数).
(2)如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项，其中G 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q
1－q .
3.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .
(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n . [微点提醒]
1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.
3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.
三、 经典例题
考点一 等比数列基本量的运算
【例1-1】 （2020·湖南省高三三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足236n n S a =-，则6a =（ ） A ．623⨯ B ．723⨯ C ．662⨯ D ．762⨯
【答案】A
【解析】由已知236n n S a =-，可得11236n n S a ++=-. 两式相减得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a +=. ∵11236S a =-，∴16a =
∴{}n a 是首项为6，公比为3的等比数列 从而5
6
66323a =⨯=⨯.
【例1-2】
（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的前8项的和8S 为（ ）
A ．64
B ．22
C ．-48
D ．-6
【答案】C
【解析】等差数列{}n a 的首项为1，设公差d （0d ≠）． 若2a ，3a ，6a 成等比数列，
所以2
326a a a =，即()()()2
12115d d d +=++， 解得2d =-，
所以{}n a 的前8项和为()887
812482
S =⨯⨯+
⨯-=-． 【例1-3】
（2020·陕西省高三二模（文））等比数列{}n a ，0n a >且563854a a a a +=，则3132310log log log a a a ++
+=（ ）
A ．12
B ．15
C ．8
D ．32log 5+
【答案】B
【解析】由等比数列的性质得563856254a a a a a a +==，所以5627a a =， 所以11029384927a a a a a a a a ====，
则()5
31323103563log log log log 5log 2715a a a a a ++
+===，故选：B.
规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q .
考点二 等比数列的判定与证明
【例2-1】 （2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧
⎫
+
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)证明：
121113 (2)
n a a a +++<. 【解析】（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以11
2312
n n a a ++
=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬
⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =
31
2n -. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n n
a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以
1
11
3123n n -≤-⋅，于是11
a +2
1a +1n a 11
113
3n -≤+++
=31(1)23n -32
<， 所以
11
a +
2
1a +1n a 3
2
<. 【例2-2】
（2020·安徽省六安一中高三月考（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13
log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.
（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围. 【解析】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩
⎭是公差为1-的等差数列，
所以11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n n
a
a +=-，所以13n n a
a +=； 所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，
因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+， 所以()1112329a a a +=+， 解得11a =；
数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ； （2）由（1）可知
111
3
n n a -=， 故数列1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以1为首项，1
3为公比的等比数列， 1123111111133
n n n T a a a a -=
+++⋯+=++⋯+ 113133
11232
13
n
n
⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-， 因为n T M <恒成立， 所以32
M ≥，
即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证.
考点三 等比数列的性质及应用
【例3-1】（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在等比数列{}n a 中，若5422,2a a a ==，则6a =（ ） A ．64 B ．16
C ．8
D ．32
【答案】D
【解析】设公比为q ，因为542a a =，故2q
，所以46232a a q =⨯=，故选：D.
【例3-2】
（2020·定远县育才学校高三其他（理））已知正项等比数列{a n }，若向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ，则212229log log log a a a ++
+＝（ ）
A ．12
B ．28log 5+
C ．5
D ．18
【答案】D
【解析】由题意，向量()28,a a =，()82b a =，
，//a b ， 则28820a a ⨯-=，即2816a a =，
根据等比中项的知识，可得2
28516a a a ==，
∵50a >，故54a =， ∴212229log log log a a a ++
+
()2129log a a a =
()()()()2192837465log a a a a a a a a a =⋅⎡⎤⎣⎦ 925log a =
29log 4=
18=
【例3-3】
（2020·陕西省高三三模（理））若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫
+= ⎪+⎝⎭
（ ）
A ．e
B ．2e
C ．1e -
D ．9e
【答案】A
【解析】因为数列{}n a 为等差数列，且2020127a a +=，所以1010101127a a +=； 又{}n b 为等比数列，且120202b b ⋅=，所以101010112b b =，所以
101010111010101127
913
a a
b b +==+；
又()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的最小正周期为4， 又()x
f x e =，[]0,2x ∈
所以 ()()()92411f f f e =⨯+==，即10101011101010111a a f e b b ⎛⎫
+=
⎪+⎝⎭
.
【例3-1】
（2020·东北育才学校高三其他（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ） A ．2 B
C
D
【答案】D
【解析】4123()S a a =+，1q ≠． ∴411(1)
3(1)1
a q a q q -=+-，
10a ≠213q ∴+=
化为：2
2q =
，解得q =
规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用. [方法技巧]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.
(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论. 3.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.
4.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1时且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立.
四、 课时作业
1．（2020·黑龙江省哈师大附中高三其他（文））数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，若
()*12n n S a n N +=-∈，则2020a =( )
A ．20192
B ．20202
C ．20212
D ．20222
2．（2020·海东市教育研究室高三其他（文））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252, 16a a ==，则10=S （ ） A ．1023
B ．511
C ．1023-
D ．511-
3．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高三月考（文））等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．1-
B ．3
2
-
C ．1
D ．
32
4．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）
A ．
()
7
1887
-人 B ．
()
9
1887
-人 C ．()
7
18887
+-人
D ．()
94
18887
+-人
5．（2020·全国高三（文））在等比数列{}n a 中，4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a 等于（ ） A ．1
B ．-1
C ．±1
D ．不能确定
6．（2020·全国高三（文））已知等比数列{}n a 满足126a a +=，4548a a +=，则数列{}n a 前8项的和
8S =( )
A ．510
B ．126
C ．256
D ．512
7．（2020·海南省海南中学高三月考）已知正项等比数列{}n a ，满足227202016a a a ⋅⋅=，则12
1017a a a ⋅⋅=
（ ）
A ．10174
B ．10172
C ．10184
D ．10182
8．（2020·广西壮族自治区高三二模（文））若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，
则2
2
a b 为（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
9．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ，
2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）
A ．1
2
-
B ．2-
C ．1- 或
12
D ．1 或 12
-
10．（2020·黑龙江省铁人中学高三其他（理））元代数学家朱世杰在“算学启蒙”中提及如下问题：今有银一秤一斤十两,1秤=10斤，1斤=10两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银（ ） A ．
266
127
两 B ．
889
127
两 C ．
840
31
两 D ．
1111
31
两 11．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列{}n a 满足12a =，234a a +=，则456a a a ++=（ ） A ．-48
B ．48
C ．48或-6
D ．-48或6
12．（2020·黑龙江省哈师大附中高三月考（理））已知数列{}n a 是等比数列，312a =，56116a a a =，则9a =（ ） A
．B ．48
C ．192
D ．768
13．（2020·江西省新余一中高一月考）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则
789(a a a ++= )
A ．144
B ．81
C ．45
D ．63
14．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））在等比数列{}n a 中，0n a >，且7a 、6a 、53a -成等差数列，则公比q =（ ） A ．1
B ．1或3-
C ．3
D ．3或1-
15．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ）
A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
16．（2020·全国高三其他（文））等比数列{}n a 的前n 项和为11,2
n S a =-，若
6378S S =，则24a a ⋅=（ ） A ．
1
64
B ．
132
C ．
116
D ．
18
17．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =（ ） A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
18．（2020·全国高三其他（文））在等比数列{}n a 中，481,3S S ==，则17181920a a a a +++的值是（ ） A ．8
B ．16
C ．32
D ．64
19．（2020·全国高三其他（文））已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得
2164m n a a a =，则
19
m n
+的最小值为（ ） A ．
32
B ．83
C ．
114
D ．2
20．（2020·全国高三其他（理））已知公比不为1的等比数列{}n a 满足15514620a a a a +=，若2
10m a =，则m =
（ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
21．（2020·全国高三其他（文））已知数列{}n a 满足()121,4n n n a na a ++==，等比数列{}n b 满足
1122,b a b a ==，则{}n b 的前6项和为
A ．63-
B ．126-
C ．63
D ．126
22．（2020·广东省湛江二十一中高三月考（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41
8
a =
，313
4
-=
S a ，则4S =（ ） A ．1
16 B ．18
C ．
3116
D ．
15
8
23．（2020·天津一中高三月考）已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 是它的前n 项和，若234a a a ⋅=，且1a 与5a 的等差中项为17
32
，则5S =（ ） A ．
3116
B ．3132
C ．
1716
D ．
1732
24．（2020·黑龙江省高三其他（理））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若10533S S =，663S =，
则满足10()n n n n a S a S >+的最小的n 值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
25．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三一模（理））设n S 为正项递增等比数列{}n a 的前n 项和，且
3241522,16a a a a a +=+=，则6S 的值为（ ）
A ．63
B ．64
C ．127
D ．128
26．（2020·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第70中高一期末）已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则
110a a +=（ ）
A ．7
B ．5
C ．5-
D ．7-
27．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A ．
15
2
B ．
314
C ．
334
D ．
172
28．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ） A ．2q
B ．2n
n a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<
29．（多选题）（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路
B ．此人第三天走的路程站全程的
1
8
C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D ．此人后三天共走了42里路
30．（多选题）（2020·山东省高二期末）若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21,(*)n n S a n N =+∈，则下列说法正确的是（ ） A ．516a =-
B ．563S =-
C ．数列{}n a 是等比数列
D ．数列{}1n S +是等比数列
31．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，
． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．
32．（2020·山东省嘉祥县萌山高级中学高三其他）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13,a a 的等差中项为10，
28a =.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n
n
b a =
， 求数列{}n b 的前n 项和n S . 33．（2020·全国高三其他（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12S =，12n n a S +=+. （1）证明：{}n a 为等比数列； （2）记2log n n b a =，数列1n n b b λ+⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T .若10n T ≥，求λ的取值范围. 34．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求1
12231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.
35．（2020·全国高三其他（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足432n n a S -=，其中n *∈N . （Ⅰ）证明：数列{}n a 为等比数列；
（Ⅱ）设1
42
n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
第25讲-等比数列及其前n 项和
五、 考情分析
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.体会等比数列与指数函数的关系.
六、 知识梳理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：a n
a n －1
＝q (n ≥2，q 为非零常数).
(2)如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项，其中G 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q
1－q .
3.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .
(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n . [微点提醒]
1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.
3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.
七、 经典例题
考点一 等比数列基本量的运算
【例1-1】 （2020·湖南省高三三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足236n n S a =-，则6a =（ ） A ．623⨯ B ．723⨯ C ．662⨯ D ．762⨯
【答案】A
【解析】由已知236n n S a =-，可得11236n n S a ++=-. 两式相减得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a +=. ∵11236S a =-，∴16a =
∴{}n a 是首项为6，公比为3的等比数列 从而5
6
66323a =⨯=⨯.
【例1-2】
（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的前8项的和8S 为（ ）
A ．64
B ．22
C ．-48
D ．-6
【答案】C
【解析】等差数列{}n a 的首项为1，设公差d （0d ≠）． 若2a ，3a ，6a 成等比数列，
所以2
326a a a =，即()()()2
12115d d d +=++， 解得2d =-，
所以{}n a 的前8项和为()887
812482
S =⨯⨯+
⨯-=-． 【例1-3】
（2020·陕西省高三二模（文））等比数列{}n a ，0n a >且563854a a a a +=，则3132310log log log a a a ++
+=（ ）
A ．12
B ．15
C ．8
D ．32log 5+
【答案】B
【解析】由等比数列的性质得563856254a a a a a a +==，所以5627a a =， 所以11029384927a a a a a a a a ====，
则()5
31323103563log log log log 5log 2715a a a a a ++
+===，故选：B.
规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q .
考点二 等比数列的判定与证明
【例2-1】 （2020·上海高三专题练习）已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+. (1)证明12n a ⎧
⎫
+
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)证明：
121113 (2)
n a a a +++<. 【解析】（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以11
2312
n n a a ++
=+，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬
⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =
31
2n -. （2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n n
a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以
1
11
3123n n -≤-⋅，于是11
a +2
1a +1n a 11
113
3n -≤+++
=31(1)23n -32
<， 所以
11
a +
2
1a +1n a 3
2
<. 【例2-2】
（2020·安徽省六安一中高三月考（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13
log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.
（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围. 【解析】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩
⎭是公差为1-的等差数列，
所以11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n n
a
a +=-，所以13n n a
a +=； 所以数列{}n a 是公比为3的等比数列，
因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+， 所以()1112329a a a +=+， 解得11a =；
数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ； （2）由（1）可知
111
3
n n a -=， 故数列1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以1为首项，1
3为公比的等比数列， 1123111111133
n n n T a a a a -=
+++⋯+=++⋯+ 113133
11232
13
n
n
⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-， 因为n T M <恒成立， 所以32
M ≥，
即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证.
考点三 等比数列的性质及应用
【例3-1】（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在等比数列{}n a 中，若5422,2a a a ==，则6a =（ ） A ．64 B ．16
C ．8
D ．32
【答案】D
【解析】设公比为q ，因为542a a =，故2q
，所以46232a a q =⨯=，故选：D.
【例3-2】
（2020·定远县育才学校高三其他（理））已知正项等比数列{a n }，若向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ，则212229log log log a a a ++
+＝（ ）
A ．12
B ．28log 5+
C ．5
D ．18
【答案】D
【解析】由题意，向量()28,a a =，()82b a =，
，//a b ， 则28820a a ⨯-=，即2816a a =，
根据等比中项的知识，可得2
28516a a a ==，
∵50a >，故54a =， ∴212229log log log a a a ++
+
()2129log a a a =
()()()()2192837465log a a a a a a a a a =⋅⎡⎤⎣⎦ 925log a =
29log 4=
18=
【例3-3】
（2020·陕西省高三三模（理））若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：2020127a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫
+= ⎪+⎝⎭
（ ）
A ．e
B ．2e
C ．1e -
D ．9e
【答案】A
【解析】因为数列{}n a 为等差数列，且2020127a a +=，所以1010101127a a +=； 又{}n b 为等比数列，且120202b b ⋅=，所以101010112b b =，所以
101010111010101127
913
a a
b b +==+；
又()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的最小正周期为4， 又()x
f x e =，[]0,2x ∈
所以 ()()()92411f f f e =⨯+==，即10101011101010111a a f e b b ⎛⎫
+=
⎪+⎝⎭
.
【例3-1】
（2020·东北育才学校高三其他（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ） A ．2 B
C
D
【答案】D
【解析】4123()S a a =+，1q ≠． ∴411(1)
3(1)1
a q a q q -=+-，
10a ≠213q ∴+=
化为：2
2q =
，解得q =
规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用. [方法技巧]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.
(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论. 3.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.
4.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1时且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立.
八、 课时作业
1．（2020·黑龙江省哈师大附中高三其他（文））数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，若
()*12n n S a n N +=-∈，则2020a =( )
A ．20192
B ．20202
C ．20212
D ．20222
【答案】B
【解析】当1n =时，122S a =-，得211242a a a =+== 当2n ≥时，由(
)*
12n n S a n N
+=-∈得1
2n n S
a -=-，
所以11n n n n S S a a -+-=-，即1n n n a a a +=-，12n n a a += 所以数列{}n a 是以2为公比，2为首项的等比数列，
所以2n
n a =，
所以2020
20202a =，故选：B
2．（2020·海东市教育研究室高三其他（文））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若252, 16a a ==，则10=S （ ） A ．1023 B ．511 C ．1023- D ．511-
【答案】A
【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意可得35
2
8a q a =
=，所以2q ，
由题得1122,1a a ⨯=∴=. 故()()101011011121023112
a q S q
-⨯-=
=
=--.
3．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高三月考（文））等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ）
A ．1-
B ．32
-
C ．1
D ．
32
【答案】A
【解析】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，
5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或3
2
q =（舍去）.
4．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）
A ．
()
7
1887
-人 B ．
()
9
1887
-人 C ．()
7
18887
+-人
D ．()
94
18887
+-人
【答案】D
【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，
所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：
(
)()
45
456789
48181
888888888818
7
-+++++=+
=+--,故选D.
5．（2020·全国高三（文））在等比数列{}n a 中，4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a 等于（ ） A ．1 B ．-1
C ．±1
D ．不能确定
【答案】B
【解析】∵4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根，∴4123a a +=-，4121a a =，∴4120,0a a <<，
又{}n a 是等比数列，∴2
84121a a a ==，而等比数列{}n a 中所有偶数项同号，∴81a =-。

6．（2020·全国高三（文））已知等比数列{}n a 满足126a a +=，4548a a +=，则数列{}n a 前8项的和
8S =( )
A ．510
B ．126
C ．256
D ．512
【答案】A
【解析】由等比数列{}n a 满足126a a +=，4548a a +=，
则等比数列3
451248
86
a a q a a +=
==+，即2q
，
代入126a a +=可得12a =，
则数列{}n a 前8项的和882(12)
51012
S -==-，故选：A.
7．（2020·海南省海南中学高三月考）已知正项等比数列{}n a ，满足2
27202016a a a ⋅⋅=，则12
1017a a a ⋅⋅=
（ ） A ．10174 B ．10172 C ．10184 D ．10182
【答案】B
【解析】由2
27202016a a a ⋅⋅=可得()2
7101116a a =，
所以710114a a =，5092a =， 所以()
508
101712
1017710115092a a a a a a ⋅⋅=⋅=.
8．（2020·广西壮族自治区高三二模（文））若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，
则2
2
a b 为（ ） A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】A
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，
由题意可得413,23a a d q -=
===-， ∴222,2a b ==，
∴2
2
1a b =．选A ． 9．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ，
2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）
A ．1
2
-
B ．2-
C ．1- 或
12
D ．1 或 12
-
【答案】D
【解析】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-
2
10．（2020·黑龙江省铁人中学高三其他（理））元代数学家朱世杰在“算学启蒙”中提及如下问题：今有银一秤一斤十两,1秤=10斤，1斤=10两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银（ ） A ．
266
127
两 B ．
889
127
两 C ．
840
31
两 D ．
1111
31
两 【答案】C
【解析】一秤一斤十两共120两，将这5人所得银两数量由小到大记为数列{}n a ，则{}n a 是公比2q 的等
比数列，于是得()()55115112120112
a q a S q
--==
=--，
解得112031a =
，故得银最少的3个人一共得银数为()2
1231208401223131
a a a ++=++=（两）. 11．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列{}n a 满足12a =，234a a +=，则456a a a ++=（ ） A ．-48 B ．48
C ．48或-6
D ．-48或6
【答案】D
【解析】由题意，(
)()2
2
23124a a a q q
q q +=+=+=，得2q =-或1，
当2q =-时，45616326448a a a ++=-+-=-， 当1q =时，4562226a a a ++=++=，故选D 。

12．（2020·黑龙江省哈师大附中高三月考（理））已知数列{}n a 是等比数列，312a =，56116a a a =，则9a =（ ）
A ．
B ．48
C ．192
D ．768
【答案】B
【解析】23112a a q ==，56116a a a =，即4510111.6a q a q a q =，解得16a q =，3
2q =，
8991648a a q q ===.
13．（2020·江西省新余一中高一月考）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则
789(a a a ++= )
A ．144
B ．81
C ．45
D ．63
【答案】B
【解析】由等比数列性质可知：3S ，63S S -，96S S -，……成等比数列，设公比为q 由题意得：6336927S S -=-= 2739
q ⇒=
= 7899627381a a a S S ∴++=-=⨯=
14．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））在等比数列{}n a 中，0n a >，且7a 、6a 、53a -成等差数列，则公比q =（ ） A ．1 B ．1或3- C ．3 D ．3或1-
【答案】C
【解析】在等比数列{}n a 中，0n a >，则其公比0q >， 由题意可得67523a a a =-，即765230a a a --=，
则654111230a q a q a q --=，即2
230q q --=，解得3q =或1q =-（舍去）.
15．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ） A ．31 B ．32
C ．63
D ．64
【答案】C
【解析】S 2=a 1+a 2，S 4﹣S 2=a 3+a 4=（a 1+a 2）q 2，S 6﹣S 4=a 5+a 6=（a 1+a 2）q 4， 所以S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列， 即3，12，S 6﹣15成等比数列， 可得122=3（S 6﹣15）， 解得S 6=63
16．（2020·全国高三其他（文））等比数列{}n a 的前n 项和为11,2n S a =-，若
63
78S S =，则24a a ⋅=（ ） A ．
1
64
B ．
132
C ．
116
D ．
18
【答案】A
【解析】
()(
)
6
13
63311777111,1888211a q S q q q q S a q
q
--=∴≠=∴+=∴=--- 2
4
242411112264
a a a q ⎛⎫⎛⎫∴⋅==--=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 17．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =（ ） A ．1- B ．1
C ．2-
D ．2
【答案】A
【解析】∵()2311230a S a a a a +=+++=， ∴(
)
()2
2
1231121210a a a a q q a q ++=++=+=，
又10a ≠， ∴1q =-．
18．（2020·全国高三其他（文））在等比数列{}n a 中，481,3S S ==，则17181920a a a a +++的值是（ ） A ．8 B ．16
C ．32
D ．64
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q ，由题意可得1q ≠，
则()
()
4
1481811
1131a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪
=
=⎪-⎩
，两式相除可得413q +=，所以4
2q =，
所以()16
16171819201234416a a a a q
a a a a q S +++=+++==.
19．（2020·全国高三其他（文））已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a ，使得
2164m n a a a =，则
19
m n
+的最小值为（ ） A ．
32
B ．83
C ．
114
D ．2
【答案】D
【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，由7652a a a =+，得6
662a a q a q
=+， 化简得2
20q q --=，解得2q
或1q =-（舍去）.
因为2
164m n a a a =，所以(
)()1
12
11
164m n a q
a q a
--=，则
264m n q +-=，解得8m n +=，
所以
19119191()10102888n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当9n m m n =时取等号，此时9,8,n m
m n m n ⎧=
⎪⎨⎪+=⎩
解得2,6.m n =⎧⎨
=⎩所以19m n +的最小值为2. 20．（2020·全国高三其他（理））已知公比不为1的等比数列{}n a 满足15514620a a a a +=，若2
10m a =，则m =
（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
【答案】B
【解析】由等比数列性质得：222
155146*********a a a a a a a +=+==
21010a ∴= 10m ∴=
21．（2020·全国高三其他（文））已知数列{}n a 满足()121,4n n n a na a ++==，等比数列{}n b 满足
1122,b a b a ==，则{}n b 的前6项和为
A ．63-
B ．126-
C ．63
D ．126
【答案】D
【解析】因为()11n n n a na ++=， 所以1224a a ==，则12a =，
11222,4b a b a ====，
∴等比数列{}n b 的首项为2，公比为2，
则{}n b 的前6项和()676
2122212612
S -==-=-，故选D.
22．（2020·广东省湛江二十一中高三月考（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41
8
a =
，
313
4
-=
S a ，则4S =（ ） A ．1
16 B ．18
C ．
3116
D ．
15
8
【答案】D
【解析】正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，41
8
a =
，3134-=S a ，
∴313
111
8(1)314a q a q a q ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪-⎩
，0q >，且1q ≠， 解得11
1,2
a q ==
， 4411(1)
15
21812
S ⨯-∴=
=-．
23．（2020·天津一中高三月考）已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 是它的前n 项和，若234a a a ⋅=，且1a 与5a 的等差中项为17
32
，则5S =（ ） A ．
3116
B ．3132
C ．
1716
D ．
1732
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q ，由题意知，234
1517232a a a a a ⋅=⎧⎪
⎨+=⨯⎪⎩，即231114
15111716a q a q a q a a a a q ⎧⋅⋅⋅=⋅⎪⎨+=+=⎪⎩， 因为数列各项均为正数，解得1112a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，所以()555111123111112
16a S q q ⎡⎤
⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==
--=
- 24．（2020·黑龙江省高三其他（理））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若10533S S =，663S =，则满足10()n n n n a S a S >+的最小的n 值为（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】由已知1q ≠，由10533S S =，得10511(1)(1)
3311a q a q q q
--=⨯--，解得2q =，
又663S =.∴616(12)6312
a S -==-，11a =，∴12-=n n a ，21n
n S =-，
∴10()n n n n a S a S >+化为22312200n n -⨯+>，∵22n ≥，∴2n >， n 的最小值为5.
25．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三一模（理））设n S 为正项递增等比数列{}n a 的前n 项和，且
3241522,16a a a a a +=+=，则6S 的值为（ ）
A ．63
B ．64
C ．127
D ．128
【答案】A
【解析】因为132
516a a a ==，
所以34a =， 又32422,a a a +=+， 所以4
824q q
+=
+， 即2
2520q q -+=， 解得2q 或1
2
q =
（舍去）， 所以3
12
1a a q =
=， 所以(
)()6
6
16111263112
a q S q
-⨯-=
==--.
26．（2020·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第70中高一期末）已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则
110a a +=（ ）
A ．7
B ．5
C ．5-
D ．7-
【答案】D
【解析】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.
由等比数列性质可知
2274101478,1a a a a a a ==-==或22
7410147
1,8a a a a a a ====-
1107a a ∴+=-
27．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A ．
152
B ．
314
C ．
334
D ．
172
【答案】B
【解析】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =
++1＝7，解得q 12=或q 13
=-（舍去）， ∴a 121q ==4，∴S 551413121412
⎛
⎫⨯- ⎪
⎝⎭==-
28．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ） A ．2q
B ．2n
n a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<
【答案】ABD
【解析】由题意3
2
242q q q =+，得2
20q q --=，解得2q
（负值舍去），选项A 正确；
1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；
()12212221
n n n S +⨯-=
=--，所以102046S =，选项C 错误；
13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．
29．（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路
B ．此人第三天走的路程站全程的
1
8
C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D ．此人后三天共走了42里路 【答案】ACD
【解析】设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为1
2
q =
的等比数列， 因为6378S =，所以16
61(1)2=
378112
a S -
=-，解得1
192a =，
对于A ，由于21
192962a =⨯
=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 31481
19248,
43788
a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确；
对于D ，由于45611
11924281632a a a ⎛⎫++=⨯++=
⎪⎝⎭
，所以D 正确，故选：ACD 30．（2020·山东省高二期末）若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21,(*)n n S a n N =+∈，则下列说法正确的是（ ） A ．516a =-
B ．563S =-
C ．数列{}n a 是等比数列
D ．数列{}1n S +是等比数列
【答案】AC
【解析】因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21,(*)n n S a n N =+∈， 所以1121S a =+，因此11a =-，
当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，
所以数列{}n a 是以1-为首项，以2为公比的等比数列，故C 正确；
因此4
51216a =-⨯=-，故A 正确；
又2121n n n S a =+=-+，所以5
52131S =-+=-，故B 错误；
因为110S +=，所以数列{}1n S +不是等比数列，故D 错误.
31．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，
．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．
【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1
n n a q -=．
由已知得42
4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．
故()
1
2n n a -=-或1
2n n a -=．
（2）若()
1
2n n a -=-，则()123
n
n
S --=．由63m S =得()2188m
-=-，此方程没有正整数解．
若12n n a -=，则21n
n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．
综上，6m =．
32．（2020·山东省嘉祥县萌山高级中学高三其他）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13,a a 的等差中项为10，
28a =.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n
n
b a =
， 求数列{}n b 的前n 项和n S . 【解析】（Ⅰ）由题意可得：()2
11120
8a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
，
∴22520q q -+=
∵1q >，∴142
a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为()12n n a n N +*
=∈.
（Ⅱ） 12n n n b +=
， ∴2341
1232222
n n n
S +=++++ 12n S = 34121212222
n n n n ++-++++ 上述两式相减 可得23412
11111222222n n n n
S ++=+++
- ∴1231
1111+22222n n n n S +=++
-=1
111122211222
n n n n n +++-+-=-
33．（2020·全国高三其他（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12S =，12n n a S +=+. （1）证明：{}n a 为等比数列；
（2）记2log n n b a =，数列1n n b b λ+⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T .若10n T ≥，求λ的取值范围. 【解析】（1）由已知，得112a S ==， 2124a S =+=， 当2n ≥时，12n n a S -=+，
所以()()1122n n n n a a S S +--=+-+ n a =， 所以()122n n a a n +=≥ ， 又212a a =，
所以()1
21n n
a n a +=≥，所以{}n a 是首项12a =，公比2q =的等比数列. （2）由（1）可知2n
n a =，
所以n b n =.
()1
1
111n n b b n n n n λ
λ
λ+⎛⎫=
=- ⎪++⎝⎭
，
111
111223
1n T n n λ⎛⎫=-
+-++
- ⎪+⎝
⎭ 111n λ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
， 因为10n T ≥，所以
101
n
n λ≥+，从而()101n n
λ+≥
，
因为
()101110120n n
n +⎛⎫
=+≤ ⎪⎝⎭
，
所以λ的取值范围为20λ≥.
34．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求1
12231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.
【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208
a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩， 整理可得：2
2520q q -+=， 11,2,2q q a >==，
数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=.
(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故： 112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+- 35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅
()()
3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 35．（2020·全国高三其他（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足432n n a S -=，其中n *∈N . （Ⅰ）证明：数列{}n a 为等比数列； （Ⅱ）设142
n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【解析】（Ⅰ）432n n a S -=，① ∴当1n =时，11432a S -=，解得12a =； 当2n ≥时，11432n n a S ---=，② 由①-②得()114430n n n n a a S S -----=， ∴14430n n n a a a ---=，
∴14n n a a -=，
由12a =得0n a ≠，
故{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，124n n a -=⨯，。