2016高考第9讲 等差、等比数列
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
等差等比数列的证明ppt课件
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
等比等差数列的所有公式
等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。
它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。
本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。
一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。
举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。
这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。
等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。
求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。
（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。
二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。
例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。
等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。
与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。
等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。
其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。
高考数学一轮复习 第九章 数列 第63课 等差、等比数列的综合问题课件.pptx
基础知识回顾与梳理
1、已知 an是公差为d 的等差数列，下列命题是否正确？
① a2 , a4 ,...a12 是等差数列
√
② an , an1,...a1 是等差数列
√
√ ③ ca1, ca2 ,...ca（n c为常数）是等差数列
基础知识回顾与梳理
2、设an是等比数列，判断下列命题是否正确
当 n≥2 时，cb11＋cb22＋…＋bcnn－－11＝an.
∴cn＝32（ ·n3＝ n－11（）n，≥2）.
解题反思 解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两 类方法：
①基本量法，即运用条件转化成 a1关于和d q
的方程；
②运用等差（比）数列的性质 如下标和的性质、子数列的性质、和的性质
(1)因为 Sn Sn1 2n n 2, n N ，所以有 Sn Sn1 2n 对 n 2, n N 成
立.即 an 2n 对 n 2, n N 成立，又 a1 S1 21 ，所以 an 2n 对 n N 成立.所以 an1 an 2 对 n N 成立，所以an是等差数列，
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)
范例导析
例 1 、 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn ， 若 a1 2 且
Sn Sn1 2n n 2, n N
(1)求 Sn ；
(2)是否存在等比数列bn 满足 b1 a1,b2 a3,b3 a9 ？若存在，求
出数列 bn 的通项公式；若不存在，说明理由.
范例导析
变式题 若该数列中a3 12, S12 0, S13 0，则 S1, S2 , S3,...S12中哪一个最大？
要求：结合上题分析，选择恰当 方法，快速解题
数字推理题型的7种类型28种形式
数字推理题型的7种类型28种形式数字推理由题干和选项两部分组成，题干是一个有某种规律的数列，但其中缺少一项，要求考生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的规律，然后从四个供选择的答案中选出你认为最合适、最合理的一个，使之符合数列的排列规律。
其不同于其他形式的推理，题目中全部是数字，没有文字可供应试者理解题意，真实地考查了应试者的抽象思维能力。
第一种情形----等差数列：是指相邻之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一组数。
１、等差数列的常规公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d ，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d (n为自然数)。
[例1]1，3，5，7，9，（） A.7 B.8 C.11 D.13[解析] 这是一种很简单的排列方式：其特征是相邻两个数字之间的差是一个常数。
从该题中我们很容易发现相邻两个数字的差均为2，所以括号内的数字应为11。
故选C。
２、二级等差数列。
是指等差数列的变式，相邻两项之差之间有着明显的规律性,往往构成等差数列.[例2] 2, 5, 10, 17, 26, ( ), 50 A.35 B.33 C.37 D.36[解析] 相邻两位数之差分别为3, 5, 7, 9,是一个差值为2的等差数列,所以括号内的数与26的差值应为11,即括号内的数为26+11=37.故选C。
３、分子分母的等差数列。
是指一组分数中，分子或分母、分子和分母分别呈现等差数列的规律性。
[例3] 2/3，3/4，4/5，5/6，6/7，（）A、8/9B、9/10C、9/11D、7/8[解析] 数列分母依次为3，4，5，6，7；分子依次为2，3，4，5，6，故括号应为7/8。
故选D。
４、混合等差数列。
是指一组数中，相邻的奇数项与相邻的偶数项呈现等差数列。
[例4] 1，3，3，5，7，9，13，15，，（），（）。
A、19 21B、19 23C、21 23D、27 30[解析] 相邻奇数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列，相邻偶数项之间的差是以2为首项，公差为2的等差数列。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。
证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。
高考数学：证明等差等比数列的解法
高考数学：证明等差等比数列的解法
我们在数列部分常碰到这样的问题：证明某个复杂数列为等差或者等比数列。
比如下面这道题：
从求证出发，我们回顾等比数列的定义：从第2项开始，数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数，则这个数列为等比数列。
这就是我们证明等比数列的主要办法，也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可。
使用定义法的技巧，就是在化简过程中，保持前项不变，然后后项用题中给定的关系式代入。
道理也是显然的，要使得计算结果为常数，必须要出现消项、约分，所以把后项朝前项去靠近，才能最终通过消项、约分得到常数。
根据条件中给定的关系式，代入上式。
结果还真是一个常数，神奇吗？
其实一点也不神奇，只要方法正确，常数是命题者设计好了的，你不用担心。
下面，增加一点难度，看这一道分段形式给出的数列递推式。
请自觉做题3分钟.不要往下看。
分析：首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它。
通过这种方式，我们对数列有了一些感性的认识。
不管怎样，还是采用定义法来证明。
还是采用前面介绍的技巧：保持前项不变，把后项用题中给定的关系式代入。
注意看，分子项和分母项的脚标相差2，我们根据题目所给递推式，可以分两步来。
咦！结果又是一个常数。
废话，要不是常数，那就是题目出错了。
总结：定义法来真好用，证明等比显奇功。
高考数学等比数列
解：由 3S1，2S2，S3 成等差数列，得 4S2＝3S1＋S3， 即 3S2－3S1＝S3－S2，也即 3a2＝a3，得公比 q＝3，所以 an － － － ＝a1qn 1＝3n 1.故填 3n 1.
类型一
等比数列的判定与证明
(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝1＋λan， 其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31 (2)若 S5＝ ，求 λ. 32
自 查 自 纠： 1．比 常数 公比 2．等比中项 ab ± ab 3．(1)a1q
n－1
am q
n－m
n－m a n－m a n n ± am am
a1 a1 (2) y＝ q qx q 4．na1 a1（1－qn） a1－anq a1 乘公比，错位相减 1－q 1－q q－1
1 q1 5．(2) q1 q1q2 q1 q2 (3)qm (4)qn (5)①q＞1 0＜q＜1 ②0＜q＜1 q＞1 ③q＝1 ④q＜0
2 设首项为 1，公比为 的等比数列{an}的前 n 3 项和为 Sn，则 ( ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
2 1－ an n－1 3 2 2 1 － an ＝3－2an.故选 D. 解：an＝ 3 ，Sn＝ ＝3 3 2 1－ 3
2 已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9＝2a5 ， a2＝1，则 a1＝( )
1 A. 2
2 B. 2
C. 2
D．2
解： 因为 a3· a9＝2a2 则由等比数列的性质有： a3· a9 5，
2 2 a a 6 6 2 2 ＝a2 ＝ 2 a ， 所以 ＝ 2 ， 即 ＝ q ＝2.因为公比为正数， 2 6 5 a a5 5
等差数列、等比数列的应用
6.4 等差数列、等比数列的应用考点梳理--重双基考点一 等差数列、等比数列的通项公式 1.等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=；2.等比数列的通项公式：11-=n n q a a .考点二 等差数列、等比数列的前n 项和公式 3.等差数列的前n 项和公式 求和公式1：()21n n a a n S +=（已知1n n a a 、、求n S ）；求和公式2：()d n n na S n 211-+=（已知1n a d 、、求n S ）. 4.等比数列的前n 项和公式 （1）当1q ≠时，求和公式1：()qq a S n n --=111 （已知n q a ,,1求n S ）；求和公式2：qqa a S n n --=11（已知n a q a ,,1求n S ）.（2）当1q =时，1na S n =.自我检测1.如图所示，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形.其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…，则这个数列的第9项是（ ）A.53B.54C.55D.561.C 【解析】数列第一项为3，第二项比第一项多3，以后每项比前项多项数加1，所以第9项为3＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55.2.某工厂去年12月份产值为a ，若月平均增长率为p ，则今年12月份产量为（ ） A.ap B.()p a +1 C.()111p a + D.()121p a +2.D3.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有 个座位.3.1020【解析】第一排座位数：702(201)32-⨯-=（个），一共有座位：(3270)2021020+⨯÷=（个）．4．某省今年高考高校招生人数为a 万人，计划以后每年扩招%10，五年后该省的高校招生人数为 万人．（结果用指数幂表示） 4．51.1a5.点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？5.【解析】每天看的页数组成等差数列{}n a ，公差4=d ，首项301=a ，末项70=n a ， 则由()d n a a n 11-+=，得()704130=⨯-+n ，解得11=n .所以这本书的总页数()550270301111=+⨯=S (页）.6.小王和小高同时在某个单位实习，小王第一个月得到1500元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得到1200元工资，以后每月多得45元.两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？6.【解析】设小王12~1月工资构成数列{}n a ，由题意可知60,15001==d a ，设小高12~1月工资构成数列{}n b ，由题意可知45',12001==d b .利用等差数列求和公式可得，工作一年后，小王的工资总数为21960606615001221112121=⨯+⨯=⨯⨯+d a ；小高的工资总数为173704566120012'21112121=⨯+⨯=⨯⨯+d b .所以一年后两人所得工资总数相差45901737021960=-元.考法拓展--重能力考法一 等差数列的应用◇◆难点释疑1.等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=；2.等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； 3.一般先判断和证明数列是等差数列，再确定等差数列的相关元素，最后利用等差数列的性质解答.◇◆典型例题【例题1】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根？总共有多少根？【考查目标】 考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，并能用等差数列相关性质解题. 【解题指南】将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项51=a ，公差1=d ，项数是28=n ．由题意得，最下面一层即()321275128128=⨯+=⨯-+=d a a （根），圆木总数为d a S ⨯⨯+=2272828128 51812714528=⨯⨯+⨯=（根）. 答：最下面一层有32根，总共有518根. ◇◆反思提炼解决此类问题，首先要能根据题目所给条件将实际问题转化为等差数列模型，然后分清首项与公差，最后利用等差数列的通项公式与求和公式解之.◇◆变式训练1一个大剧院，座位排列成的形状是一个梯形，第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……，最后一排有210个座位，那么剧院中间一排有多少个座位？这个剧院一共有多少个座位?◇◆变式训练1如果我们把每排的座位数依次记下来，10，12，14，16，… 容易知道构成的是一个首项为10，公差为2的等差数列．则()2110210⨯-+=n ，解得101=n ，即这个大剧院共有101排座位.中间一排就是第()5121101=÷+排，那么中间一排有：105112110+-⨯=（）（个）座位．根据等差数列的求和公式，这个剧场座位一共有：()11110221010101101=+⨯=S （个）．【例题2】某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况如下表所示：而一旦植完，则不会被沙化.问：（1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到哪一年可绿化完全部荒沙地？【考查目标】 建立正确的数列模型，分清题目涉及的已知数、未知数，根据模型依次列出数列的一些项，找出规律，求出通项公式或前n 项和公式，进而求解.【解题指南】（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.因为2017年新植1400亩，故当年沙地应降为23800140025200=-亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以2017年沙化土地为200亩.同理2018年沙化土地为200亩，所以每年沙化的土地面积为200亩. （2）设2018年及其以后各年的造林亩数分别为Λ,,,321a a a ，则()140040040011800+=⨯-+=n n a n . n 年造林面积总和为()400211400⨯-+=n n n S n .由（1）知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.由题意：24000200≥-n S n ，化简得012072≥-+n n ，解得8≥n .故到2025年可绿化完全部沙地.◇◆反思提炼首先要判断和证明数列是等差数列，其次一定要弄清数列的首项和公差等基本量，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题.◇◆变式训练2用分期付款的方式购置一中型商场一套，价格为1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为%1.若付150万元后的第一个月开始算分期付款，在分期付款的第10个月应交付多少钱？全部贷款付清后，买这套商场实际花了多少钱？◇◆变式训练2首付150万元，则欠款1000万元，依题意需分20次分清，则每次的还款数额顺次构成一数列，记作{}n a .15010000.0160a =+⨯=（万元） 250(100050)0.0159.5a =+-⨯=（万元） 350(1000502)0.0159a =+-⨯⨯=（万元）……50(100050(1))0.0160(1)0.5n a n n =+-⨯-⨯=--⨯（万元），所以{}n a 是以及60为首项，－0.5为公差的等差数列.106090.555.5a =-⨯=（万元）.20次分期付款总和2020[60(60190.5)]11052S +-⨯==（万元）， 所以，实际付款共为11051501255+=（万元）.答：第10个月付款55.5万元，买这套商场实际花了1255万元.考法二 等比数列的应用◇◆难点释疑1.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ；2.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1()1(11)1(111q na q qq a a q q a S n n n . 3.一般先判断和证明数列是等比数列，再确定等比数列的相关元素，最后利用等比数列的性质解答.◇◆典型例题【例题3】某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍.求： （1）第5天植树多少棵？（2）连续植树6天，能否完成计划？【考查目标】 本题着重考查等比数列的建模能力，并要求熟练使用等比数列的通项公式和求和公式解题.【解题指南】设每天植树的棵数构成的数列为{}n a ，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2.（1）第5天植树棵数为32224415=⨯==q a a （棵）.（2）连续植树6天，则植树总棵数为()()12621212116616=--⨯=--=q q a S （棵），因为100126>，所以连续植树6天，能完成计划. ◇◆反思提炼由题目所给条件构建等比数列模型，分清是求某项还是求和，再利用等比数列相关知识解决.◇◆变式训练3某种细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（1个细胞分裂成2个），经过4个小时后，这种细胞由1个繁殖成多少个？◇◆变式训练3经过4个小时，细胞分裂8次.第1次分裂，1个繁殖成12个，第2次分裂，繁殖成22个，以此类推，第8次分裂，这种细胞由1个繁殖成25628=个.【例题4】某人年初用26万元购买一套农村住房，付现金16万元，按合同欠款分6年付清，年利息为%10，每年以复利计算利息，问每年年底应还款多少万元？【考查目标】在现实生活中，细胞分裂、国民经济增长、核裂变、住房贷款中的等额本息还款、复利计息、植树造林面积等比增长等问题都可建立等比数列模型，运用等比数列知识进行解决.【解题指南】设每年年底应还款x 万元，以最后一次还款日为利息计算的截止时间，则还款6次的本息和依时间先后依次为：5510) 1.1(1x x =+%万元，41.1x 万元，31.1x 万元，21.1x 万元，1.1x 万元，x 万元，还款本息和总和为54321.1 1.1 1.1 1.1 1.1x x x x x x +++++（万元）；贷款10万元，6年后的本息和为6610(11010 1.1+=⨯%)万元.根据题意得543261.1 1.1 1.1 1.1 1.110 1.1x x x x x x +++++=⨯，则 2.3008x ≈.答：每年年底应还款2.3008万元.◇◆反思提炼解有关数列应用问题时，除按照一般应用问题所遵循的步骤外，还应特别注意以下几点： （1）把问题转化为数列问题，应分清是等差数列还是等比数列，公差或公比是什么. （2）应分清是求n a ，还是求n S .（3）还应确定1a ，当确定1a 后，特别要注意n 是多少，q （或d ）是多少.◇◆变式训练4某家庭计划在2025年初购一套50万元的小型住房. 为此，计划于2020年初开始每年年初存入一笔购房专用款，使其能在2025年初连本带息不少于50万元人民币，如果年初的存款额相同，年利息按%4的复利计. 那么每年至少需存入银行多少万元人民币？（精确到0.01，参考数据265.104.16≈）.◇◆变式训练4由于2020年至2025年，该家庭每年存入x 万元，至2025年初的本利和分别为5%)41(+x ，4%)41(+x ，3%)41(+x ，2%)41(+x ，%)41(+x ，x 组成一个等比数列，2025年初连本带息共有n S 万元.令x a =1，则04.1%41=+=q ，把所给条件代入公式qq a S n n --=1)1(1 ，得()5004.1104.116≥--x ， 解得x ≥55.7. 答：每年至少需存入银行55.7万元人民币，才能使其能在2025年初连本带息不少于50万元人民币.考题精选--重实战1.一个三角形的三个内角既成等差数列，又成等比数列，则公差等于（ ） A.0° B.15° C.30° D.60° 1.A2.某林场计划第一年造林a 公顷，以后每年比上一年多造林%20，那么第5年造林的公顷数是（ ）A.5%)201(+a B.4%)201(+a C.3%)201(+a D.2%)201(+a 2.B3.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,成等差数列，则=B （ ） A.ο30 B.ο60 C.ο90 D.无法确定 3.B 【解析】B C A B -=+=ο1802，所以=B ο60.4.幼儿园304个小朋友围成若干个圈(一圈套一圈)做游戏，已知内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈相差的人数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.D 【解析】这一等差数列的和是304，首项24，末项52，代入公式()21n n a a n S +=，得()30425224=+n ，解得8=n .再由公式()d n a a n 11-+=，得()521824=⨯-+d ，解得4=d ．5.某产品平均每月降低价格的14，目前售价为640元，则三个月后售价为（ ） A.100元 B.240元 C.270元 D.360元5.C 【解析】一个月后售价为⎪⎭⎫ ⎝⎛-411640，两个月后售价为2411640⎪⎭⎫⎝⎛-，三个月后售价为2704116403=⎪⎭⎫⎝⎛-.6.在小于100的正整数中，能被3除余2的这些数的和是 . 6.16507.在1-和7之间插入三个数，使它们顺次形成等差数列，则这三个数是 . 7.1，3，58.如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有 个．8.66【解析】根据题意可知，每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1，2，3，4，L 排列，所以第12个图形的两种三角形的个数相差为12，这个图形的白色三角形的个数是1231166++++=L (个)．9.某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2020年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2020年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2020年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？9.【解析】根据题意，该市从2020年起，每年在“校校通”工程上投入的经费组成一个等差数列{}n a ，其中1500a =，50d =，那么，到2030年（10n =），投入的资金总额为1010(101)105005072502S ⨯-=⨯+⨯=（万元）. 答：从2020～2030年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.10.西部某地区计划第一年植树造林2000公顷，以后每一年比前一年多造林%10，问： （1）该地区第3年造林多少公顷？ （2）到第4年底该地区共造林多少公顷？10.【解析】由题意知，每年植树造林的公顷数组成等比数列，记为{}n a .12000a =， 1.1q =，则12000 1.1n n a -=⨯，2000(1 1.1)1 1.1n n S -=-.（1）3132000 1.12420a -=⨯=.（2）4442000(1 1.1)20000(1.11)92821 1.1S -==⨯-=-. 答：该地区第3年造林2420公顷，到第4年底该地区共造林9282公顷.。
9知识讲解_数列的全章复习与巩固_基础
数列的全章复习与巩固【学习目标】1．系统掌握数列的有关概念和公式；2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】【要点梳理】要点一：数列的通项公式 数列的通项公式一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
要点诠释：①不是每个数列都能写出它的通项公式。
如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。
如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成(1)nn a =-，也可以写成cos n a n π=；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
通项n a 与前n 项和n S 的关系：任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++；11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩要点诠释：由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，（2）求出当n≥2时的n a ，（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列。
等差等比数列中的代数推理（讲义+作业）
等差等比数列中的代数推理问题题型解读以数列为载体的代数推理，充分体现了江苏高考特点，对学生思维能力要求很高，需要学生有很强的分析问题，解决问题的能力以及较高的数学素养，考查学生分析推理、论证的能力。
数列中的代数推理问题主要围绕对等差、等比数列的概念、通项公式、性质、前n 项和的公式展开，虽然还是研究等差等比两大数列，但由于与高等数学知识和方法相衔接，立意新颖，抽象度高，同时由于代数推理没有几何图形作为依托，因而更能检测抽象思维能力的层次。
1.知识准备1.等差等比数列的基本运算2.等差、等比数列的基本性质3.等差、等比数列的判断与证明2.真题再现1.（2017江苏19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．变式：对于给定的正整数k ，如果各项均为正数的数列{}n a 满足：kn k n n n n n k n a a a a a a a 21-k 111k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-+--对任意正整数)(k n n >总成立，则称数列{}n a 是“)(k Q 数列”．（1）若{}n a 是各项均为正数的等比数列，判断{}n a 是否为“)2(Q 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 既是“)2(Q 数列”，又是“)3(Q 数列”，证明：{}n a 是等比数列．2.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1+≤≤k k k c b c 成立，求m 的最大值．分析：本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．3.（2014江苏20）设数列{}n a 的前n 项和为n S 。
2016届高考数学二轮复习 4.10 等差数列、等比数列课件
解析:设数列{an}的公差为 d,则 a1=a3-2d,a5=a3+2d,
由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,
(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,∴d=-1,则
即(a3-2d+1)·
a1+1=a3+3,故 q=1.
答案:1
能力突破点一
能力突破点二
3
3
即 2q2-q-3=0,解之得 q= 或 q=-1(舍去).
2
2
解析
关闭
答案
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点二 等差、等比数列的基本性质
思考:等差、等比数列有哪些主要性质?
提示:
类型
项的
性质
和的
性质
等差数列
2ak=am+al(m,k,l∈N*且 m,k,l
答案
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点一 等差、等比数列的基本运算
思考:对于等差(等比)数列中的五个基本量 a1,an,Sn,n,d(q)相关的问题,
有哪些处理方式及注意事项?
提示:(1)要明确“知三求二”问题,即已知五个基本量的其中三个就可以
求出其他两个;
能力迁移训练
)
D.28
分析推理当给出等差数列中已知两项的和求另外几项和
的时候,优先观察条件和所求式子中项的角标的规律,一般转化为利用等差
数列的性质来解决.
数列的概念、等差与等比数列(考点串讲)高二数学上学期期中考点(湘教版2019选择性必修第一册)
则数列首项1 = 2，公差 = 3，
所以 = 1 + − 1 = 2 + − 1 × 3 = 3 − 1，
1 +
(3−1+2)
由求和公式有 =
=
= 222，解得 = 12，
2
2
故选：C．
题型剖析
题型七
等比数列的定义
1
3
【例8】已知数列{ }中，1 = ，+1 =
=
．
举一反三
【变式】已知等差数列 的前项和为 ，且28 = 56，则12 + 13 + 14 + 15 +
16 + 17 =
．
【答案】12
【解析】由28 =
1 +28 ×28
2
= 56，得1 + 28 = 4，
则12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 3 1 + 28 = 12．
天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以
后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则
从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列{ }，
技巧点拨
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）函数法，将数列视为函数 ，即当 ∈ ∗ 时所对应的一列函数值，
根据 的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法，求出
的最值，进而求出数列的最大（小）项.
2013最新高考复习专题限时练习：数学第09讲 等差数列与等比数列
[第9讲 等差数列与等比数列]专题限时集训(九)[第9讲 等差数列与等比数列](时间：10分钟＋35分钟)1．在等差数列{an }中，已知a 1＝1an ＝39，则n ＝( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．222．已知等比数列{an }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则an ＝( )A ．4·⎝⎛⎭⎫32nB ．4·⎝⎛⎭⎫23nC ．4·⎝⎛⎭⎫32n －1D ．4·⎝⎛⎭⎫23n －1 3．若{an }为等差数列，Sn 是其前n 项和，且S 11＝22π3，则tan a 6的值为( )A. 3 B ．－ 3C ．±3D ．－334．已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则等差数列的公差为( ) A ．3或－3 B ．3或－1 C ．3 D ．－34．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，a 3＝32，S 3＝9，则a 1＝( )A.32B.92C ．－3D ．65．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1OA →＋a 2011OB →＋2OC →＝0，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过原点)，则S 2011＝( )A ．2011B ．2010C ．－2011D ．－20106．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．107．若两个等差数列{an }和{bn }的前n 项和分别是Sn 和Tn ，已知Sn Tn ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( )A ．7 B.23C.278D.2148．设等比数列{an }的公比为q ＝12，前n 项和为Sn ，则S 4a 4＝________.9．在等比数列{an }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－981a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.10．定义：我们把满足an ＋an －1＝k (n ≥2，k 是常数)的数列叫做等和数列，常数k 叫做数列的公和．若等和数列{an }的首项为1，公和为3，则该数列前2010项的和S 2010＝________.11.已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn ＝4an －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{an }是等比数列；(2)若数列{bn }满足bn ＋1＝an ＋bn (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{bn }的通项公式．12．已知等比数列{an }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)Sn 为{an }的前n 项和，证明：Sn ＝1－an2；(2)设bn ＝log3a 1＋log3a 2＋…＋log3an ，求数列{bn }的通项公式．专题限时集训(九)【基础演练】1．B 【解析】 依题意，设公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，2a 1＋4d ＝10得d ＝2，所以1＋2(n －1)＝39，所以n ＝20，选择B.2．C 【解析】 依题意，(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，所以a ＝5，等比数列首项a 1＝4，公比q ＝32，所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫32n －1，选择C. 3．B 【解析】 由a 1＋a 11＝a 2＋a 10＝…＝a 5＋a 7＝2a 6，可得S 11＝11a 6，∴a 6＝2π3.tan a 6＝－3，选择B.4．C 【解析】 依题意得1＋b ＝2a ，(a ＋2)2＝3(b ＋5)，联立解得a ＝－2，b ＝－5(舍)或a ＝4，b ＝7，所以该等差数列的公差为3，选择C.【提升训练】1．A 【解析】 S 8－S 3＝10，即a 4＋a 5＋…＋a 8＝10，根据等差数列的性质得a 6＝2.S 11＝a 1＋a 112×11＝11a 6＝22.2．C 【解析】 依题意，设公比为q ，则由a 2＝12，a 3＝14，得q ＝12，a k ＝⎝⎛⎭⎫12k －1＝164，解得k ＝7，选择C.3．C 【解析】 依题意，设{a n }公比为q ，则由a 1＝1，a 2·a 8＝16得，q 8＝16，所以a 17＝(q 8)2＝256，选择C.4．B 【解析】 依题意，设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝32，3a 1＋3d ＝9，解得a 1＝92d＝－32，选择B.5．C 【解析】 依题意得a 1＋a 2011＋2＝0，故a 1＋a 2011＝－2，得S 2011＝a 1＋a 20112×2011＝－2011.6．C 【解析】 设等比数列项数为2n 项，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则S 奇＝85，S 偶＝170，所以q ＝2，因此1－4n1－4＝85，解得n ＝4，故这个等比数列的项数为8，选择C.7．D 【解析】 根据等差数列的性质，把a 5b 5转化为S 9T 9.a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S9T 9＝214.如果两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，仿照本题解析的方法一定有关系式a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.8．15 【解析】 S 4a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)a 1q 3＝1＋q ＋q 2＋q3q 315.11．【解答】 (1)证明：由S n ＝4a n －3，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－⎝⎛⎭⎫43n －11－43＝3·⎝⎛⎭⎫43n －1－1(n ≥2)， 当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝⎛⎭⎫43n －1－1. 12．【解答】 (1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.。
高考数学(理)一轮总复习课件：同步测试9 等差、等比数列的概念、性质及应用
＝f（xx），即 f(x)＝xg(x)，从而 g(ab)＝g(a)＋g(b)． 当 n∈N*时，g(an)＝ng(a)，则 f(an)＝ang(an)＝nang(a)
＝nan－1·ag(a)＝nan－1f(a)，所以f（nan）＝an－1f(a)，
则 an＝fn21n＝2n1－1f12＝－12n.
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤．)
11．(16 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn ＝13(an－1)．
∴SS64＝94SS22＝49，选 A.
4．已知实数列an是等比数列，其前 n 项的和为
Sn.若对于任意的正整数 n，都有 Sn>0，则公比 q 的取 值范围是( B )
A．q>0 B．q>－1 且 q≠0 C．q>－1 且 q≠1 D．q 的取值与 a1 有关
5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝－2
10．已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数，且对
任意实数 a，b，恒有 f(ab)＝af(b)＋bf(a)，f(2)＝2.则 f12
＝_－__12_；令 an＝fn21n(n∈N*)，则 an 关于 n 的表达式为
a_n_＝－12n
．
【解析】令 a＝b＝1，得 f(1)＝0.从而 f(1)＝f2×21
A．7
D
B．5
C．－5
D．－7
2．在等差数列{an}中，a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a14＝77， 如果ak＝13，那么k＝
2016年高考第二轮复习理科数学课件 第9讲 等差数列、等比数列
二轮数学·理
(1)各项均为正数的数列{an}中， a1＝1， a3＝3， 如果数列{a2 n＋ 1}是等差数列，则 a13＝( A．7 B．25 ) C．49 D．50
(2)(2015· 合肥第一次质量检测)已知数列{an}满足 an＋1＝2an(n ∈N*)且 a2＝1，则 log2a2 016＝________.
第 9讲
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二轮数学·理
[思路引导] 先求出公比 q，再得结果． [解析] (1)由于 a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以 q4＋q2－6
＝0，所以 q2＝2(q2＝－3 舍去)，所以 a3＝6，a5＝12，a7＝24， 所以 a3＋a5＋a7＝42.故选 B. (2)由 3S1,2S2，S3 成等差数列，得 4S2＝3S1＋S3，即 3S2－3S1 ＝S3－S2，则 3a2＝a3，得公比 q＝3，所以 an＝a1qn－1＝3n－1.
[答案] B
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第 9讲
二轮数学·理
2．(2014· 辽宁卷)设等差数列{an}的公差为 d，若数列{2 为递减数列，则( A．d>0 C．a1d>0 ) B．d<0 D．a1d<0
a1an
}
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第 9讲
二轮数学·理
[解析] 解法一：an＝a1＋(n－1)d，所以 2a1an＝2 a1 [a1＋(n－1)d]， 2a1an 因为是递减数列且首项为正数，故有 a1an 1＝2 a1 2
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第 9讲
二轮数学·理
重点透析 难点突破
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第 9讲
二轮数学·理
考向一 等差数列、等比数列的概念 判断一个数列是否为等差(等比)数列，最基本的方法是根据 等差(等比)数列的定义．另外，还可根据通项公式及前 n 是等比数列时，注意各项均不为 0.
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第9讲 等差、等比数列
【陕西十年高考】
1.【06文3】已知等差数列{}n a 中，288a a +=，则该数列前9项和9S 等于【 】 A ．18 B ．27 C ．36 D ．45
2.【07文5】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242,10,S S ==则6S 等于【 】 A.12
B.18
C.24
D.42
3.【07理5】各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32,14n n S S ==,则4n S 等于【 】A.80 B.30 C.26 D.16
4. 【08文4理4】已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于【 】 A ．64
B ．100
C ．110
D ．120
5.【09文13】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6312a s ==,则{}n a 的通项n a = .
6.【15理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 _______.
【课标三年高考】
1.【13课标Ⅰ理7】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =【 C 】 A .3
B .4
C.5
D.6
2.【13课标Ⅰ文6】设首项为，公比为
的等比数列的前项和为，则【 】 A. B. C. D.
3.【13课标Ⅱ理3】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知321510,9S a a a =+=，则1a =【 】 A.
B. C.
D. 4.【13课标Ⅱ理16】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10150,25S S ==，则n nS 的最小值为________. 5.【14课标Ⅱ文5】等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =【 】 A. ()1n n + B.()1n n - C.
()12
n n + D.
()12
n n -
6.【15课标Ⅰ文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，
若，则【 】 12
3
{}n a n n S 21n n S a =-32n n S a =-43n n S a =-32n n S a =-1
3
13
-
1919
-{}n a n S {}n a n 844S S =10a =
A.
B. C. D. 7.【15课标Ⅰ文13】数列中为的前n 项和，若，则
.
8.【15课标Ⅱ理4】已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++=【 】 A ．21 B ．42 C ．63 D ．84
9.【15新课标Ⅱ理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则n S =________． 10.【15课标Ⅱ文5】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =【 】 A ．5 B ．7 C ．9 D ．11
11.【15课标Ⅱ文9】已知等比数列{}n a 满足11
4
a =
, ()35441a a a =-,则2a =【 】 A.2 B.1 C.12 D.1
8
12.【15安徽文13】已知数列{}n a 中,111
1,(2)2
n n a a a n -==+≥,则数列{}n a 的前9项和等于 .
13.【15北京理6】设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是【 】
A ．若120a a +>，则230a a +>
B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若120a a <<
，则2a D ．若10a <，则()()21230a a a a -->
14.【15广东理10】在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 15.【15浙江理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则【 】
A.140,0a d dS >>
B.140,0a d dS <<
C.140,0a d dS ><
D.140,0a d dS <> 16.【15福建理8】若是函数的两个不同的零点，且这三个
数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于【 】 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
17.【15湖南理14】设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 . 18.【15广东文13】若三个正数
，，成等比数列，其中
，
，则
．
19.【14北京理12】若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.
172192
1012{}n a 112,2,n n n a a a S +=={}n a 126n S =n =,a b ()()2
0,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -p q +n S {}n a n 11a =1233,2,S S S n a =
第9讲等差、等比数列参考答案【陕西十年高考】。