2017版高考数学(文)(全国)一轮复习 练习 第八章 立体几何 阶段滚动检测(八) 含解析

(建议用时:90分钟)
一、选择题
1.已知函数f（x)＝错误!若f(a)＝错误!，则a的值为(）
A。

－2或错误!B。

错误!或－2 C.－2 D.错误!
解析当a＞0时，log2a＝错误!，解得a＝2错误!＝错误!;当a＜0时，2a＝错误!, 解得a＝－2。

答案 B
2。

采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1，2，…，1 000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间［1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为（) A.12 B。

13 C.14 D.15
解析由1 000÷50＝20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n＝8＋（n－1)20＝20n－12。

由751≤20n－12≤1 000，解得38.15≤n≤50。

6.由此n为正整数，可得39≤n≤50，且n∈Z,故做问卷C的人数为12，故选A。

答案 A
3.已知向量a＝（1，2),b＝（1，0)，c＝（4，－3）。

若λ为实数，(a＋λb）⊥c，则λ＝(）
A。

错误!B。

错误! C.1 D。

2
解析∵a＝（1，2)，b＝（1，0)，c＝（4，－3).
∴a＋λb＝（1＋λ,2）,∵（a＋λb)⊥c，∴4（1＋λ)－3×2＝0，
解得λ＝错误!。

故选B。

答案 B
4.直线l：8x－6y－3＝0被圆O：x2＋y2－2x＋a＝0所截得弦的长度为错误!，则实数a的值是（）
A.－1 B。

0 C。

1 D.1－错误!
解析圆O：x2＋y2－2x＋a＝0，即(x－1)2＋y2＝1－a，
∴a＜1，圆心(1，0)、半径为错误!.
又弦心距d＝错误!＝错误!,∴错误!＋错误!错误!＝r2＝1－a，求得a＝0,故选B。

答案 B
5.已知｛a n｝是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则公差d＝()
A。

－错误! B.－错误!C。

错误!D。

错误!
解析设{a n}的公差为d,首项为a1，由题意得错误!解得错误!故选D。

答案 D
6.下列说法正确的是（)
A。

样本10,6，8，5，6的标准差是5.3
B。

“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件
C.K2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K2的值很小时可以推
定两类变量不相关
D。

设有一个回归直线方程为y^＝2－1。

5x，则变量x每增加一个单位，y平均减少1。

5个单位
解析A中,样本10,6，8,5,6的平均数为7，方差为错误!，标准差是错误!，故不正确；B中，p∧q为真，则p、q均为真，p∨q为真，p、q至少一个为真，故“p∨q 为真"是“p∧q为真"的必要不充分条件，故不正确；C中，K2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能推定两个变量不相关.所以C错；D中，设有一个回归直线方程为错误!＝2－1。

5x，则变量x每增加一个单位，y平均减少1.5个单位，正确.故选D。

答案 D
7。

若一个圆锥的正视图（如图所示)是边长为3，3，2的三角形，
则该圆锥的表面积是(）
A。

π B.2π
C.3πD。

4π
解析由已知，圆锥的底面直径为2，母线为3,则这个圆锥的表面积是错误!×2π×3＋π·12＝4π.
答案 D
8。

为了普及环保知识，增强环保意识,某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表：
附：参考公式及数据：
(1）统计量:
K2＝错误!(n＝a＋b＋c＋d)。

（2）独立性检验的临界值表：
则下列说法正确的是（)
A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
B。

有99％的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
C。

有95％的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
D。

有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
解析K2＝错误!≈4.912，3。

841＜K2＜6。

635,所以有95％的把握认为环保知识测试成绩与专业有关.
答案 C
9。

若错误!＝－错误!，则cos α＋sin α的值为（）
A。

－错误! B.－错误!C。

错误!D。

错误!
解析错误!＝错误!＝－错误!（sin α＋cos α)＝－错误!，
∴cos α＋sin α＝错误!,故选C.
答案 C
10。

双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上,离心率为错误!，双曲线C与抛物线y2＝4x的准线交于A，B两点,|AB|＝4，则双曲线C的实轴长为（)
A.2
B.错误!C。

4 D。

2错误!
解析由题意，可知双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线，设等轴双曲线C的方程为y2－x2＝λ，①抛物线y2＝4x，则2p＝4,p＝2，∴错误!＝1，
∴抛物线的准线方程为x＝－1.
设等轴双曲线与抛物线的准线x＝－1的两个交点A(－1，y），
B（－1，－y)(y＞0），
则|AB｜＝｜y－(－y)｜＝2y＝4，∴y＝2。

将x＝－1，y＝2代入①,
得22－（－1)2＝λ，∴λ＝3,∴等轴双曲线C的方程为y2－x2＝3。

即错误!－错误!＝1，∴C的实轴长为2错误!.故选D。

答案 D
二、填空题
11.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）(单位:人)
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人,则a的值为________.
解析由题意知
30
120＋a
×60＝12.解得a＝30。

答案30
12.有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
根据以上数据,用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间回归直线方程错误!＝错误!x＋错误!的系数错误!＝－2。

4，则预测平均气温为－8 ℃时该商品销售额为________万元。

解析x＝－4，y＝25，∴错误!＝25－（－2.4)×（－4)＝15.4，∴错误!＝－2.4x ＋15。

4.
∴当x＝－8时,错误!＝（－2.4)×(－8)＋15。

4＝34。

6。

答案34.6
13.在区间[－3，5]上随机取一个数a，则使函数f（x）＝x2＋2ax＋4无零点的概率是________.
解析由已知区间［－3,5］长度为8，使函数f（x）＝x2＋2ax＋4无零点即判别式Δ＝4a2－16＜0，解得－2＜a＜2,区间长度为4，
由几何概型的公式得使函数f(x）＝x2＋2ax＋4无零点的概率是错误!＝错误!.
答案错误!
14。

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝错误!bc，sin C＝23sin B,则A＝________。

解析将sin C＝2错误!sin B利用正弦定理化简得:c＝2错误!b,代入得a2－b2＝3bc＝6b2，即a2＝7b2，∴由余弦定理得：cos A＝错误!＝错误!＝错误!,
∵A为三角形的内角，∴A＝30°.故答案为：30°.
答案30°
三、解答题
15.为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500 mL 以上为常喝，体重超过50 kg 为肥胖。

常喝 不常喝 总计 肥胖2 不肥胖18 总计30
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为错误!。

（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由； （3)现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中(2名女生），抽取2人参加电视节目,则正好抽到一男一女的概率是多少？ 参考数据：
(参考公式：K 2＝错误!，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ）
解 (1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，错误!＝错误!，∴x ＝6.
常喝 不常喝 总计 肥胖 6 2 8 不胖 4 18 22 总计
10
20
30
(2）由已知数据可求得K 2
＝30(6×18－2×4)210×20×8×22≈8.522＞7.879，因此有99。

5%的
把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关。

（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A ,B ，C ,D ，女生为E ,F ，则任取两个有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ,BE ，BF ,CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ,共15种.其中一男一女有AE ,AF ，BE ,BF ，CE ,CF ，DE ，DF 。

故抽出一男一女的概率是P ＝错误!。

16。

如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平
面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝AD＝DE
＝错误!CD＝2，M是线段AE上的动点。

（1)试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
（2)在(1）的条件下,求平面MDF将几何体ADE－BCF分成的两部分的体积之比。

解（1）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF。

证明
如下：连接CE，交DF于N,连接MN，
由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，
由于MN⊂平面MDF，又AC⊄平面MDF，所以AC∥平面MDF.
（2)如图，将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－B′CF，
三棱柱ADE－B′CF的体积为V＝S
△ADE
·CD＝错误!×2×2×4
＝8，
则几何体ADE－BCF的体积V ADE
－BCF
＝V三棱柱ADE－BCF－V F－BB′C
＝8－1
3×错误!×2＝错误!.
三棱锥F－DEM的体积V
三棱锥M－DEF
＝错误!×错误!×1＝错误!，
故两部分的体积之比为错误!∶错误!＝错误!。

17。

已知函数f（x）＝ax2－b ln x在点(1，f（1)）处的切线为y＝2.
(1）求实数a，b的值；
(2)是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）＝f（x)－2x2＋m（x－1）的最小值为0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
解（1）f′(x)＝2ax－错误!(x＞0），依题意可得错误!解得a＝2,b＝4；
(2）∵g(x）＝f（x)－2x2＋m(x－1)＝m（x－1)－4ln x，x∈(0，1］，
∴g′（x）＝m－错误!＝错误!，
①当m≤0时，g′(x)＜0,∴g(x）在(0，1］上单调递减，∴g(x)min＝g（1）＝0.
②当0＜m≤4时，g′（x）＝错误!≤0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x)min＝g(1)＝0.
③当m＞4时，g′（x）＜0在错误!上恒成立，g′（x）＞0在错误!上恒成立，∴g(x）在错误!上单调递减，在错误!上单调递增,∴g(x)min＝g错误!＜g（1）＝0。

∴g(x）min≠0。

综上所述，存在m满足题意，其范围为（－∞,4]。

18。

已知椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F（2，0)，且离心率为错误!. （1）求椭圆方程；
(2）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形,求直线l的方程。

解（1)由题意知c＝2，错误!＝错误!,a2＝b2＋c2，解得a2＝6,b2＝2，
∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1.
(2）直线l的方程为y＝k(x－2).联立方程组错误!消去y并整理，
得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0.
设A（x1,y1)，B（x2，y2)。

故x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.
则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!＝错误!.
设AB的中点为M(x0，y0).
可得x0＝
6k2
3k2＋1
,y0＝－错误!。

直线MP的斜率为－错误!，又x P＝3，
所以|MP｜＝错误!·|x0－x P|＝错误!·错误!。

当△ABP为正三角形时,|MP|＝错误!|AB｜，
∴错误!·错误!＝错误!·错误!，解得k＝±1.
∴直线l的方程为x－y－2＝0，或x＋y－2＝0。