2021年中考数学复习专题三 数学建模及应用(精讲课件)

典重例点题精型讲
题组训练
(1)当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地________千米；
(2)当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
(3)在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的 值．
解：(1)根据图象信息：货车的速度V货＝
300 5
＝60(千米/时)，∵
轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，∴轿车到达乙地时
答：超市应将每本的销售价降低1元．
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【思路分析】(1)销售量＝原来销售量＋增加的销售量，据此 列式即可；
(2)根据销售量×每本利润＝总利润，列出方程求解即可．
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例2.(2020·江西赣州模拟)如图，等腰直角三角形ABC中，AB ＝BC＝8，点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿AB边向 点B运动，过点P作PR∥BC，PQ∥AC分别交AC，BC于R，Q.问 ：
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解：(1)将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量
是20＋ 0x.1×4＝20＋40x(本)；
(2)设这种笔记本每本降价x元，根据题意得：(5－3－x)(20＋ 40x)＝60，2x2－3x＋1＝0，解得：x＝0.5或x＝1.当x＝0.5时，销 售量是20＋40×0.5＝40＜50；当x＝1时，销售量是20＋40＝60 ＞50.∵每天至少售出50本，∴x＝1.
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,【思路分析】(1)由半圆的长度两种计算方法，列出方程可 求解；
(2)①由矩形的面积公式可求解； ②由二次函数的性
类型3 以三角函数为模型 例5.(2020·江西南昌一模)如图1，是某保温杯的实物图和平面 抽象示意图，点A，B是保温杯上两个固定点，与两活动环相连 ，把手CD与两个活动环AD，BC相连，现测得AD＝BC＝2.6 cm ，AB＝17 cm，如图2，当A，D，C三点共线时，恰好AC⊥BC. (1)请求把手CD的长；
学 无 止 境
本课结束
∴ED＝HD－HE＝160＋15 3 －35 3 ≈125.4(cm)；
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(2)①BF＝DE；②如图，在 Rt△BCD 中，BD＝ BC2＋CD2
＝200，∴sin ∠1＝122000 ＝0.6，∴∠1≈36.9°， 在 Rt△BAD 中，AB＝30.∴sin ∠2＝BADB ＝23000 ＝0.15， ∴∠2≈8.6°，∴∠3≈90°－8.6°＝81.4°，
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【思路分析】(1)在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，根据CD ＝AC－AD即可求出结果；
(2)分别过C，D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F.求出∠DAF的度 数即可．
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例6.(2020·江西九江模拟)图1是某浴室花洒实景图，图2是该 花洒的侧面示意图．已知活动调节点B可以上下调整高度，离地 面CD的距离BC＝160 cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动 花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30 cm.假设水柱AE垂直AB直 线喷射，小华在离墙面距离CD＝120 cm处淋浴．
(1)平行四边形PQCR面积能否为7？如果能， 请求出P点运动所需要的时间；如不能， 请说明理由； (2)平行四边形PQCR面积能否为16？能为20吗？如果能，请 求分别出P点运动所需要的时间；如不能，请说明理由．
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解：(1)设动点 P 从 A 点出发移动 x 个单位时，▱PQCR 的面积 等于 7，依题意有12 ×82－12 x2－12 (8－x)2＝7，解得：x1＝1， x2＝7，∴运动时间是12 或72 秒．答：当动点 P 从 A 点出发移 动12 或72 秒时，▱PQCR 的面积等于 7. (2)由题意得12 ×82－12 x2－12 (8－x)2＝16，解得：x1＝x2＝4， 此时运动时间为：42 ＝2(秒)；12 ×82－12 x2－12 (8－x)2＝20， 此方程无解．所以当动点 P 从 A 点出发移动 2 秒时，▱PQCR 的面积等于 16.不存在 PQCR 的面积等于 20 的情况．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为 3.5或4.3小时．
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【思路分析】(1)根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此 求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小 时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为 270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程 为：300－270＝30千米；
(2)先求出线段CD对应的函数关系式，再根据两直线的交点 即可解答；
(3)分两种情形列出方程即可解决问题．
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例4.如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形 ，两边是半圆，直道AB的长是多少？你一定知道是100米！可你 也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因， 等你做完本题就明白了．设AB＝x米．
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【思路分析】(1)设动点P从A点出发移动x个单位时，▱PQCR 的面积等于7，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式 可列方程求解；
(2)利用(1)中的方法建立方程，进一步解方程，根据方程根的 情况判定即可．
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类型2 以函数为模型
例3.(2020·江西抚州市一模)甲、乙两地相距300千米，一辆货 车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货 车 离 甲 地 距 离 y( 千 米 ) 与 时 间 x( 小 时 ) 之 间 的 函 数 关 系 ； 折 线 OBCDA表示轿车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关 系．请根据图象解答下列问题：
(参考数据： 3 ≈1.73，sin 8.6°≈0.15，sin 36.9°≈0.60，tan 36.9°≈0.75)
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解：(1)过点 A 作 AG⊥CB 的延长线于点 G，交 DE 的延长线 于点 H，AH＝GH－AG＝120－15＝105， ∴EH＝AH tan 30°＝35 3 ，
解
得
k＝110， b＝－195，
∴ CD
段函数解析
式 ： y ＝ 110x － 195(2.5≤x≤4.5) ， 易 得 OA ： y ＝ 60x ，
y＝110x－195， y＝60x，
解得xy＝＝233.94，，
∴当
x＝3.9
时，轿车与货
车相遇；
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(3)当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150－80＝70＞20，由 题意60x－(110x－195)＝20或110x－195－60x＝20，解得x＝3.5 或4.3小时．
(1)当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身 高DE.
(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合， 调整的方式有两种：
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①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动 的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；
②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α 的度数．
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(2)分别过 C，D 作 CE⊥AB 于 E，DF⊥AB 于 F.∵CD∥AB， ∴∠CDF＝90°＝∠DFE＝∠CEF，∴四边形 CDFE 是矩形， ∴DF＝CE，EF＝CD，又 AD＝BC， ∴Rt△ADF≌Rt△BCE(HL)， ∴AF＝BE＝12 (AB－EF)＝1.4(cm)， ∴cos ∠DAF＝AADF ＝12..46 ≈0.538，∴∠DAF＝57.5°， ∵CD∥AB，∴∠ADC＝180°－∠DAF＝122.5°.
(1)请用含x的代数式表示BC； (2)设矩形ABCD的面积为S. ①求出S关于x的函数表达式； ②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？
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解：(1)由题意可得：12 π·BC＝4002－2x ，∴BC＝400π－2x ；
(2)①∵四边形 ABCD 是矩形，∴S＝400π－2x ×x＝－π2 (x －100)2＋20π000 ；②当 x＝100 时，S 最大，∴当 AB＝100 米时，S 最大．
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(2)如图3，当CD∥AB时，求∠ADC的度数．(参考数据：sin 57.5°≈0.843，cos 57.5°≈0.538，tan 57.5°≈1.570)
解：(1)∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， ∴AC＝ AB2－BC2 ＝ 172－2.62 ＝16.8(cm)， ∴CD＝AC－AD＝16.8－2.6＝14.2(cm)；
，货车行驶的路程为：4.5×60＝270(千米)，此时，货车距乙地
的路程为：300－270＝30(千米)，所以轿车到达乙地后，货车距
乙地30千米；
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(2)设 CD 段函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)(2.5≤x≤4.5).由题
意
得
2.5k＋b＝80， 4.5k＋b＝300，
∴α＝180°－∠1－∠3≈180°－36.9°－81.4°＝61.7°.
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【思路分析】(1)过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的 延长线于点H，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
(2)①由平行四边形的判定与性质即可知道BF＝DE； ②由勾股定理可求出BD的长度，然后根据锐角三角函数的定 义可求出∠1与∠2的度数，从而可求出α的度数．
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专题三 数学建模及应用
江西中考每年数学建模及应用题都有考查，且关注点广、分 值多，常考的类型有方程(组)类、函数类解直角三角形类等， 所涉及的知识点有方程(组)、函数的性质、三角函数以及各种 几何图形的性质与判定，所涉及的背景材料基本是热点问题和 民生问题．
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类型1 以方程和方程组为模型 例1.(2020·江西九江模拟)某超市以3元/本的价格购进某种笔 记本若干，然后以每本5元的价格出售，每天可售出20本．通过 调查发现，这种笔记本的售价每降低0.1元，每天可多售出4本， 为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售． (1)若将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是 ________本；(用含x的代数式表示) (2)要想销售这种笔记本每天赢利60元，该超市需将每本的售 价降低多少元？