大气海洋动力系统周期解与稳定性分析

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大气海洋动力系统周期解与稳定性分析
作者姓名:高丝雨
专业名称:应用数学
指导教师:李勇教授
本文是以介绍一个非自治大气海洋动力系统模型初边值问题为核心的综述,该模型主要用于描述在海洋与大气接触面所进行的能量交换和物质交换的过程以及流体在不同位置的动力学行为.作为理解的基础,我们引入了关于流体力学中三大类方程：Euler方程、Navier-Stokes方程、表面准地转方程及其相关结果的介绍.其中包括三类方程的建立过程,方程的适定性分析,解的渐进行为以及不同类型方程之间结构性和理论性的比较分析等.
模拟自然现象发展过程的系统都离不开物理背景和相关作用原理的支持.大气海洋模型,包括作为基础的其他三类方程都构建在能量守恒与能量交换规律的基础之上.在进行解的渐进估计的同时,我们也可以得到很多能量等式和能量不等式,进而为得出结果的实际意义提供理论支撑.众所周知,自然界中的海洋运动主要有两方面能量来源：风的驱动和太阳辐射.风的驱动直接作用在海洋表面,是上层气体能量传递给下层水体的过程,能量的传递形式为风的动能转化为水流的动能；而太阳辐射的作用则是间接作用,通过热辐射使表层水体的温度升高,从而密度降低,表层水体又向深层水体进行热量传递,密度差和温度差造成了水体的大范围迁移.这就是大气海洋模型构成的物理背景.
在与海洋相关的日常生产生活中,人们最关心的是如何预测海洋气候的变化.其中一种手段就是预测海洋运动的长时行为也就是渐进行为,或是能够找到类似于周期性的变化规律.在动力系统的概念下就是建立合适的非自治的动力学模型,找到方程解关于时间的变化趋势,如随时间推移解会渐进趋于稳定,或者是在受周期
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外力时,解也能够呈现一定的周期性.基于这样的目的,本文将重点放在介绍在外力驱动下大气海洋模型稳定性和周期性相关问题.受非线性算子的作用,流体方程普遍具有较高的复杂性,关于流体方程相关结果的进展对于相关领域的发展都具有很强的推动作用.
由于人们对解决此类方程所需的技术手段的发展还不够完善,对流体运动机制还需要进一步探究,现在所研究的流体模型仅仅能够应用于特定的自然背景下,更加完善和科学的模型也需要我们进一步探讨.另外更多的模型特性,虽然在自然条件下被我们作为常识,但在理论上仍然有待进一步地证明.
关键词:
大气海洋动力系统;Euler方程;Navier-Stokes方程;准地转方程;周期解;指数稳定性.
Abstract
Abstract
Analysis on Periodic Solutions and Stability of Atmospheric and Oceanic Dynamical Systems
Author:Siyu Gao
Major:Applied Mathematics
Supervisor:Professor Yong Li
This thesis mainly focus on introducing a nonautonomous atmosphere-ocean model with initial value condition or boundary condition.This model is mainly used to describe the energy and materials exchange at the air-sea surface,as well as the dynamical behavior of the flow in different positions.As the basis of understanding this system,three types of fundamental equations,Euler equation,Navier-Stokes equation and Quasi-Geostrophic equation and their relative results are introduced in the first place,including their setup process,well-posedness,asymptotic behavior of the solutions,and the comparative analysis among them,etc.
Without any supportive physical background and theory,no simulation of the evolution of natural phenomenon will proceed successfully.The atmosphere-ocean model,and even the three fundamental equations are all constructed upon energy conservation and mass conservation.We estimate their solutions asymptotically and, in the meanwhile,deduce many energy equalities and inequalities for explaining the actual situation theoretically.It is well known that the energy for ocean motion mainly have two sources,the wind-driven force and the solar radiation.The wind-driven force act directly on the fluid surface.The kinetic energy of wind turns into the kinetic energy of fluid.However,the solar radiation works in an indirectly way. It heats up the shallow fluid and reduce its density,and the heat is transferred to lower fluid.The temperature and density difference lead to a large scale of current migration.The internal energy of atmosphere turns into the kinetic energy of fluid. All above are the physical background of atmosphere-ocean model.
During the productive progress related to the ocean,one thing people mostly concerned is how to predict the marine climate in the future.One of the most
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important measure is to predict the long-time asymptotic ocean motion or find any periodic changing pattern.In the concept of dynamical system,that means to construct a proper nonautonomous dynamical model and find the variation tendency of solutions with respect to time.In order to do so,we emphasize the stability and periodicity of atmosphere-ocean model with external force.
Because of the existence of nonlinear operator,fluid equations are more com-plicated.Any progress or any new result will make a great difference in this area. Due to our lack of method and immaturity of technique,we still have a long way to go for investigate such a sophisticated locomotory mechanism.The work has been done now could only be used in some certain conditions,and they need to be further improved.Besides,some characters of these motions,although already have been seen as common senses,still need to be proved theoretically.
Key words:
atmospheric and oceanic dynamical system;Euler equation;Navier-Stokes e-quation;quasi-geostrophic equation;periodic solution;exponential stability.
目录
目录
第一章绪论 (1)
1.1大气海洋模型提出背景 (1)
1.2模型概述 (2)
1.2.1模型计算难点 (3)
1.2.2模型研究目的 (4)
1.3Euler方程、Navier-Stokes方程和准地转方程 (4)
1.4本文研究意义及文章结构 (7)
第二章三大类方程体系建立与分析 (8)
S2.1Euler方程相关结果 (8)
S2.1.1Euler方程奇异解问题 (8)
S2.1.2Euler方程弱解的能量守恒问题 (10)
S2.2Navier-Stokes方程组的建立与分析 (12)
S2.2.1Navier-Stokes方程解的衰减性问题 (12)
S2.2.2Navier-Stokes方程与Euler方程比较性分析 (14)
S2.3准地转方程模型建立与分析 (16)
S2.3.1表面准地转模型的构建 (16)
S2.3.2表面准地转方程的相关结果 (19)
S2.3.3准地转方程与Euler方程比较性分析 (20)
第三章大气海洋耦合系统的建立与分析 (23)
S3.1大气海洋耦合系统的建立及参数表示 (23)
S3.2大气海洋耦合系统适定性 (25)
S3.3大气海洋系统周期解、概周期解和拟周期解相关结果 (27)
第四章结果与讨论 (31)
致谢 (35)
第一章绪论
第一章绪论
S1.1大气海洋模型提出背景
通常预测天气与气候长时行为的方法有两种,经验预测与理论分析.以往人们通过观察天象、物象的变化寻找规律,编成气象谚语来预测近期的天气,这些都属于经验预测的范畴.但在很多人看来这并不能用科学加以解释,或者多数情况下并不准确.随着当代数学的发展,我们可以利用动力系统模拟温度、湿度的变化,进一步对天气情况进行计算和演绎,这种理论分析方法可以较大程度的提高预测的准确性.能够模拟天气变化规律抽象为非线性偏微分方程初边值问题,就是本文所主要关注的大气海洋动力系统模型.
大气海洋动力系统模型（简称：海气方程）最早起源20世纪初的能量分析思想.所有大气和水域循环系统,无论是小区域内的封闭系统,或者是大范围内由风驱动的洋流运动,都离不开能量的传递与转化.1903年,Maroules在一篇经典文章[1]中就运用了能量转化思想用于解决大气运动的渐进行为问题.1922年,Richardson首次提出了天气数字预测概念,这种思想为而后通过建立可以模拟大气运动的微分方程提供了理论基础.由于天气运动本身涉及的参数较多,维数较高,建立的方程组也具有相当的复杂性,一方面在理论计算上可以运用的技术有限,另一方面计算机的发展水平也处于萌芽阶段,定量分析气象数据在当时几乎是不可能的.20世纪末期,得力于计算机系统的诞生和飞速发展,学者们围绕大气海洋初始方程进行进一步多方面的建立和完善.而后的几十年里,人们已不仅仅局限于进行短期的天气预测,而更加着眼于长期的气象分析,水体迁移,数值预测的贡献也不仅仅局限于天气预报,便利于民,而更加反映在概述性预测区域或全球未来十几年或几十年的发展走向,为人类生活方式方法提供指导,为国家制定环境保护、水产开发、土地利用等方面相关政策提供建议.
1965年,世界气象组织和国际科学联盟理事会（ICSU）共同提出了一项全球范围大气综合观测试验研究计划,旨在进一步认识大气运动规律,建立更加有效准确的天气预报模式,设计最佳的天气预报系统,探索天气系统可预报性的最大限度.尽管很多国家都成立了气候研究中心,为当地的气象数据建立了大范围时间尺度,高密度格点收集的数据集,但是对于庞大的大气海洋系统来说只是沧海一粟,参与水气循环的大多数地域都没有被纳入观测的范围之内.另一方面,数据只是通过统计
第一章绪论
手段简单的记录下来,并不能够直接反映出其中的物理规律和动力学特征,甚至缺失了一些可能影响气候变化的参数项,这些困难使得预测工作又一次进入了平台期. 20世纪80年代后期,为了尽量弱化可能数据的缺失和观测资料时空分布不均,科学家们又提出了一种新的再分析法,将长期预测工作分为细密的多个时段,随着时间的推移,以最新时段的数据代替以往的数据作为初始方程的新初值,预测分析的技术手段又向前推进了一步.
地球表面积约五亿平方千米,随昼夜气候更替而进行的大气洋流运动难以捉摸,其中涉及的物理规律仍然有待进步探查.另外,人类的建设、开发、开采、种植等活动在一定程度上也影响着气候的变化,相比于遵从一定规律的其他因素,人类的影响更加复杂.因此,气候精准预测的目标的实现还需要相当长的时间.尽管如此,也正因为如此,在数学界为数值预测气候变化做出贡献的工作层出不穷,呈百家争鸣之态.建立分析预测系统首先是要列出符合物理规律的动力学模型,然后找到合适的初始时间状态和简单易观测的边界状态作为模型的限制条件,结合以上两方面就构成了非线性大气海洋模型初边值问题.
S1.2模型概述
全球海洋循环包含位于海洋表面的由风驱动的上层循环和海洋内部的由洋流主要构成的热盐循环.上层循环中主要包括蒸发作用和降雨作用,蒸发的过程中风会带走海洋中的水分,一方面提高了局部水体的含盐程度,也体现为密度的变化,另一方面为水体运动提供动能；降雨作用则会为海洋注入新鲜淡水,降低含盐程度.另外海洋表面也是水体与大气进行热量交换并接受太阳长波辐射与短波辐射的主要位置.深入海洋内部,纬度不同水体的温度也不同,低纬度地域,如赤道附近,常年接受太阳直射时间最长,辐射距离最短,水体的温度自然偏高.高纬度地域,如两极地区,常年受日照时间段,日射角度小,水体温度相对偏低.另外水体位置的深浅也会影响温度,浅层水域能够接受的能量辐射最多,相比而言深海则几乎接收不到太阳直接辐射.因此,高纬度水团下沉,低纬度水团上升,浅层海域又向深层海域逐渐进行热量的传递,如此构成了整个海洋的动力学系统.
另一方面,海洋对于大气中的冷暖空气形成及运动也具有不容忽视的反馈作用,类似于风驱动海水运动的作用,水体的潮汐变化,寒流暖流的迁移都会反之作用于大气,最常见的例子就是海洋气候的形成.台湾海峡中的平潭岛年平均昼夜温差4.9∘C,
第一章绪论
同样邻海但并非环海的福建地区年平均昼夜温差则为10.4∘C,而远在内陆的吐鲁番地区的昼夜温差则可高达50∘C.南海诸岛一年内能达到的最高气温也只为28∘C,而位于较高纬度的重庆、长沙的气温最高则可达到35∘C以上.由此可见,海洋对大气的反馈作用也不容忽视.
综上分析,整个气候范围内的能量与物质循环是一个耦合相互作用的大气-海洋模型,这个模型是我们理解和分析热量环流动力系统对于气候变化所起到影响的关键.具有代表性地,Gao和Duan[2]曾经提出大气海洋耦合模型
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩θt=θyy−(a+θ)+S a(y)−γ(y)[S0(y)+θ−T]+F,0 y 1, q t+J(q,Ψ)=P rΔq+P rRa(T y−S y),(y,z)∈Ω,
T t+J(T,Ψ)=ΔT,(y,z)∈Ω,
S t+J(S,Ψ)=ΔS,(y,z)∈Ω,
其中涉及到的未知变量为水体表面温度θ,水流涡度q,水体内部温度T,水体盐度S,参数项F表示外力,J为Jacobian算子J(g,ℎ)=g xℎy−g yℎx.
S1.2.1模型计算难点
首先,从方程的形式来看,涉及的未知变量和已知参数较多,在为方程确定初边值条件的时候需要全面考虑其合理性,一方面是否具有满足某一初边值条件的解,也就是整个系统的适定性问题.另一方面,初边值的确定是否能够反映出正确的气象现象,符合相应的物理规律,从而更好地反映实际情况,更加有效地模拟和预测气候的长时行为.
第二,方程中的非线性算子Jacobian算子使得方程很难求解,而且一般涉及到流体运动的方程,如典型的Navier-Stokes方程中所涉及的粘性项也都是非线性算子,处理此类算子成为解决该模型基本问题不可避免的一大考验.
第三,关于外力项F的定性问题,随着自然情况的不同可以不断调整F的形式,如确定情形下的周期形式、拟周期形式、概周期形式、剧烈振荡形式、含时滞项形式,随机情形下的Wiener过程,Levy过程等,不同的外力形式是否都能够使得方程有解存在仍然有待探查.
此外,关于区域Ω的设定是R N中的有界区域还是R N本身,N为有限维数还是无穷维,Ω的边界是否足够光滑,都会影响最终解的行为,在分析模型的过程中为了达到不同的目的和效果,选取恰当的区域边界和变量维数也是一门学问.
第一章绪论
S1.2.2模型研究目的
本文的研究目的旨在介绍并推广大气海洋模型及其相关结果和计算方法,以期为今后分析总结方程算子半群特性,简化方程,优化计算方法等方面提供启发.介绍方程适定性结果以及在外力扰动情况下解的稳定性问题和周期性问题.作为大气海洋模型来源的三大类方程Euler方程、Navier-Stokes方程以及准地转方程的能量守恒性质,解的正则性,解的长时渐进行为,如衰减性、吸引性或者爆破性,不同方程解的发展特性的比较都将作为本文的重点.
S1.3Euler方程、Navier-Stokes方程和准地转方程
大气海洋模型的原型来源于对Navier-Stokes方程组的发展,而Navier-Stokes方程组又建立在理想流体力学中的三大定律,即质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律之上.其中由动量守恒定律推出的就是著名的Euler方程.而Euler方程与准地转方程无论在方程形式上,还是在几何结构和解析性质上都具有相似之处.三者都是流体力学中用来描述液体或气体按照物理规律运动并发生能量交换过程所常用的方程.
一般Euler系统主方程的形式为
ðu
ðt
+u·∇u+∇p=F,(1.3.1)
其中u为速度向量,表示在位置x处流体微元的运动速度,p为压强,表示作用在单位面积内的流体压力,F为外力项,表示单位质量流体所受的外力,封闭系统不受外力的情况下F=0.三维情况下的分量形式为
ðu i ðt +
3
∑︁
k=1
u k
ðu i
ðx k
+
1
ρ
ðp
ðx i
=F i(i=1,2,3),
它是由表示质量守恒定律的微分方程
ðρ
ðt
+div(ρu)=0,(1.3.2)
第一章绪论代入表示动量守恒定律的方程
ððt (ρu i)+
3
∑︁
k=1
ð
ðx k
(ρu k u i+pδki)=ρF i(i=1,2,3),
化简得来的,其中ρ表示流体密度,所以说Euler方程的产生是牛顿第二定律在流体中的直接应用.
在上述Euler方程的建立过程中,均忽略了流体的内摩擦效应,即粘性效应.在考虑具有粘性的流体方程组时,表示质量守恒的方程仍具有(1.3.2)式的形式,而表示动量守恒的方程中,表示压力张量的−pδki项应改为应力张量形式,从而变成具有粘性系数μ的Euler方程
ρðu i
ðt
+ρ
3
∑︁
k=1
u k
ðu i
ðx k
+
ðp
ðx i
−
ð
ðx i
((μ′−
2
3
μ)div u)−
3
∑︁
j=1
ð
ðx j
(μ(
ðu i
ðx j
+
ðu j
ðx i
))=ρF i(i=1,2,3).
另外,在考察不同流体性质的情况下,系统还分为可压缩和不可压缩两种情况.典型的不可压缩流体比如常温常压下的水,其密度变化可以忽略不计,具有该特性的流体均视为不可压.反之,密度随温度或压强变化明显的都是可压缩流体.虽然流体都具有不同程度的可压性,但液体密度只有在高压情况下才发生微小变化,所以涉及到液体流动,如本文所讨论的海洋模型一般采用不可压缩条件div u=0来简化方程的形式.至于气体情况,尽管气体的密度很容易随着温度和压强的改变而改变,我们也可以用空气动力学中的物理量马赫数来衡量气体密度的变化程度是否可以被忽略,从而简化方程.
对于不可压缩流体,由于密度不随温度和压强改变,所以ρ≡c,c为常数.从而,质量守恒方程(1.3.2)化为
div u=0.(1.3.3)
(1.3.3)式一直被作为不可压缩系统的重要标志之一.不可压缩流体运动的基本的方程组为
ðu
ðt
−μΔu+u·∇u+∇p=F,(1.3.4)
第一章绪论
div u=0,(1.3.5)
也就是著名的Navier-Stokes方程组.Navier-Stokes方程组常被用于描述物理学中重要的流体学现象,大到大气运动和洋流迁移,小到管道中的水流和机翼周围的气流等.从形式上观察(1.3.1)和(1.3.4)两式相似,但相比于形式更加简单的Euler系统来说,Navier-Stokes方程与之最大的区别在于它的耗散性,而Euler系统则是守恒系统.对于Navier-Stokes方程组(1.3.4)-(1.3.5),通常可以考虑其初值问题,也就是给定初值条件
u(0,x)=u0(x)
时解在t>0之后的渐进行为.另外对于有界区域内也可以考虑边值条件下
u|
Γ
=0
的初边值问题.Navier-Stokes系统一直以来被认为是引发湍流现象的重要机制,虽然它在多个领域的实践操作中都得到了很好的应用,但关于三维方程组解的存在性唯一性,以及如果存在解是否光滑等问题一直都没有得到解决.这一问题就是克雷数学研究所在2000年提出的千禧年大奖难题.
二维准地转方程的形式为
ðθ
ðt
+u·∇θ=0,(1.3.6)其中,θ为中间变量,u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t))∈R2或T2,
u=(u1,u2)=(−ðψ
ðx2
,
ðψ
ðx1
),
−θ=(−Δ)1/2ψ,
分数阶算子(−Δ)1/2由Fourier变换得到,
(−Δ)1/2f(ξ)=|ξ|̂︀f(ξ),
第一章绪论其中
̂︀f(ξ)=1
2πe
∫︁−iηξ
f(η)dη.
(1.3.6)式还被称为表面准地转方程,Constantin等人[3]揭示了表面准地转方程与三维不可压缩Euler方程之间具有一定的结构相似性,准地转方程中θ水平集与三维Euler方程的涡流线相似,一方面印证了表面准地转方程构造的合理性,另一方面也阐述了准地转方程的解的存在性唯一性与较为简单的Euler方程解之间的关系.在旋转体系,如地球自转系统中直线运动的物体实际的运动轨迹会发生偏移,形式上抽象出一种科里奥利力作为发生这种偏移的原因,最容易理解的例子如河道的一侧会比另一侧冲刷的更厉害.而准地转方程描述的系统中所考虑的科里奥利力和地球表面的气压梯度力达到平衡,仅有惯性参与作用.这种形式上的简化更有利于模拟地球表面流体的运动情况.
S1.4本文研究意义及文章结构
Euler方程、Navier-Stokes方程以及准地转方程作为上世纪中期开始逐渐建立并完善的三大流体系统逐渐成为模拟解决并分析长时流体运动发展行为的重要理论基础.赋予这些系统不同的初边值条件,得出的相应解的渐进特性很好的印证了实际情况中所存在的气候变化情况.如海水受风暴影响会短时出现湍流等剧烈振荡现象,而长时行为总是会趋于平稳,这种现象可以由耗散方程解的衰减特性来解释.随季节变化或年份推移而出现的季风现象、洋流运动或周期性的温度突变如厄尔尼诺现象等需要通过建立周期外力驱动的动力系统找到其周期解来加以解释,这体现了数学模型在理解地球物理系统中气候现象特性所起到的重要作用,大气海洋耦合方程的建立与分析也成为理解气候现象、预测气候变化的重要手段之一.
作为理解大气海洋模型的基础,在本文的第二章我们主要致力于研究Euler方程、Navier-Stokes方程以及准地转方程的适定性问题和解的渐进行为,具体来说介绍了Euler方程解在有限时间内发生爆破的充分条件以及其弱解的能量守恒问题,关于Navier-Stokes方程解的衰减性问题和表面准地转方程的相关结果,在每小节的最后都将更为复杂的系统与较为简单的Euler系统解的衰减性进行了比较分析.在第三章中介绍大气海洋耦合模型的建立过程、适定性问题及解的周期行为和渐进行为,简单论述随机情形下的大气海洋耦合模型的研究进展,第四章进行结果的总结讨论以及对未解决且有价值的问题提出解决建议并进行展望.
第二章三大类方程体系建立与分析
第二章三大类方程体系建立与分析
本章主要介绍Euler方程、Navier-Stokes方程以及准地转方程解的渐进行为,能量守恒与耗散问题的几个重要结果.
S2.1Euler方程相关结果
S2.1.1Euler方程奇异解问题
考虑一个描述理想多方气体运动的可压Euler系统：
ρt+∇·ρu=0,(2.1.1)
ρ(u t+u·∇u)+∇p=0,(2.1.2)
s t+u·∇s=0,(2.1.3)
p=Aργe s(A>0,γ>1),(2.1.4)
其中,未知量ρ,u,s,p分别代表气体密度,速度,比熵和压强.参数γ代表绝热指数. e为单位质量气体的内能,一般由气体分子不规则运动而具有的动能和不同分子相互之间位置决定的势能两方面构成.该系统考虑的是多方气体,即其内能大小与势能无关而只与温度有关并成正比的气体,数学表达式为
e=c V T V,
c V为常数,称为定容比热,T V表示气体的温度.
给定初值条件,且在|x|=R的圆盘外初值为常数：
ρ(x,0)=ρ0(x)>0,ρ0(x)=ρ,|x| R,(2.1.5)
u(x,0)=u0,u0=0,|x| R,(2.1.6)
s(x,0)=s0,s0(x)=s,|x| R.(2.1.7)
本文介绍第一个主要的定理描述了在给定初值连续光滑,初始扰动很大的情况下,该扰动迫使波前以超音速传播,则该系统的解会在有限时间内出现爆破现象,也
第二章三大类方程体系建立与分析就是产生激波。

在介绍定理之前,还应引入几个物理量：
m(t)=∫︁
(ρ(x,t)−ρ)dx,
S(t)=∫︁
[ρ(x,t)e s/γ−ρe s/γ]dx,
P(t)=∫︁
x·ρu(x,t)dx,
c=(Aγργ−1e s)1/2,
分别表示气体的质量变化,熵变化,动量在径向上的分量以及音速参数表达式.
定理2.1.1[3]假设0 t T时,(ρ,u,s)是系统(2.1.1)-(2.1.7)的C1光滑解.如果
m(0) 0,S(0) 0,
P(0) 16π
3
c R4maxρ0(x),
则T<+∞.
这个定理主要应用于可压缩流体情况.事实上很多不可压缩流体的问题可以通过已知可压缩流体的结果进行一致逼近来得到相应的结论.如前文所述,衡量可压缩程度进而决定可压缩因素是否能够被忽略的一个重要的无量纲参数就是马赫数,记为Ma,定义为流场中某点的速度v与声速c之比
Ma=v c .
关于可压缩Euler方程已有的研究理论比较完备.Sideris[4]提到如果初值条件加上特定的假设,Euler系统的任何光滑解都可以在有限时间内发生爆破.事实上这种情况并不难理解,相比于具有耗散机制的Navier-Stokes系统,Euler方程描述理想流体的运动,也就是没有粘性和热传导的作用,整个系统为对称双曲型,可以写成能量守恒组的形式,没有能量的耗散,所以加入小扰动就可能出现剧烈振荡现象或者爆破现象.
在流体密度不变的不可压缩流中,声速c=∞,则Ma=0.比较公认为权威的说法是当Ma 0.3时,流体的压缩性影响就不能够被忽略.为了得到不可压缩系
第二章三大类方程体系建立与分析
统的结果,可以令声速c 趋近于无穷来构造渐进估计[5].但是在上述定理的设定下,C 1连续的可压缩流的时间上界T 并不能证明出一致收敛于某个极限,所以对于不可压系统解的奇异性结果不能用一致逼近的方法来得出.
S 2.1.2Euler 方程弱解的能量守恒问题
1949年,Onsager 在他一篇著名的文章[6]中提出猜想：如果Euler 方程的弱解满
足H¨o lder 连续性且H¨o lder 指标大于13时,该弱解满足能量守恒.这一猜想在1994年得到了证实[7].能量守恒式的形式为
∫︁
R 3|u (x,t )|2dx =∫︁R 3|u (x,0)|2dx.
不可压Euler 方程的能量密度为12ρ|u |2,而可压Euler 方程的能量密度为12ρ|u |2+P (ρ),其中P 为压强势是一个仅与密度ρ有关的函数.可见,对于速度u 的L 2估计对于分析
流体能量变化具有重要的物理意义.众所周知,在可压缩流体动力学中激波的出现可能会引起能量的散失.在不可压缩流体系统中满足能量耗散的弱解也被构造出来,在这些例子中的能量耗散解都或多或少的呈现一种非正则性,因此我们很自然的提出解满足怎样的正则性才能够保证能量守恒？在介绍本节主要结果之前,需要先引入Besov 空间的定义.
定义1[8]我们称一个函数属于Besov 空间B α,∞p
(Ω),如果‖ω‖B α,∞p (Ω):=‖ω‖L p (Ω)+sup
ξ∈Ω‖ω(·+ξ)−ω‖L P (Ω∩(Ω−ξ))|ξ|α<+∞,
其中Ω=(0,T )×T d 或T d ,Ω−ξ={x −ξ:x ∈Ω}.
Besov 空间是比Sobolev 空间H s (Ω)更为广泛的线性赋范空间,在Besov 空间中计算要求函数的正则性更高,有利于得到更优的结果,而且Besov 空间所具有的范数能够更好地联系实际的函数结构.
Besov 空间具有很多好的性质,对于后期方程解的不等式估计有重要的帮助作用.令η∈C ∞(R N )为标准磨光核,设ηε为
ηε(x )=1εN η(x ε
),。