广东省深圳市耀华实验学校2017-2018学年高二数学下学期期中试题(实验班)理

2017－2018学年第二学期期中考试高二年级实验班(理科数学)试题
卷
本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。

2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．已知复数1i
z i
=
＋，则复数z 的模为
（A ）
2 （B （C ）12 （D ）12+12
i 3．复数31i
z i
+=
-的共轭复数z =
（A ）12i + （B ）12i -
（C ）2i +
（D ）2i - 4．设a 是实数，且
2
11i
i a ++
+是实数，则a 等于 （A ）1 （B ）21 （C ）5
1
（D ）5
1-
5．已知R a ∈，且i
i
a -+-1为纯虚数，则a 等于
（A ）2
（B ）2-
（C ）1
（D ）1-
6．若(12)1ai i bi +=-，其中a ，R b ∈， i 是虚数单位，则||a bi +=
（A ）
12
i + （B （C （D ）54
7．函数x
x
y ln =
的最大值为 （A ）1-e （B ）e （C ）2e （D ）
3
10
8．函数2
cos y x x =的导数为
（A ）2
2cos sin y x x x x '=-
（B ）2
2cos sin y x x x x '=+
（C ）2
cos 2sin y x x x x '=-
（D ）2cos sin y x x x x '=-
9．已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =
（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1 10．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = （A ） 0 （B ）1 （C ） 2 （D ）3
11．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为 （A ）3
（B ）2
（C ）1
（D ）
1
2
12．若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1
(2)2
，内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是
（ ）
（A ）(,2]-∞- （B ）1(,)8-+∞ （C ）1
(2,)8
-- （D ）(2,)-+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．
10
(2)x e x dx -=⎰
_____________.
14．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径C
S
r 2=
．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R =_____________. 15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为__________．
16．观察下列等式： ,104321,6321,3212
3
3
3
3
2
3
3
3
2
3
3
=+++=++=+，根据上述
规律，第．1．0．个等式．．．为_____________.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分． 17.（本题满分10分）
（Ⅰ）计算：10
3
1i (1i)(2i)1+i i --++⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （Ⅱ）设复数z 满足1z =,且(34i)z +⋅是纯虚数,求z .
18．（本小题满分12分）
设函数3
()3(0)f x x ax b a =-+≠．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点．
19. （本小题满分12分）
用分析法证明：||()a b a b >-≠
20．(本小题满分12分)
已知函数2
21()()2
f x ax a b x =
-+()ln ,a x a b R +?.
（Ⅰ）当1b =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当1a =-，0b =时，证明：2
1()12
x f x e x x +>--+（其中e 为自然对数的底数）．
21．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足11a =，11429(*)n n n n a a a a n N ++-+=∈. （Ⅰ）求234,,a a a ；
（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
22．(本小题满分12分)
设()21x
f x e ax =--． （Ⅰ）讨论函数()f x 的极值；
（Ⅱ）当0x ≥时，2e 1x ax x ≥++，求a 的取值范围．
2017—2018学年第二学期期中考试 高二年级实验班(理科数学)试题
参考答案
一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．
12.由题意得1()2f x ax x
'=+，若()f x 在区间1(2)2
，
内存在单调递增区间，在()0f x '>在1(2)2，有解，故21()2a x >-的最小值， 又21
()2g x x =-在1(2)2，上是单调递增函数，所以1
()()22
g x g >=-，所以实数a 的取值范围是2a >-，故选D ．
二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．
13．2e -. 14．3V
S
. 15．A ．16．3333321234966+++++
=．
三、解答题： 17.（本题满分10分）
（Ⅰ）计算：10
3
1i (1i)(2i)1+i i --++⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（Ⅱ）设复数z 满足1z =,且(34i)z +⋅是纯虚数,求
z . 解
：（Ⅰ）计算：
10
3
1i (1i)(2i)1+i i --++⎛⎫
- ⎪⎝⎭
=(1)(13i)3i ----=.……………………………5分 （Ⅱ）设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =1=；
(34)(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++是纯虚数，则340a b -=
1340a b =-=⎪⎩，
，
解之，得4535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，45
35a b ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩，， 43i 55
z -
=
-或
43
55
z i -
=-+. ……………………………………………………10分
18．（本小题满分12分）
设函数3
()3(0)f x x ax b a =-+≠．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点． 解：（Ⅰ）()'
233f
x x a =-，
∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，
∴()()()'
20340
4,24.86828
f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩ ……………………………4分 （Ⅱ）∵()()()'230f x x a a =-≠,
当0a <时，()'
0f
x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，
此时函数()f x 没有极值点． ……………………………8分 当0a >时，由(
)'
0f
x x =⇒=
当(,x ∈-∞时，()'
0f
x >，函数()f x 单调递增，
当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，
当)x ∈+∞时，()'
0f x >，函数()f x 单调递增，
∴此
时x =是()f x 的极大值点
，x =是()f x 的极小值
点．………………………………12分 19．（本小题满分12分）
用分析法证明：||()a b a b >-≠
证明：要证||()a b a b >-≠，
只需证2222112a b a b ab +++-<+-,……………………………4分
只需证1ab +<，①
若10ab +<,①式显然成立，……………………………6分 若10ab +≥，
只需证222222121ab a b a b a b ++<+++， 只需证222a b ab +>， 因a b ≠，所以此式成立.
故||()a b a b >-≠成立．……………………………12分 20．(本小题满分12分)
已知函数2
21()()2
f x ax a b x =
-+()ln ,a x a b R +?. （Ⅰ）当1b =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当1a =-，0b =时，证明：2
1()12
x f x e x x +>--+（其中e 为自然对数的底数）．
解：（Ⅰ）当1b =时，()()
22
1
1ln 2
f x ax a x a x =-++ ()()2'1a f x ax a x
=-++
()()1ax x a x --=， (2)
分
（1）当0a £时，0x a ->，
1
0x
>，10ax -<()'0f x ? 此时函数()f x 的单调递减区间为()0,+?，无单调递增区间. (3)
分
（2）当0a >时，令()'0f x =1
x
a
?或a ①当()1
0a a a =>，即1a =时，此时()()2
1'0x f x x
-=?()0x >
此时函数()f x 单调递增区间为()0,+?
，无单调递减区
间. ………………………………4分
②当1
0a a
<
<，即1a >时，此时在10,a 骣÷ç÷ç÷ç桫和(),a +?上函数()'0f x >， 在1,a a 骣÷ç÷ç÷
ç桫上函数()'0f x <，此时函数()f x 单调递增区间为10,a 骣÷ç÷ç÷ç桫和(),a +?； 单调递减区间为1
,a a
骣÷ç÷ç÷ç
桫. …………………………………………5分 （3）当10a a <<
，即01a <<时，此时函数()f x 单调递增区间为()0,a 和1,a 骣÷ç+?÷ç÷ç桫； 单调递减区间为1
,a a 骣÷
ç÷ç÷
ç桫.…………………………………………6分 （Ⅱ）证明：当1a =时 ()21x f x e x x +>++
只需证明：ln 10x e x -->
设()ln 1x
g x e x =--()0x >
问题转化为证明0x ">，()0g x >， 令()1'x g x e x =-，()21
''0x g x e x
=+>， ()1
'x
g x e x
\=-为()0,+?
上的增函数，且1'202g 骣÷
ç=<÷ç÷
ç桫，
()'110g e =->，
\存在唯一的01,12x 骣÷çÎ÷ç÷ç桫，使得()0'0g x =，0
1x e x =， ()g x 在()00,x 上递减，在()0,x +?上递增， ()()000min ln 1x g x g x e x \==--00
1
1211x x =
+-?=， ()min 0g x \>，
\不等式得证. ……………………………………………………
12分
21．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 满足11a =，11429(*)n n n n a a a a n N ++-+=∈. （Ⅰ）求234,,a a a ；
（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 解：（Ⅰ）由已知条件，可得
n
n
n a a a --=
+4291， ……………………………………………………2分
∵11=a ，
∴372=a ,5133=a ,7
194=a . ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想*)(1
25
6N n n n a n ∈--=.……………………………………………………
7分
下面用数学归纳法证明： （
1
）
当
1
=n 时，
1
=n a ,猜想正
确； ……………………………………………………8分 （2）假设当*)(N k k n ∈=时，猜想成立，即1
25
6--=
k k a k ， 那么k k k a a a --=+4291
1
256412)
56(29---
---
=
k k k k 1)1(25)1(6-+-+=k k . 即
当
1
+=k n 时，猜想也正
确. ……………………………………………………11分
由（1）（2）可知，猜想正确. ……………………………………………………12分
22．(本小题满分12分)
设()21x
f x e ax =--． （Ⅰ）讨论函数()f x 的极值；
（Ⅱ）当0x ≥时，2
e 1x ax x ≥++，求a 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）()2x
f x e a '=-，
若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，没有极值．
若0a >，令()0f x '=，ln 2x a =，列表
所以当ln 2x a =时，()f x 有极小值(2)22ln 21f a a a a =--，没有极大值． （Ⅱ）设2()1x g x e ax x =---，则'()21()x g x e ax f x =--=．
从而当21a ≤，即12
a ≤时，()0f x '>(0)x ≥， '()(0)0g x g '≥=，()g x 在[0,)+∞单调递增，于是当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=．
当12
a >时，若(0,ln 2)x a ∈，则()0f x '<，()(0)0g x g ''<=，()g x 在(0,ln 2)a 单调递减，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()(0)0g x g <=．
综合得a 的取值范围为1(,]2-∞．。