福州精选备战中考数学易错题专题复习一元二次方程
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一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆.
(1)求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为保护城市环境,要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆,据估计从2008年底起,此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆?(假定每年新增汽车数量相同)
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:(1)主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)解决问题;
(2)参照增长率问题的一般规律,表示出2010年的汽车拥有量,然后根据关键语列出不等式来判断正确的解.
试题解析:(1)设年平均增长率为x ,根据题意得:
10(1+x )2=14.4,
解得x=﹣2.2(不合题意舍去)x=0.2,
答:年平均增长率为20%;
(2)设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆,根据题意得:
2009年底汽车数量为14.4×90%+y ,
2010年底汽车数量为(14.4×90%+y )×90%+y ,
∴(14.4×90%+y )×90%+y≤15.464,
∴y≤2.
答:每年新增汽车数量最多不超过2万辆.
考点:一元二次方程—增长率的问题
2.关于x 的方程x 2﹣2(k ﹣1)x +k 2=0有两个实数根x 1、x 2.
(1)求k 的取值范围;
(2)若x 1+x 2=1﹣x 1x 2,求k 的值.
【答案】(1)12
k ≤
;(2)3k = 【解析】
试题分析:(1)方程有两个实数根,可得240b ac ∆=-≥,代入可解出k 的取值范围; (2)由韦达定理可知,()2121221,x x k x x k +=-=,列出等式,可得出k 的值. 试题解析:(1)∵Δ=4(k -1)2-4k 2≥0,∴-8k +4≥0,∴k ≤
12
; (2)∵x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2,∴2(k -1)=1-k 2,
∴k 1=1,k 2=-3.
∵k ≤12,∴k =-3. 3.已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根.
()1求k 的取值范围;
()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值.
【答案】(1)134
k ≤
;(2)2k =-. 【解析】
【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()
22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥,解之可得. ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍.
【详解】
解:()1关于x 的一元二次方程()22
2130x k x k --+-=有两个实数根, 0∴≥,即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥,
解得134
k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-,
()
222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+,
221223x x +=, 224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-,
134
k ≤, 4k ∴=舍去,
2k ∴=-.
【点睛】
本题考查了一元二次方程2
ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0>,方程有两个不相等的实数根;当0=,方程有两个相等的实数根;当0<,方程没有实数根.以及根与系数的关系.
4.已知:关于的方程
有两个不相等实数根.
(1) 用含的式子表示方程的两实数根;
(2)设方程的两实数根分别是,(其中),且,求的值. 【答案】(I )
kx 2+(2k -3)x+k -3 = 0是关于x 的一元二次方程. ∴
由求根公式,得
. ∴或 (II )
,∴. 而,∴,. 由题意,有
∴即(﹡) 解之,得
经检验是方程(﹡)的根,但,∴
【解析】 (1)计算△=(2k-3)2-4k (k-3)=9>0,再利用求根公式即可求出方程的两根即可; (2)有(1)可知方程的两根,再有条件x 1>x 2,可知道x1和x2的数值,代入计算即可.
一位数学老师参加本市自来水价格听证会后,编写了一道应用题,题目如下:节约用水、保护水资源,是科学发展观的重要体现.依据这种理念,本市制定了一套节约用水的管理措施,其中规定每月用水量超过(吨)时,超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费(元)与每月用水量(吨)之间的函数关系.
请你解答下列问题:
5.由图看出,用水量在m 吨之内,水费按每吨1.7元收取,超过m 吨,需要加收.
6.已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数,m≠0).
(1) 试说明:此方程总有两个实数根.
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数,求整数m 的值.
【答案】(1)()2
243b ac m -=+≥0;(2)m=-1,-3.
【解析】
分析: (1)先计算判别式得到△=(m -3)2-4m •(-3)=(m +3)2,利用非负数的性质得到