福州精选备战中考数学易错题专题复习一元二次方程

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．

（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）

【答案】详见解析

【解析】

试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；

（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．

试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得：

10（1+x ）2=14.4，

解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，

答：年平均增长率为20%；

（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：

2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，

2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ，

∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464，

∴y≤2．

答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．

考点：一元二次方程—增长率的问题

2．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．

（1）求k 的取值范围；

（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．

【答案】（1）12

k ≤

；（2）3k = 【解析】

试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤

12

； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，

∴k 1＝1，k 2＝－3.

∵k ≤12，∴k ＝－3. 3．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．

()1求k 的取值范围；

()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．

【答案】（1）134

k ≤

；（2）2k =-． 【解析】

【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()

22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．

【详解】

解：()1关于x 的一元二次方程()22

2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，

解得134

k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，

()

222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，

221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，

134

k ≤， 4k ∴=舍去，

2k ∴=-．

【点睛】

本题考查了一元二次方程2

ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．

4．已知：关于的方程

有两个不相等实数根．

（1） 用含的式子表示方程的两实数根；

（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值． 【答案】（I ）

kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程． ∴

由求根公式，得

． ∴或 （II ）

，∴． 而，∴，． 由题意，有

∴即（﹡） 解之，得

经检验是方程（﹡）的根，但，∴

【解析】 （1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．

一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.

请你解答下列问题：

5．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．

6．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．

(1) 试说明：此方程总有两个实数根．

(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.

【答案】(1)()2

243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.

【解析】

分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到