§高阶线性微分方程

班级：12统计 姓名：龚伟 学号:120314103

高阶线性微分方程

线性微分方程及其解的结构

1线性微分方程

定义4.1 形如 )()()()(1)1(1)(x f y x P y x P y x P y n n n n =+'+++-- 的方程称为n 阶线性微分方程，其中)(),(,),(),(21x f x P x P x P n 是已知函数。

注：(1> 特点：y y y y n n ,,,,)1()('- 都是一次的；从而称为线性方程。

(2> 0)(≡x f 时，称为n 阶线性齐次微分方程；

否则，称为n 阶线性非齐次微分方程。

(3> 特别地，当2=n 时，

)()()(x f y x Q y x P y =+'+''(4.1>

称为二阶线性微分方程。

0)(≡x f 时，有0)()(=+'+''y x Q y x P y ，

(4.2>

称为二阶线性齐次微分方程；否则，称为二阶线性非齐次微分方程。

2线性微分方程解的结构

定理<解的叠加性> 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(4.2>的两个解，那么)()(2211x y C x y C y +=也是方程(4.2>的解，其中1C 与2C 是任意常数。b5E2RGbCAP 验证：因为 21,y y 是方程(4.2>的解，所以

0)()(111

=+'+''y x Q y x P y ，0)()(222=+'+''y x Q y x P y 。 将解)()(2211x y C x y C y +=代入方程(4.2>的左端，得

))(())(()(221122112211y C y C x Q y C y C x P y C y C ++'++"+

=))()(())()((222

21111y x Q y x P y C y x Q y x P y C +'+''++'+'' 0=。

问题)(1x y 与)(2x y 是(4.2>的解，由定理1，)()(2211x y C x y C y +=也是(4.2>的解。那么，是不是可以作为通解呢？回答 不一定。

例如 设有方程 0=-''y y <是二阶线性齐次微分方程）。

(4.3>

一方面，由观察知 x e y =1与x e y 21=都是(4.3>的解，由叠加原理知x x e C e C y 212+=也是(4.3>的解，但因为

x x e C e C y 212+==x e C C )2(21+=x Ce ，

只有一个任意常数，所以，它不是(4.3>的通解。

另一方面，由观察知 x e y =1与x e y -=1都是(4.3>的解，由叠加原理知x x e C e C y -+=21，也是(4.3>的解，此时1C 与2C 是两个独立的变

量，所以x x e C e C y -+=21是(4.3>的通解。p1EanqFDPw 事实上，在此例中，由x e y =1与x

e y 21=得212=x x e e 是常量，知x e y =1与x e y 21=线性相关；而x e y =1与x e y -=1之比x x e

e -不是常量，即x e y =1与x e y -=1线性无关。

定义4.2 设有函数组)(,),(),(21x y x y x y n ，I x ∈。若存在不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得0)(,),(),(2211=x y k x y k x y k n n ，则称这个函数组在I 内线性相关，否则称线性无关。

例4.1 函数组x x 22cos ,sin ,1在),(+∞-∞内是线性相关的。

证 取1,1321-===k k k ，则对于任意),(+∞-∞∈x ，有

0)sin )(cos 1(122≡+-+x x 。

注： 特别地，对于两个函数)(1x y 与)(2x y 来说，由定义1知：

⑴ 若在I 内有

≠)

()(21x y x y 常数，则)(1x y 与)(2x y 在I 内线性无关；

⑵ 否则，)(1x y 与)(2x y 在I 内线性相关。

例如，2,x x ；x x xe e --,；222,x x -哪组线性无关？ 答：因x x

x 12=≠常数。函数对2,x x 对0≠x 线性无关； 因x xe

e x x 1=--≠常数。函数对x x xe e --,对0≠x 线性无关； 因21222-=-x

x =常数。函数对2,x x 对0≠x 线性相关。 以下给出关于二阶线性齐次微分方程(4.2>的通解结构定理。 定理4.2(二阶线性齐次微分方程的解的结构定理>如果函数

)(1x y 与)(2x y 是方程(4.2>的两个线性无关的特解，则

)()(2211x y c x y c y +=<21,c c 是任意常数）就是方程(4.2>的通解。

DXDiTa9E3d

例4.2 验证1y =x cos 与2y =x sin 是二阶线性齐次微分方程0=+''y y 的

两个解；写出其通解。

解 将1y =x cos 与2y =x sin 代入方程0=+''y y 可验证其是解。 由≠==x x

x y y tan cos sin 12常数，即1y 与2y 线性无关。所以，由定理4.2，x C x C y sin cos 21+=是的通解。

关于二阶线性非齐次微分方程的解的结构，先回忆一阶线性非齐次微分方程 )()(x Q y x P y =+'，它的通解y 的结构是 *+=y Y y ，

其中，Y 为方程对应的齐次微分方程的通解，*y 为方程的一个特解。

对于二阶及二阶以上的线性齐次微分方程，也有同样的解的结构。下面来讨论二阶线性非齐次微分方程(4.1>的解的结构。RTCrpUDGiT 定理4.3(二阶线性非齐次微分方程的解的结构定理> 设*y 是二阶线性非齐次微分方程(4.1>的一个特解，Y 是对应的二阶线性齐次微分方程(4.1>的通解，那么，*+=y Y y 是二阶线性非齐次微分方程(4.1>的通解。5PCzVD7HxA 证 将*+=y Y y 代入方程(4.1>的左端，并因为*'+'='y Y y 与*''+''=''y Y y ，得

))(())(()(*++'*+'+"*+''y Y x Q y Y x P y Y

=])()([])()([*+*'+"*++'+''y x Q y x P y Y x Q Y x P Y 。