河南省函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

河南省函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数22
1,0
()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说
法中，正确的是（ ）
A ．当1k >，有1个零点
B ．当2k =-时，有3个零点
C ．当10k >>，有4个零点
D ．当4k =-时，有7个零点
【答案】ABD 【分析】
令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数
()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-， 函数2
1y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2
k
x =
对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象：
()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12
t =
，由()1
2f x =可知，此时x 只有一
解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确； 对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：
()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12
t =
，由()1
2f x =可知，此时x 有3个
解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；
对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象：
()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112
t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由
()1
2
f x =
可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正
确； 故选：ABD ． 【点睛】
方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．
2．对于函数()9
f x x x
=+
，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数
B ．函数()f x 的值域是(][
),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有
()()1212
0f x f x x x ->-
D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()12121
22
x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
【答案】ABD 【分析】
根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设
1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定
()()1212
,0f x f x x x --的大
小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫
⎪+⎝⎭
大小关系，进而确定各项的正误. 【详解】
A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99
()()()f x x x f x x x
-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确； B ：当0x >时，(
)96f x x x =+
≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有0x ->，(
)9[()()]6f x x x
=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；
故其值域(][
),66,-∞-⋃+∞，正确；
C ：当1203x x <<<时，()()1212121212
999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+
-=--，而120x x -<，12910x x -
<，则()()120f x f x ->，所以()()1212
0f x f x x x -<-，错误；
D ：若120x x >>，1212
123622x x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪+⎝⎭
，121212
99
()()f x f x x x x x +=++
+，所以
121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫
- ⎪⎝+=-++⎭，而12122
121236
4199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122
x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.
3．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1
222
a b -<< B
．34a b ==
a b
ab
+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-
D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
1
(,2)(2,)4
-+∞ 【答案】ACD 【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求
a b ab
+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3
y x x =-有三个交点，即可知2
()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】
A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1
222
a b -<<； B
选项，34a b ==
log a =
4log b =121211
2(log 3log 4)2a b ab a b
+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、
121
3
x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，
所以2
2
12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；
D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20
k h k ∆=+>⎧⎨
-=-≠⎩，解得1
(,2)(2,)4k ∈-+∞
故选：ACD 【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.
4．设[]
x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]
y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x =
B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-
C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡
⎤
++
=⎢⎥⎣⎦
D ．不等式[][]2
230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】
通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2
230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】
对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]
22x x ≠，故A 不成立.
对于B ，[][]
x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+， 故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[
),0,1m Z r ∈∈， 则[]11222x x m r ⎡
⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，[][]222x m r =+， 若102r ≤<
，则102r ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣
⎦；
若
112r <<，则112r ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣
⎦，故C 成立.
对于D ，由不等式[][]2
230x x --≥可得[]
1x ≤-或[]3
2
x ≥，
故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
5．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；
B ．()()220212f f -+-=；
C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；
D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则1
42
k <<-4k =； 【答案】BD 【分析】
利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】
对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，
即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]
0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]
5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，
()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，
()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；
对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2
()24f x x x =-+；
0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；
直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，
则0200012
44124k k x kx
x x
⎧
>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩
，解得04222=2k x ⎧=-⎪
⎨⎪⎩，
要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点， 则k 的取值范围为：
1
4222
k <<-； 当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点， 设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，
则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得0224
2=k x ⎧=-⎪
⎨'-
⎪⎩
综上，方程()1f x kx =+有3个实根， 则
1
4222
k <<-或224k =-,故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.
6．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1x
f x e x =+，下列命题正确的是
（ ）
A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1x
f x e x =+
B ．若()()33f x f x --=-，则()()3
2
g x f x e =+
在()6,0x ∈-上有3个零点
C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]
23,3x ∈-，()()122f x f x -<
D ．若()()3f x f x +=，方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，则
k 的范围为23
12
k e e -
<<- 【答案】BC 【分析】
A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；
B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数
()f x 与直线3
2
y e =-
有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]
3,3x ∈-上有两个不同的根，则23
12k e e -<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】
A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1x
f x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函
数，所以()()()1x
f x f x e
x -=-=-+，A 错误；
B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2x
f x e
x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当
()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()32
3f e
-=-
，()21
20f e
-=-
<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线3
2
y e =-有3个交点，即函数()()3
2
g x f x e =+
在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；
C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2
[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当
[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；
D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]
3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，
因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]
3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()21
20f e -=-<，所以23
12k e e
-<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】
本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.
7．下列结论正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的定义域为[]
1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数
()1f x +的值域为[]2,3
C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是
()0,3
D ．已知函数()2
3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数
根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】
根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数
()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.
【详解】
对于A, ()y f x =的定义域为[]
1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为
[]0,1，故正确；
对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相
同，故错误；
对于C, 函数2
()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需
(2)0
(1)0g g >⎧⎨
->⎩
，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()2
3f x x x =+
与1y a x =-的图象，如图，
由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或
9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，
综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.
故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2
3f x x x
=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.
8．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅ B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+ C ．
1212
()()
f x f x x x --＞0
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()
1212
0f x f x x x -∴
->，故C 正确；
对于D ，
()1212,0x x x x >≠，利用基本不等式知
1122lg 22x x x x f +⎛⎫
> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()
()
221121lg lg lg 222
f x f x x x x x +=
==+()()12122
2f x f x x x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，
解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即
2
1lg lg 2
x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
二、导数及其应用多选题
9．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x
'=，()'
f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增． B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点
C ．当120x x e <<< 时，22
1212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32
m ≥
D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】
求出导函数()'
f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()
g x ，再利用导数确定
()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数
2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()
h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】
()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，
得121
2ln 10ln 2
x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确
2ln 1
()x g x x
+=
， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得1
21ln 2
x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，在1
2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．
当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >
()g x ∴的大致图象为
()g x ∴只有一个零点，故B 错．
记2
()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，
()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立
22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥3
2
m ∴≥
．
故C 正确．
2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，
()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，
()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个
交点．
()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，
()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得3
20
x e -=，
当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．
()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，
332
203()21202H x e e -
-⎡⎤
⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
0(0,)x x ∈时，3
22ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，
()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：
直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．
10．已知函数()sin x
f x x
=
，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]
0,π上单调递减
B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅
C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[
)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减
【答案】ACD 【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减；当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]
0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得
1212
sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==，进而作出判断；
对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin x
g x f x x
''=
=，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]
0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.
【详解】
()2
cos sin x x x
f x x
-'=
， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos x
x x
<
，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
所以()f x 在区间(]
0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，
所以12
12
sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以
sin 1x x x x <=，sin ()0f π
ππ
==， 所以当(]0,x π∈时，()[
)0,1f x ∈，故选项C 正确；
对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，
所以()()sin x
g x f x x
''=
=，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]
0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]
0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin x
f x x
=
的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.。