湖南省岳阳市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题(含解析)

概率是
．
16．已知 G 为△ABC 的重心，且
，
，则 BC＝ ，cosA 的最小值
为
．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数
．
（1）求 f（x）的最小正周期以及单调增区间；
（2）在△ABC 中，若
，a＝2，求△ABC 周长的取值范围．
个面，且满足：顶点数﹣棱数+面数＝2，则其六元环的个数为（ ）
A．12
B．20
C．32
D．60
解：根据题意，设正五边形为 x 个，正六边形为 y 个，
碳 60（C60）的顶点数为 60，有 32 个面，
由顶点数﹣棱数+面数＝2，则棱长数为 90，
7
则有
，解可得 y＝20，即有 20 个六元环，
故选：B．
故选：CD．
10．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（ ）
A．这组数据是近似对称的
B．数据中可能有极端大的值
C．数据中可能有异常值
D．数据中众数可能和中位数相同
解：因为中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，
中位数比平均数小很多，所以数据不是近似对称的，选项 A 错误．
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
） C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
解：令 f（x）＝
＝1﹣logx2＝1﹣ 在 x＞2 时单调递增，
∴log63＜log105＜log147，
则 a＜b＜c，
故选：D．
8．碳 60（C60）是一种非金属单质，它是由 60 个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯．其
结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共 32
由 an＝
＝
＝3﹣
＜3（n∈N+），所以选项 D 正确．
故选：BD．
12．已知正三棱锥 P﹣ABC 中，M 为 PA 的中点，PB⊥CM，
，则（ ）
A．PA⊥PC B．
C．此正三棱锥的内切球半径为
D．此正三棱锥的外接球表面积
解：设正三棱锥 P﹣ABC 的底面中心为 G，连接 PG，则 PG⊥平面 ABC， 连接 BG 并延长，交 AC 于 D，则 BD⊥AC，∴PB⊥AC， 又 PB⊥CM，AC∩CM＝C，∴PB⊥平面 PAC，可得 PA⊥PB，PC⊥PB， 由三棱锥 P﹣ABC 为正三棱锥，则 PA⊥PC，故 A 正确；
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9．在△ABC 中，若
，c＝3，B＝30°，则 a 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：设 BC＝a，利用余弦定理：
，
解得 a＝
．
校学生阅读情况，拟采用分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为 360 的样本进
行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为 3：2，则大四学生应
抽取的学生为（ ）
A．72
B．100
C．108
D．120
解：∵大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为 3：2，
5
∴大四学生占全校人数的 ，
当 t＞2 时，f（t）＝ ，
分析选项，A 选项符合，
故选：A．
5．设 O（0，0），A（0，3），B（6，0），
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
解：设点 P 的坐标为（x，y），则 ＝（x﹣6，y）； ＝（x，y﹣3），根据
，
得
，
解得
，所以 ＝（2，2）；| |＝
＝2 ．
故选：B．
6．当生物体死亡后，它机体内的碳 14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过 5730 年衰减
京大学对三星堆新发现 K4 坑的炭屑样品使用碳 14 年代检测方法进行了分析，发现碳 14
含量衰减为原来的 68.73%，则该遗址距今约（ ）年．（参考数据：log20.6873＝﹣0.541）
A．3300
B．3200
C．3100
1
D．3000
7．若 a＝log63，b＝log105，c＝log147，则（ ）
校学生阅读情况，拟采用分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为 360 的样本进
行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为 3：2，则大四学生应
抽取的学生为（ ）
A．72
B．100
C．108
D．120
4．如图，△OAB 是边长为 2 的正三角形，记△OAB 位于直线 x＝t（t＞0）左侧的图形的面
B．3200
C．3100
D．3000
解：设该遗址距今约 x 年，衰减率为 p，
则有
，则
，
故
，
由题意可得，（1﹣p）x＝0.6873，
则
，
故
，
所以 x＝5730×0.541＝3099.93≈3100，
则该遗址距今约 3100 年．
故选：C．
7．若 a＝log63，b＝log105，c＝log147，则（
，可得 2cos2 ﹣1＝﹣ ，
所以 cos2 ＝ ，sin2 ＝1﹣cos2 ＝ ，可得 tan2 ＝3，
因为 α 为第二象限角，可得 kπ+ ＜ ＜kπ ，k∈Z，可得 tan ＞0，
所以 tan ＝ ．
故选：B．
3．“互联网+”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本
湖南省岳阳市 2020-2021 学年高二（下）期末考试
数学试卷
一、单项选择题（每小题 5 分）.
1．已知集合 A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，且满足 A∩B＝B，则 a＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
2．已知
，α 为第二象限角，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
3．“互联网+”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本
故大四学生应抽取的学生为：360× ＝72， 故选：A． 4．如图，△OAB 是边长为 2 的正三角形，记△OAB 位于直线 x＝t（t＞0）左侧的图形的面 积为 f（t），则 y＝f（t）的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据题意，当 0＜t≤1 时，f（t）＝ t2，
当 1＜t≤2 时，f（t）＝ ﹣ （2﹣t）2，
（2）若
的前 n 项和为 Tn，证明：
．
21．某企业参加 A 项目生产的工人为 1000 人，平均每人每年创造利润 10 万元．根据现实 的需要，从 A 项目中调出 x 人参与 B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润
万元（a＞0），A 项目余下的工人每人每年创造利润提高 0.2x%．
（1）若要保证 A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 1000 名工人创造的年总利 润，则最多调出多少人参加 B 项目从事售后服务工作？ （2）在（1）的条件下，当从 A 项目调出的人数不能超过总人数的 50%时，才能使得 A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数 a 的 取值范围．
一组数据的中位数比平均数小很多，可能是数据中有异常值，即数据中可能有极端大的
值，所以 B、C 正确；
众数不止一个，中位数和众数是否相同，和平均数无关，所以 D 正确．
故选：BCD．
11．已知 a1＝1，且 4an+1+2an﹣9＝anan+1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．an+1＜an
D．an＜3
D．2
解：因为 A∩B＝B，
则 B⊆A，
又集合 A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，
所以 a+2＝3 或 a+2＝a2，
解得 a＝1 或 a＝﹣1 或 a＝2，
当 a＝1 和 a＝﹣1 时，不满足集合的互异性，
所以 a＝2．
故选：D．
2．已知
，α 为第二象限角，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
解：因为
4
湖南省岳阳市 2020-2021 学年高二（下）期末考试
数学试卷参考答案
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，且满足 A∩B＝B，则 a＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
A．PA⊥PC B．
C．此正三棱锥的内切球半径为
D．此正三棱锥的外接球表面积
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．若 y＝sin（2x+φ）为偶函数，则 cosφ＝ ．
14．已知 a＞0，b＞0，且 ab＝a+2b，则 a+2b 的最小值是
．
2
15．袋中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球、3 个黄球，从中不放回地依次随机
，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°．
20．在①S1，S2，S4 成等比数列且 S5＝50，②
，③Sm﹣1＝2，Sm＝8，Sm+1
＝18，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答本题． 问题：已知等差数列{an}的公差为 d（d≠0），前 n 项和为 Sn，且满足 _______． （1）求 an；
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
8．碳 60（C60）是一种非金属单质，它是由 60 个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯．其
结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共 32
个面，且满足：顶点数﹣棱数+面数＝2，则其六元环的个数为（ ）
A．12
积为 f（t），则 y＝f（t）的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设 O（0，0），A（0，3），B（6，0），
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．当生物体死亡后，它机体内的碳 14 含量会按确定的比率衰减，大约每经过 5730 年衰减
为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021 年 3 月 23 日四川省文物考古研究院联合北
为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021 年 3 月 23 日四川省文物考古研究院联合北
6
京大学对三星堆新发现 K4 坑的炭屑样品使用碳 14 年代检测方法进行了分析，发现碳 14
含量衰减为原来的 68.73%，则该遗址距今约（ ）年．（参考数据：log20.6873＝﹣0.541）
A．3300
22．已知动点 M 与两个定点 O（0，0），A（3，0）的距离的比为 ，动点 M 的轨迹为曲
线 C． （1）求 C 的轨迹方程，并说明其形状； （2）过直线 x＝3 上的动点 P（3，p）分别作 C 的两条切线 PQ，PR（Q、R 为切点）， B（﹣1，0），PB 交 QR 于点 N． （ⅰ）证明：直线 QR 过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点 P，使¡÷ABN 的面积最大？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明 理由．
（2）建立 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.01），预测当偏温差升高 4℃时该种饮料的销
售量会有什么变化？（销售量精确到整数）
参考数据：
．
参考公式：相关系数：
，
回归直线方程是
．
，
．
3
19．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中， （1）证明：平面 A1BC⊥平面 A1B1C1； （2）求四棱锥 A1﹣BCC1B1 的体积．
A．这组数据是近似对称的
B．数据中可能有极端大的值
C．数据中可能有异常值
D．数据中众数可能和中位数相同
11．已知 a1＝1，且 4an+1+2an﹣9＝anan+1，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．an+1＜an
D．an＜3
12．已知正三棱锥 P﹣ABC 中，M 为 PA 的中点，PB⊥CM，
，则（ ）
18．夏天来了，又是一个冷藏饮料销售旺季．某生活小超市据以往统计某天的偏温差 x（℃，
x≥3）（超出常温度数）和某种饮料的销售量 y（瓶）的情况及有关数据如表：
偏温差 x℃
x1
x2
x3
x4
x5
x6
销售量 y
8
（瓶）
11
14
20
23
26
其中
，
，
．
（1）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合销售量 y 与偏温差 x 的关系；
解：由 4an+1+2an﹣9＝anan+1，得 an+1＝
，
又 a1＝1，得 a2＝
＝ ；a3＝
＝ ；a4＝
猜想 an＝
（n∈N+），
8
＝ ，所以选项 A 错误．
证明：当 n＝1 时，a1＝1，等式成立，假设当 n＝k 时，ak＝ 则当 n＝k+1 时，
成立，
有 ak+1＝
＝
＝
＝
＝
，
即当 n＝k+1 时等式也成立，所以选项 B 正确． 由题意知 a2＞a1，所以选项 C 错误；
B．20
C．32
D．60
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9．在△ABC 中，若
，c＝3，B＝30°，则 a 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下面叙述正确的是（ ）