勾股定理和勾股数组

马 明 勾股定理和勾股数组
在直角三角形中，两直角边a 、b 和斜边c 之间有这样的关系：a 2+b 2=c 2. 这就是我们学过的勾股定理. 反过来，如果一个三角形的三边之间存在“某两边平方的和等于第三边的平方”这样的关系，那么我们就可以判定这个三角形是直角三角形，并且第三边所对的角是直角. 这就叫做勾股定理的逆定理.
在我国，很早就有人发现勾股定理和它的逆定理. 《周髀算经》是我国最早的一本算书，大约是西汉时期的著作，里面曾经记载有：“商高曰，……勾广三，股修四，径隅五……”这就是a ﹕b ﹕c =3﹕4﹕5，又有“……勾股各自乘，并而开方除之……，”这又进一步提出
c b a =+22. 可惜这里没有给出证明. 到了三国时，有位赵爽，他对勾股方圆做了图注，补
充了这个定理的证明. 在他所写的“勾股方圆图注”中有这样一段话：“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这句话的意思是：按弦图（图27）， ab 等于两个直角三角形的面积， 2ab 等于四个直角三角形的面积， (b -a )2是中间这个正方形的面积, 把这四个直角三角形和一个正方形 并在一起，就得到一个边长是c 的 正方形，就是2ab +(b -a )2=c 2，化简 后就得到a 2+b 2=c 2. 从这里，他还得 到一些更复杂的结果，如：
c b c a b c =+++)(2)(22；b b c a b c =+-+)
(2)(2
2；
c b a b c a c -+=--))((2；.)()(2222•a b b a c -=+-
在几何里，我们已经知道勾股定理有两种证明方法，一种是根据直角三角形中比例线段定理来证明的；另一种是用计算面积的方法来证明的，这种方法又叫做面积割补法. 由于割补的方法不同，所采用的面积图也就各式各样. 我国古代数学家创造了许多这样的图，根据每一张图，都可以推出勾股定理.
先看图28，因为
正方形CDEF 的面积=正方形MNOP 的面积， 又 正方形CDEF 的面积=2
42ab c ∙
+， 正方形MNOP 的面积=2
422ab b a ∙
++， 所以 a 2+b 2=c 2.
再看图29：（图里用罗马数字表示图形的面积，并且用相同的罗马数字表示全等的图形.）
全图的面积=c 2+I+II+III ，
或者
全图的面积=b 2+a 2+I+II+III ，
所以
c2=a2+b2.
下面我们附了12个图，读者可以当做练习写出它的推理过程. 如果你有兴趣的话，还可以另外设计几个图.
比《周髀算经》稍微晚一点的古算书，要推汉时代的《九章算术》了. 在这本书里谈到勾股弦的一些整数关系：32+42=52，52+122=132，72+242=252，82+152=172，202+212=292. 它说明，适合于方程 a 2+b 2=c 2 （Ⅰ）
的自然数有上列五组. 我们把每一组数叫做勾股数组. 如果我们能记熟这些数组，就可以节省一些计算时间. 但是，适合于方程（Ⅰ）的自然数是否只有这五组呢？中外古代数学家对这个问题作了研究，发现组数是无限的，并且可以由下列公式算
,,2,2222•n m •••••••••c
mn •••••••b
•n m a +==-=
其中m 和n 是自然数，并且m ＞n .
例如设：m =2，n =1，就有32+42=52， （1） m =3，n =2，就有52+122=132， （2） m =3，n =1，就有82+62=102， （3） m =4，n =3，就有72+242=252， （4） m =4，n =2，就有122+162=202， （5） m =4，n =1，就有152+82=172， （6） m =5，n =4，就有92+402=412， （7） m =5，n =3，就有162+302=342， （8） m =5，n =2，就有212+202=292， （9） m =5，n =1，就有242+102=262， （10）
按照上述推算公式得出的数组一定是勾股数组，道理很简单，因为
,2)(42242222••n n m m n m c ++=+=
而
,
2)2()(4
2242
22222•n n m m ••••••mn n m b a ++=+-=+
所以 .222•b a c +=
读者一定想知道，上面这个推算公式是怎样产生的，是否包括所有适合方程（Ⅰ）的自然数解. 不忙，我们先来考察一下上面写出的几组数有什么特征.
首先，我们注意到，（3）可以由（1）产生，就是把（1）里的3，4，5各个数同乘以2就得到（3）；同样的，（5）也可以由（1）产生；而（8）可以由（6）产生；（10）可以由（2）产生. 也就是说，（3），（5），（8），（10）各组数有一个特征：就是每组数里的三个数a、b、c都有一个公约数不是1，而这个公约数不是1. 这样的数组没有什么稀奇，我们需要多少，就可以产生多少. 例如，把第一组里的3，4，5都乘以2，得6、8、10；都乘以3，得9、12、15；都乘以4，得12、16、20；……；这些新的数组一定适合于方程（Ⅰ）. （读者可以想一想：这是为什么？）
所以，我们在研究找出勾股数组的时候，可以假定a、b、c三数互质. 所谓几个数互质就是这几个数除了1以外，再没有公约数. 如果用符号（a、b、c）表示括号内各数的最大公约数，a、b、c三数互质，就可以简单地表示成（a、b、c）=1；如果a、b、c三数不互质，就可以简单财表示成（a、b、c）≠1. 例如，（3，8，2）=1，（6，8，10）=2≠1；同样（4，7）=1，（3，6）=3≠1.
其次，我们再考察一下，a、b、c互质的那些数组还有什么特征. 先看下面这个表：
可以看出：
（1）a与b互质，a与c互质，b与c也互质，也就是说，a、b、c三数中两两互质.
（2）c都是奇数，并且a、b两数都是一奇一偶.
那么，对于所有a、b、c互质的数组，上面这两点是不是都成立呢？我们说，这两点都成立. 现在我们来证明它.
先证）（1）.
设（a，b）=d≠1，那么a和b分别写成
a=a′d，b=b′d，其中（a′，b′）=1.
由勾股定理可得（a′d）2+（b′d）2=c2，
两边同除以d2，得a′2+b′2=
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
d
c
.
因为a′和b′都是自然数，
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
d
c
也就应当是自然数，也就是说，c有约数d(d≠1). 这样一
来，a、b、c有公约数d(d≠1). 这和假设a、b、c互质是矛盾的. 所以（a，b）=1.
读者可以试一试证明：（b，c）=1；（a，c）=1.
再证（2）.
设c是偶数，并且使c=2c′，那么a和b就都不能是偶数，否则偶数a（或者偶数b）和偶数c就不互质[这和（1）相矛盾]. 因此，当c是偶数时，a、b一定都是奇数，设a=2a′-1，b=2b′-1，由勾股定理可得
(2a′-1)2+(2b′-1)2=(2c′)2，(4a′2-4a′+1)+(4b′2-4b′+1)=4c′2，
2=4(c′2-a′2-b′2+a′+b′)，1=2(c′2-a′2-b′2+a′+b′).
可以看到，这里，左边是奇数而右边是偶数，这是不可能的.
由此可知，c 不能是偶数，也就是c 一定是奇数.
那么，当c 是奇数时，a 和b 是不是一奇一偶呢？我们说，是的. 证明一下： a 和b 只有下列三种可能情况：
a 和
b 都是偶数；a 和b 都是奇数；a 和b 是一奇一偶.
如果我们能够说明前面两种情况是不存在的，那么a 和b 就一定是一奇一偶了. a 和b 不可能都是偶数，否则，a 、b 不互质，这和（1）相矛盾；
a 和
b 也不可能都是奇数，否则，a 2+b 2=偶数=
c 2，这样c 也就是偶数了，但是上面已经说明c 不能是偶数；
因此，a 和b 一定是一奇一偶. （上面这种证法叫做穷举法，就是把所有可能发生的情况都列举出来，然后一个一个地加以否定，余下一种没有能被否定的情况就一定成立. 穷举法是反证法的一种，在数学里经常被采用.）
这样，我们就得到关于勾股数组的两个基本性质： 如果a 2+b 2=c 2，并且（a ，b ，c ）=1，那么 （1）（a ，b ）=（a ，c ）=（b ，c ）=1；
（2）c 一定是奇数，而a 和b 一定是一奇一偶. （为了今后叙述的方便起见，如果不加说明的话，我们就设a 是奇数，b 是偶数.）
有了上面这点准备工作，我们就可以导出勾股数组的推算的公式了. 导出勾股数组的推算公式的方法很多，这里只介绍其中的两种. 第一种推导的方法：假设a 、b 、c 适合于方程（Ⅰ），并且（a ，b ，c ）=1. 因为c 和a 都是奇数[性质（2）]，所以c +a 和c - a 都是偶数，我们可以设
c +a =2u
d ， c-a =2vd ，
这里，（u ，v ）=1，并且u >v .
代入方程（Ⅰ），得 .
22)
)((222vd ••ud ••a c a c a c b ∙=-+=-=
所以 b 2=uv (2d )2.
因为u 和v 互质，这个等式只有在u 和v 都是平方数的时候才可能成立，设u =m 2，v =n 2，就得
b 2=m 2n 2(2d )2，
就是
b =2mnd .
这里，m >n ，（m ，n ）=1.
因为
⎪⎩⎪⎨⎧==-==+;22,222
2d •
n vd a c d •m ud a c 解这个方程组，得
⎪⎩⎪⎨⎧+=-=.
)(,)(2
222d •n m c d •
n m a 因为（a ，b ，c ）=1，可以推得d =1，又因为a 、c 都是奇数，那么m 和n 一定是一奇一
偶. 这样，我们就得到勾股数组的推算公式：
,,2,2222•n m •c mn ••b •n m a +==-=
这里（m ，n ）=1，m >n ，并且m 和n 是一奇一偶.
第二种推导方法：因为a+b >c ，设m >n ，那么m m
n
(1<、n 都是自然数）
，所以总可以得到 .c b m
n
a =∙+
（例如，a =3，b =4，c =5的时候，可以使m =4，n =2，得.544
2
3c •b m n a ==∙+=+）两边平方，得
.2,2222
2
2
2
•c b m
n ab m n ••••a
•••••••••••
c b m n a =∙+∙∙+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛∙+
把c 2=a 2+b 2代入上式，得
,2,222
22
22222
2
ab •m
n
b m n •••••••••b
•b a b m
n ab m n a ∙=
∙-
+=∙+∙+ .2,2)(2
222•mn
b
n m a •••
••••••••••
mna •n m b =
-=- 设这两个比的比值是k ，那么 mn
b
n m a
•
22
2=
-=k ， a =(m 2-n 2)k ， b =2mnk . 代入方程（Ⅰ），可得
c =(m 2+n 2) k .
再设k =1，就有
a =m 2-n 2，
b =2mn ，
c =m 2+n 2.（m >n ） 这样，我们也导出了勾股数组的推算公式.
在（a 、b 、c ）=1的条件下，前面已经获得两个重要的基本性质，这些性质对于我们记忆勾股数组是有很大帮助的. 下面，我们再研究一下，还有一些什么样的类似的性质呢？
观察一下第28页的表，可以发现b+c 是一个平方数，例如，4+5=32，12+13=52，24+25=72，8+17=52，40+41=92，20+29=72. 这样，我们就有理由设想“b+c 总是一个完全平方数”. 事实上，这个论断也是成立的. 证法如下：
b +
c =2mn +(m 2+n 2)=(m+n )2.
发现这个论断，我闪是相当兴奋的，因为这个论断对我们记忆或者判断一组数是否为勾股数组会有很大的帮助的. 不过要注意，如果三个数只符合这个论断，它们不一定就是勾股数组；但是，如果它们不符合这个论断，我们就可以肯定地说：这个数组不是勾股数组. 也就是说，“b+c =完全平方数”这个条件是a 、b 、c 构成勾股数组的必要条件，而不是充分条件.
如果我们再仔细观察一下这个表，还可以发现：
（1）
2
c
a +也是一个完全平方数； （2）abc 一定能被60整除.
（1）是很容易证明的（读者可以自己证一下）；（2）的证明已经超出你们的知识范围，这里就不谈了.
练 习
1．设a 2+b 2+c 2；
（1）如果（a ，b ，c ）=1，a 是奇数，证明：
2
2a
c ••a c -+和都是完全平方数. （2）如果b 是偶数，证明b 能被4整除.
2．取一个奇数，例如67，那么672=4489，把4489分成相差1的两个数，就得2244和2245，这样，这三个数：67、2244、2245就是一组勾股数. 在一般情况下，你能证实这个结论吗？
3．在第28页的那个表里，有些勾股数组有下列性质：c -b =1, 证明：在c-b =1的条件下，推算勾股数组的公式可以表示成：
a =2m -1，
b =2m 2-2m ，
c =2m 2-2m +1.
4．下面这个图形是由8个全等的正方形组成的，你能把它变成一个面积相等的大正方形吗？（采用割补法）
5．下面这个图形是由5个全等的正方形组成的，你能把它变成一个面积相等的大正方形吗？（采用割补法）.
本文节选自《圆和二次方程》上海教育出版社。