詹森不等式证明及应用
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用泰勒展开式证这种方法比第一种要求条件高在前一个的条件下还要求二阶可导并丏导数大于零为了是能满足泰勒展开的条先设出定义域上的一点再在这点迚行泰勒展开利用已知条件化简和代换可以得到结论
XXX数学系XXX级 学位论文答辩
詹森不等式的证明及应用
指导老师：XXX 姓名：XXX 学号：XXX
专业：数学与应用数学
a
3
詹森不等式的证明
方法二：用泰勒展开式证
这种方法比第一种要求条件高，在前一个的条件下，还 要求二阶可导并且导数大于零，为了是能满足泰勒展开的条
件。 先设出定义域上的一点，再在这点进行泰勒展开，利用 已知条件，化简和代换可以得到结论。关键选取泰勒展开点。
a
4
詹森不等式的应用
应用1：利用詹森不等式证明其它几个常见且极其 重要的不等式
例1：对任意实数 ,有
ab
e2
1 (ea eb)
2
abc
例2：证明不等式 abc3 aabbcc 其中 均
为正数。
a
5
sinx1 sin x2
sinx1
x2
xn
n
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例4：利用Jensen不等式证明均值不等式
n
1 1 1
n a1a2 an
a1 a2 an n
a1 a2
an
ak0,k1,2,L,n a
a
1
立题背景及意义
詹森不等式是数学中的重要理论之一，是解决不
等式问题的重要方法，是发现数学问题的重要手段
。
詹森不等式概念是数学中重要的不等式。由于
数学中的许多重要不等式都是通过在詹森不等式证
明的，因此掌握詹森不等式的理论及证明方法对学
习数学许多不等式证明起到很重要的作用。
本题主要通过探讨詹森不等式概念及证明方法
a
9
詹森不等式的应用
应用3：利用詹森不等式在信息论中的应用
设K是维欧氏空间凸域，并设有随机矢量，若随机矢量的数学期望存在，而 且是凸域K内的型凸函数，则有 E [f(x)]f(E [x])
再用数学归纳法类似证明詹森不等式的证明方式证明。
比较各种方法在证明不等式的应用，比较各种方法的特点。
a
10
参考文献
12
且把每一种方法的特点来说明改变条件对证明的影
a
2
詹森不等式的证明
方法一: 用数学归纳法证 詹森不等式是凸函数的一个推广，从两个推广到了n个 ，而数学归纳法是对这种含n个项的普遍方法。 证明中初始条件明显，做出归纳假设，在证不等式对n 成立时，先应用初始条件，再应用归纳假设。注意引入变量
，在化简是很关键。
6
例5：利用Jensen不等式证明Hölder不等式
以及柯西不等式。
1
1
Hölder不等式
n aibi n aipp n biqq
i1
i1
i1
柯西不等式
n
2
aibi
n
ai2
n
bi2
i1 i1 i1
a
7
詹森不等式的应用 应用2：利用詹森不等式推广几个数学问题
问题1：
a
8
问题2：
a
11
致谢
在此论文完成之际，我要特别感谢我的导师XXX老师， 正是他的精心指导和悉心关怀，我的论文才得以顺利完成。 他深厚的专业知识、宽广的知识面、严谨求实的治学态度、 一丝不苟的工作作风一直是我学习中的榜样。很荣幸成为朱
老师的学生。
另外，我要感谢的是身边所有的朋友和同学，谢谢你们 的大力帮助。
a
XXX数学系XXX级 学位论文答辩
詹森不等式的证明及应用
指导老师：XXX 姓名：XXX 学号：XXX
专业：数学与应用数学
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詹森不等式的证明
方法二：用泰勒展开式证
这种方法比第一种要求条件高，在前一个的条件下，还 要求二阶可导并且导数大于零，为了是能满足泰勒展开的条
件。 先设出定义域上的一点，再在这点进行泰勒展开，利用 已知条件，化简和代换可以得到结论。关键选取泰勒展开点。
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詹森不等式的应用
应用1：利用詹森不等式证明其它几个常见且极其 重要的不等式
例1：对任意实数 ,有
ab
e2
1 (ea eb)
2
abc
例2：证明不等式 abc3 aabbcc 其中 均
为正数。
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sinx1 sin x2
sinx1
x2
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例4：利用Jensen不等式证明均值不等式
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n a1a2 an
a1 a2 an n
a1 a2
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ak0,k1,2,L,n a
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立题背景及意义
詹森不等式是数学中的重要理论之一，是解决不
等式问题的重要方法，是发现数学问题的重要手段
。
詹森不等式概念是数学中重要的不等式。由于
数学中的许多重要不等式都是通过在詹森不等式证
明的，因此掌握詹森不等式的理论及证明方法对学
习数学许多不等式证明起到很重要的作用。
本题主要通过探讨詹森不等式概念及证明方法
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詹森不等式的应用
应用3：利用詹森不等式在信息论中的应用
设K是维欧氏空间凸域，并设有随机矢量，若随机矢量的数学期望存在，而 且是凸域K内的型凸函数，则有 E [f(x)]f(E [x])
再用数学归纳法类似证明詹森不等式的证明方式证明。
比较各种方法在证明不等式的应用，比较各种方法的特点。
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参考文献
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且把每一种方法的特点来说明改变条件对证明的影
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詹森不等式的证明
方法一: 用数学归纳法证 詹森不等式是凸函数的一个推广，从两个推广到了n个 ，而数学归纳法是对这种含n个项的普遍方法。 证明中初始条件明显，做出归纳假设，在证不等式对n 成立时，先应用初始条件，再应用归纳假设。注意引入变量
，在化简是很关键。
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例5：利用Jensen不等式证明Hölder不等式
以及柯西不等式。
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Hölder不等式
n aibi n aipp n biqq
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柯西不等式
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ai2
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詹森不等式的应用 应用2：利用詹森不等式推广几个数学问题
问题1：
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问题2：
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致谢
在此论文完成之际，我要特别感谢我的导师XXX老师， 正是他的精心指导和悉心关怀，我的论文才得以顺利完成。 他深厚的专业知识、宽广的知识面、严谨求实的治学态度、 一丝不苟的工作作风一直是我学习中的榜样。很荣幸成为朱
老师的学生。
另外，我要感谢的是身边所有的朋友和同学，谢谢你们 的大力帮助。
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