安徽省安庆四中九年级数学上学期期中试题(含解析) 沪科版

安徽省安庆四中2015-2016学年九年级数学上学期期中试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（）
A．y=B．y=x2+x﹣2 C．y=2x+1 D．y2=x2+3x
2．如图，直角三角形ABO的面积为2，反比例函数y=过点A，则k的值是（）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
3．如图，在△ABC中，DE∥BC， =，则下列结论中正确的是（）
A． =B． =
C． = D． =
4．下列函数中，在x＞0时，y随x增大而减小的是（）
A．y=2x﹣1 B．y=﹣x2+7x+
C．y=﹣D．y=
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（）
A．B．C．
D．
6．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=ADAC D． =
7．下列说法错误的是（）
A．抛物线y=2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+7
B．方程﹣x2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=﹣x2+bx+c的图象一定在x轴下方
C．将长度为1m的木条黄金分割，较短的一段木条长为m
D．两个等腰直角三角形一定相似
8．一个函数的图象如图，给出以下结论：
①当x=0时，函数值最大；
②当0＜x＜2时，函数y随x的增大而减小；
③存在0＜x0＜1，当x=x0时，函数值为0．
其中正确的结论是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
9．如图，已知正方形ABCD边长为6，将其折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是（）
A．15 B．12 C．8 D．6
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
11．已知：x：y：z=2：3：4，则的值为．
12．某厂家1月份的利润是25万元，3月份的利润达到30.25万元，这两个月的利润月增长率相同，则这个增长率为．
13．如图，在△ABC中，5AB=6AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD 于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值
为．
14．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a值可以有四个．
其中正确的结论是．（只填序号）
三、（本大题共2小题，每小题8分，共计16分）
15．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4．
（1）画出以矩形的两条对称轴为坐标轴（x轴平行于AB）的平面直角坐标系，并写出点A，BC的中点E，DC的中点F的坐标；
（2）求过点A，E，F三点的抛物线的解析式，并写出此抛物线的顶点坐标．
16．将抛物线y=x2平移，使其在x=t时取最值t2，并且经过点（1，1），求平移后抛物线对应的函数表达式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共计16分）
17．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，
（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）若∠A=60°时，求△AFE与△ABC面积之比．
18．如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共计20分）
19．某商场新进一批商品，进价为20元/件，现在的售价为30元/件，每周可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于35元），那么每周少卖10件．设每件涨价x元（x为自然数），每周的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每周的利润最大且每周的销量较大？每周的最大利润是多少？
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长．
六、（本大题共2小题，每小题12分，共计24分）
21．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
22．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
七、（本题14分）
23．如图，抛物线经过三点A（1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以B，P，M 为顶点的三角形与△OBC相似（相似比不为1）？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年安徽省安庆四中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（）
A．y=B．y=x2+x﹣2 C．y=2x+1 D．y2=x2+3x
【分析】二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a≠0）．
2．如图，直角三角形ABO的面积为2，反比例函数y=过点A，则k的值是（）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC， =，则下列结论中正确的是（）
A． =B． =
C． = D． =
【分析】根据△ABC中DE∥BC可以得到△ADE∽△ABC，再根据AD：DB=1：2可以得到AD：AB=1：3，从而得到两相似三角形的相似比为1：3，利用周长的比等于相似比，即可得到答案．
4．下列函数中，在x＞0时，y随x增大而减小的是（）
A．y=2x﹣1 B．y=﹣x2+7x+
C．y=﹣D．y=
【分析】利用一次函数、二次函数反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．
D．
【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b 的图象相比较看是否一致．
6．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）
A．∠ABD=∠AC B B．∠ADB=∠ABC C．AB2=ADAC D． =
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
7．下列说法错误的是（）
A．抛物线y=2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+7
B．方程﹣x2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=﹣x2+bx+c的图象一定在x轴下方
C．将长度为1m的木条黄金分割，较短的一段木条长为m
D．两个等腰直角三角形一定相似
【分析】根据平移的原则，抛物线和x轴的交点和二次函数的性质，黄金比的概念，三角形相似的判定判断即可．
8．一个函数的图象如图，给出以下结论：
①当x=0时，函数值最大；
②当0＜x＜2时，函数y随x的增大而减小；
③存在0＜x0＜1，当x=x0时，函数值为0．
其中正确的结论是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】看图，可知当X为0时函数不是最大值；当0＜x＜2时，函数的y随x的增大而减小，故②正确；如图可知在0＜x0＜1，当x=x0时，函数值为0．
9．如图，已知正方形ABCD边长为6，将其折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是（）
A．15 B．12 C．8 D．6
【分析】根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）
A．B．C．D．
【分析】本题应分两段进行解答，①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
11．已知：x：y：z=2：3：4，则的值为．
【分析】由已知的比例式，设每一份为k，表示出x，y及z，将表示出的x，y及z代入所求的式子中，化简后即可得到值．
12．某厂家1月份的利润是25万元，3月份的利润达到30.25万元，这两个月的利润月增长率相同，则这个增长率为10% ．
【分析】如果设平均每月增长的百分率是x，那么2月份的利润是25（1+x）元，3月份的利润是25（1+x）2元，而此时利润是30.25元，列出方程．
13．如图，在△ABC中，5AB=6AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD 于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为．
【分析】利用角平分线的性质，得到BD=CD，延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD=BD=KD=CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；由MN∥AD，列出比例式，求出的值．
14．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a值可以有四个．
其中正确的结论是③④．（只填序号）
【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
三、（本大题共2小题，每小题8分，共计16分）
15．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4．
（1）画出以矩形的两条对称轴为坐标轴（x轴平行于AB）的平面直角坐标系，并写出点A，BC的中点E，DC的中点F的坐标；
（2）求过点A，E，F三点的抛物线的解析式，并写出此抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）根据矩形的对称性可知：E、F分别在x轴和y轴上，因此E（3，0），F（0，2）；由于DF=CD=3，BE=BC=2，因此A（﹣3，﹣2）．
（2）可根据（1）题得出的A、E、F三点坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式．进而可用配方法或公式法求出抛物线顶点坐标．
16．将抛物线y=x2平移，使其在x=t时取最值t2，并且经过点（1，1），求平移后抛物线对应的函数表达式．
【分析】根据题意得出平移后的解析式为y=（x﹣t）2+t2，然后利用待定系数法即可求得t的值，从而求得平移后的解析式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共计16分）
17．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，
（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）若∠A=60°时，求△AFE与△ABC面积之比．
【分析】先利用已知条件求出△AFB∽△AEC，得到两组边对应成比例，夹角又相等，所以可得到，△AFB∽△AEC．
18．如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB上的一个强相似点E．
【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可（以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共计20分）
19．某商场新进一批商品，进价为20元/件，现在的售价为30元/件，每周可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于35元），那么每周少卖10件．设每件涨价x元（x为自然数），每周的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每周的利润最大且每周的销量较大？每周的最大利润是多少？
【分析】（1）涨价为x元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围；
（2）根据总利润=销量×每件利润可得出利润的表达式，两个式子结合起来，可得到定价．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长．
【分析】根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线，则AE=DE，AF=DF，所以∠EAD=∠EDA，加上∠BAD=∠CAD，得到∠EDA=∠CAD，则可判断DE∥AC，同理DF∥AE，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上EA=ED，则可判断四边形AEDF为菱形，所以AE=DE=DF=AF=4，然后利用平行线分线段成比例可计算BE的长．
六、（本大题共2小题，每小题12分，共计24分）
21．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．
22．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【分析】（1）设PN=2y（mm），则PQ=y（mm），然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；
（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．
七、（本题14分）
23．如图，抛物线经过三点A（1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以B，P，M 为顶点的三角形与△OBC相似（相似比不为1）？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2，再根据过A，B两点，即可得出结果．
（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当=时和时，当P，C重合时，△APM≌△ACO，分别求出点P的坐标即可．。