初中数学二次函数最值练习题(附答案)

初中数学二次函数最值练习题
一、单选题
1.二次函数245y x x -=+的最小值是( ) A.1-
B.1
C.3
D.5
2.在平面直角坐标系中,对于二次函数2(2)1y x =-+,下列说法中错误的是( ) A.y 的最小值为1
B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线2x =
C.当2x <时,y 的值随x 值的增大而增大,当2x ≥时,y 的值随x 值的增大而减小
D.它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
3.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取每日最大利润，则应降价( ) A.5元 B. 10元 C. 15元 D.20元
4.当1a x a ≤≤+时，函数2
21y x x =-+的最小值为1，则a 的值为（ ） A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 5.当21x -≤≤时，二次函数2
2
()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（ ）
A.74-
或74
- 6.已知二次函数2
()1y x h =-+(h 为常数),在自变量x 的值满足13x 的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为( )
A.1或-5
B.-1或5
C.1或-3
D.1或3
7.某二次函数,当自变量x 满足04x 时,对应的函数值y 满足02y ,则这个函数不可能是( ) A.21
(2)2
y x =
- B.2
42y x x =-+ C.21
(2)22
y x =--+ D.2
114
y x x =-
++ 8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD (篱笆只围,AB BC 两边),设m AB x =.若在点P 处有一棵树与墙,CD AD
的距离分别是15 m 和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S 的最大值为( )
A.2193m
B.2194m
C.2195m
D.2196m
9.已知二次函数2
2
233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）
A.1或-2
B. D.1
10.已知二次函数2()y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为( ) A.3或6 B.1或6
C.1或3
D.4或6
二、解答题
11.2
a b
+≤(0,0)a b >>，当且仅当a b =时，等号成立，其中我们
把
2
a b
+叫作正数a b 、,a b 的几何平均数，其意义是两个正数的算
术平均数不小于其几何平均数。

这个式子也可变为a b +≥（00a b >>，，a b =时取“=”号），它是解决最大（小）值问题的有力工具。

例如：在0x >的条件下，当x 为何值时，1
x x
+
有最小值，最小值是多少？
解：
10,0
x x >∴> ，1x x ∴+≥12x x
+≥. 当且仅当1x x =
，即1x =时，1
x x
+有最小值，最小值为2. 请根据阅读材料解答下列问题： （1）若0x >，函数1
2y x x
=+
，当x 为何值时，函数有最值，并求出其最值.
（2）当0x >，式子221
121
x x ++
≥+成立吗？请说明理由。

（3）仿照以上过程你能求函数236
(1)1
x x y x x ++=
>-+的最小值吗? 12.如图①，在平面直角坐标系xOy 中，已知(22)(2,0)(0,2)(2,0)A B C D --，，，，四点，动
点M B C D →→运动（M 不与点B 、点D 重合），设运动时间为t （秒）．
（1）求经过A C D 、、三点的抛物线的解析式；
（2）点P 在（1）中的抛物线上，当M 为BC 的中点时，若PAM PBM ≅△△，求点P 的坐标；
（3）当M 在CD 上运动时，如图②．过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ，ME AB ⊥，垂足为E ．设矩形MEBF 与BCD △重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；
（4）点Q 为x 轴上一点，直线AQ 与直线BC 交于点H ，与y 轴交于点K ．是否存在点Q ，使得HOK △为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q 点的坐标；若不存在，请说明理由． 三、填空题
13.若飞机着陆后滑行的距离s (单位:米)关于滑行的时间t (单位:秒)的函数解析式是23
602
s t t =-，则
飞机着陆后滑行的最长时间为 秒.
14.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离s (km)与车速x(km/h)之间有下述的函数关系式：20.010.004s x x =﹣，请推测刹车时该汽车的最大刹车距离为 km ．
15.我们定义一种新函数：形如2y ax bx c =++（0a ≠，且240b a ->）的函数叫做“鹊桥”函
数．小丽同学画出了“鹊桥”函数2
23y x x =--的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图
象与坐标轴的交点为(1,0),(3,0)-和(0,3)；②图象具有对称性，对称轴是直线1x =；③当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当1x =-或3x =时，函数的最小值是0；⑤当1x =时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______．
16.某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现:当售价为25元时，平均每天能售出8件，而售价每降低2元，平均每天能多卖出4件.当每件的售价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大.
17.对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm ）9.9，10.1，10.0，若用a 作为这条线段长度的近似值，当a =________mm 时，222(9.9)(10.1)(10.0)a a a -+-+-最小.对另一条线段的长度进行了n 次测量，得到n 个结果（单位：mm ）12,,,n x x x ，若用x 作为这条线
段长度的近似值，当x =________mm 时，()()()2
2
2
12n x x x x x x -+-+
+-最小.
18.已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0abc >；②0a b c -+<；③2a b =；④420a b c ++>；⑤若点1(2,)y -和21
(,)2
y -在该图象上，则12y y >.其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）.
参考答案
1.答案：B
解析：利用配方法将二次函数的一般式245y x x -=+变形为顶点式，再根据二次函数的性质即可求出其最小值：
配方得：22224542121()y x x x x x =+=++=--+-，
∴当2x =时，二次函数245y x x -=+取得最小值为1.
故选B. 2.答案：C
解析：∵二次函数为2(2)1y x =-+，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =,顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时,y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时y 的值随x 值
的增大而减小，故选项A 、B 的说法正确.C 的说法错误；根据平移的规律，2y x =的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-的图象，再向上平移1个单位长度得到2(2)1y x =-+的图象，故选项D 的说法正确，故选C. 3.答案：A
解析：设应降价x 元，总利润为y 元.根据题意得(10070)(20)y x x =--⋅+，化简、配方得
2(5)625y x =--+，所以当5x =时，625y =最大.故选A.
4.答案：D
解析：∵当1a x a ≤≤+时，函数2
21y x x =-+的最小值为1， 2211y x x ∴=-+≥，即220x x -≥， 2x ∴≥或0x ≤，
当2x ≥时，由a x ≤，可得2a =,
当0x ≤时，由1x a ≤+，可得10a +=,即1a =- 综上，a 的值为2或1-，
故选D.
5.答案：C
解析：二次函数对称轴为直线x m = ①2m <-时，2x =-取得最大值，
22(2)14m m ---++=
解得74
m =-
7
24
-
>-，∴不符合题意 ②21m -≤≤时，x m =取得最大值，214m +=
解得m =m = ③1m >时，1x =取得最大值
22(1)14m m --++=，解得2m =。

综上所述，2m =或.故选C. 6.答案：B
解析：根据题意知:最小值肯定不是当x h =时y 的值，则1h <或3h >.
当x h >时，y 随x 的增
大而增大，当x h <时，y 随x 的增大而减小，∴①若1h <，当1x =时，y 取得最小值5，可得
2(1)15h -+=，解得1h =-或3h =(舍去):②若3h >，当3x =时，y 取得最小值5，可得
2(3)15h -+=，解得5h =或1h =(舍去).综上，h 的值为-1或5.故选B.
7.答案：B
解析：A 选项，函数21
(2)2
y x =
-的最小值是0，当0x =或4时，y 取最大值2，符合;B 选项，函数2
42y x x =-+2
(2)2x =--的最小值是-2，不符合;C 选项，函数21
(2)22
y x =--+的最大值是2，当0x =或4时，y 取最小值0，符合;D 选项，函数2114y x x =-++21
(2)24
x =--+的最大值是2，当0x =或4时，y 取最小值1，符合.故选B. 8.答案：C 解析：
AB m =米，
(28)BC m ∴=-米.
则2
(28)28S AB BC m m m m =⋅=-=-+. 即2
28(028)S m m m =-+<<.
由题意得6
2815m x ≥⎧⎨-≥⎩
，
解得613m ≤≤.
在613m ≤≤内，S 随m 的增大而增大，
∴当13m =时，195S =最大，
即花园面积的最大值为2195m . 故选C.
9.答案：D
解析：二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量）
∴对称轴是直线212a
x a
=-
=-， 当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，0a ∴>
21x -≤≤时，y 的最大值是9，
1x ∴=时，22339y a a a =+++=，23360a a ∴+-= 1a ∴=，或2a =-（不合题意舍去），故选D.
10.答案：B
解析：二次函数2()y x h =--(h 为常数)，图象的开口向下，顶点坐标为(,0)h ，函数值的最大值为0,因为当25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，所以h 不能取2~5(含2与5)间的数.当2h <时.点(2,1)-在抛物线上.把(2,1)-代入2()y x h =--,解得1h =或3h =(不合题意，舍去)；当5h >时，点(5,1)-在抛物线上，把(5,1)-代入2()y x h =--,解得6h =或4h = (不合题意，舍去).综
上可知，h 的值为1或6，故选B. 11.答案：（1）解：
1
0,20,
0x x x
>∴>>
1
2x x ∴+
≥12x x ∴+≥
当且仅当12x x =
，即2
x =时，12x x +有最小值，最小值为（2）式子2
2
1
121x x ++≥+不成立. 理由如下：
221
0,10,
01
x x x >∴+>>+
22111x x ∴++≥+221
121
x x ∴++
≥+ 当且仅当2
21
11
x x +=
+时，等号成立， 则有211x +=，解得0x =.
0x >，∴式子2
2
1
121
x x ++
≥+不成立. （3）方法一：
1x >-，10x ∴+>，
4
01
x >+
411
1y x x ∴=++
++1≥1=5= 当且仅当4
11
x x +=
+，即1x =时函数有最小值5. 方法二：设1t x =+，则1x t =-(0)t >
则2(1)3(1)6t t y t -+-+=244
1t t t t t
++==++15≥=
当且仅当4
t t
=
，即2,1t x ==时函数有最小值5. 解析：
12.答案：解：（1）设函数解析式为2
y ax bx c =++， 将点(22),(02),(2,0)A C D -，，代入解析式可得
2422042a b c c
a b c =-+⎧⎪
=⎨⎪=++⎩
， ∴14122a b c ⎧=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪=⎪⎪⎩
，
∴211
242
y x x =-
-+； （2）∵PAM PBM ≅△△， ∴PA PB MA MB ==，，
∴点P 为AB 的垂直平分线与抛物线的交点， ∵2AB =，
∴点P 的纵坐标是1， ∴211
1242
x x =-
-+，
∴1x =-
1x =--
∴(1P --
或(1P -； （3
）24CM MG t =
-==-，
()MD BC CM =+=-=，
42
MF MD t =
=-， ∴44BF t t =-+=，
∴2
2113388()(24)(4)88222233
S GM BF MF t t t t t t ⎛⎫=⨯+⨯=⨯-+⨯-=-+-=--+ ⎪⎝⎭；
当83t =
时，S 最大值为83
；
（4）设点(0)Q m ，，直线BC 的解析式2y x =-+， 直线AQ 的解析式2
(2)2π2
y x =-+++， ∴242-40,
,,2m m K H m m m ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
， ∴2
2
2ππ2OK ⎛⎫= ⎪
+⎝⎭
，2
2
2424m OH m m -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2
2
2
42422m m HK m m π-⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， ①当OK OH =时，222
2424π2m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
∴2480m m -=-，
∴2m =+2m =-
②当OH HK =时，2222
42442422m m m m m m m
m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
∴280m -=，
∴m =m =-
③当OK HK =时，222
24242π2π2m m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不成立；
综上所述：(2Q +或(2Q -或Q 或(Q - 解析：（1）设函数解析式为2y
ax bx c =++，将点(22),(02),(2,0)A C D ，，代入解析式即可；
（2）由已知易得点P 为AB 的垂直平分线与抛物线的交点，点P 的纵坐标是1，则有
211
1242
x x =-
-+，即可求P ； （4）设点(,0)Q m ，直线BC 的解析式2y x =-+，直线AQ 的解析式
2(2)22y x m =-+++，求出点24240,,,2m m K H m m m -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，由勾股定理可得
2
2
2ππ2OK ⎛⎫= ⎪
+⎝⎭
，2
2
2424m OH m m -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2
2
42422m m HK m m π-⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，分三种情况讨论HOK △为等腰三角形即可； 13.答案：20
解析：当滑行的距离最长时，滑行的时间最长，即当s 最大时，t 最大，23602s t t ∴=-()2
3206002
t =--+，即当20t =秒时，滑行的距离最长 .
14.答案：0.00625
解析：20.010.004s x x =-()2
0.004 1.250.00625x =--+， 0.0040a =-<，
∴当 1.25x =时，s 取得最大值，最大值为0.00625，
即刹车时该汽车的最大刹车距离为0.00625km ， 故答案为：0.00625． 15.答案：4
解析：∵点(1,0),(3,0)-和(0,3)都满足函数2
23y x x =--，∴①是正确的；
由题图可知图象具有对称性，对称轴是直线2
121
x -=-
=⨯，因此②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大，丙此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，∴当0y =时，1x =-或3x =,因此④也是正确的；函 数无最大值.因此⑤是不正确的，故答案为4. 16.答案：22
解析：设当每件的售价为x 元时，服装店平均每天的销售利润最大，设利润为y 元，则有
17.答案：10；
12n
x x x n
++
+
解析：本题考查二次函数的图象与性
质.222(9.9)(10.1)(10.0)a a a -+-+-=2222229.99.9210.110.1a a a a a -⨯++-⨯++-
2222101032(9.91010.1)9.9a a a ⨯+=-++++221010.1+，将此式看作关于a 的二次函数.抛物线
开口向上，∴当2(9.91010.1)23a -++=-
=⨯9.91010.1
103
+=时，二次函数有最小值；
()
2
1x x -+()()2
22222112n x x x x x x x x x -+
+-=-++-(2
22
222
1222n n x x x x x x x nx x +++-+=-+
)22
2
212n n x x x x x x +
++++
+，将此式看作关于x 的二次函数.
抛物线开口向上，∴当
x =()
121222n n
x x x x x x n
n
-++
+++
+-
=
时，二次函数有最小值.
18.答案：②④
解析：二次函数开口向下，且与y 轴的交点在x 轴上方，0,0a c ∴<> 对称轴为1x =，12b
a
∴-
=，20b a ∴=->，0abc ∴<，故①③都不正确； 当1x =-时，0y <，0a b c ∴-+<，故②正确；
由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一交点在2和3之间，
∴当2x =时，0y >，420a b c ∴++>，故④正确； 抛物线开口向下，对称轴为1x =， ∴当1x <时，y 随x 的增大而增大， 122
-<-，12y y ∴<，故⑤不正确； 综上正确的为②④.。