07 第七节 偏向导数与梯度

(2) 最小值;

f y (1,1)sin
(2x y) cos (2 y x) sin
(1,1)
cos sin 2 sin , 4
例 3（E02）求函数 u ln(x y2 z2 ) 在点 A(1,0,1)处沿点 A 指向点 B(3,2,2) 方向的
j.
,
sin

}

gradf
(x,
（7.1）
y)

e
★ 例2
★ 例5
★ 例8
★ 例 10
|
gradf
(x,
y) | cos ,
例题选讲
方向导数
故
x
例 1（E01）求函数 z xe2y 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q(2,1) 的方向的方向导数.

解 这里方向 l 即为 PQ {1,1},
14
1
z,

所以
因为 所以
l 0
★ 数量场与向量场的概念
★ 例1
★ 例4
★ 例7
★ 课堂练习
定理 1 如果函数 z f (x, y) 在点 P(x, y) 是可微分的，则函数在该点沿任一方向 l 的方
向导数都存在，且
其中 为 x 轴正向到方向 l 的转角（图 8-7-2）.
三、梯度的概念： gradf (x, y) f
(1,1)
(3) 等于零?
所以
u
1
, u
1
y , u
x x y 2 z 2 y x y 2 z 2 y 2 z 2 z x y 2 z 2 y 2 z 2
u 1 , u 0, u 1 .
x A 2 y A
于是
z A 2
是曲面
1
)2
2
2x
2
在此处方向
2
3y2 z2
n
60}
3,
3,

2.
22


1 2
,
2 2
,
1 2
.

6 在 P(1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数
的方向导数.
解 令 F (x, y, z) 2x2 3y 2 z 2 6, Fx p 4x p 4, Fy p 6 y p 6, Fz p 2z p 2,
轴到方向
l
的转角
z e2 y 1, z 2xe2 y 2,
x (1,0)
所求方向导数
(1,0)

y (1,0)

z cos 2sin 2 .
l
4


4
.
Hale Waihona Puke Baidu
4 2
(1,0)

例 2 求函数 f (x, y) x 2 xy y 2 在点 (1,1) 沿与 x 轴方向夹角为 的方向射线 l 的方向

n {Fx , Fy , Fz} {4,6,2}, | n |
方向余弦为

cos 2 , cos 3 , cos 1 .
u
14
x p z 6x2 8 y 2
6x
p
42 62 22 2 14,
14
6;
14
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
分布图示
内容要点
★ 引例
★ 方向导数的概念
★ 梯度的概念
★ 例3
★ 例6
第七节 方向导数与梯度
★ 梯度的运算性质及应用（例 9）
★ 等高线及其画法
★ 内容小结
★ 习题 8—7
★ 返回
一、场的概念：数量场 向量场 稳定场 不稳定场
二、方向导数
f lim f (x x, y y) f (x, y) .
因为函数可微分,且
故 f
u
故

例5
1
z
l (1,1,2)
(6 x 2
设

el

{cos
f x (1,1,2)
f y (1,1,2)
f z (1,1,2)
n
8y2
60,
(y
cos

(x z) (1,1,2)
(y

45,
z) (1,1,2)
x) (1,1,2)
cos
3 1 3 2 2 1 1 (5 3 2).
导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有
(1) 最大值;
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
故(1) 当 时，方向导数达到最大值 2; 4
(2) 当 5 时，方向导数达到最小值 2; 4
(3) 当 3 和 7 时，方向导数等于 0.
4
4

f x (1,1) cos
方向导数.
又
解 这里 l 为 AB {2,2,1}的方向, 向量 AB 的方向余弦为
cos 2 , cos 2 , cos 1 ,
3
3
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
u 1 2 0 2 1 1 1 .
l A 2 3
3 3 2 2
例 4 求 f (x, y, z) xy yz zx 在点 (1,1,2) 沿方向 l 的方向导数, 其中 l 的方向角分
别为 60℃, 45℃, 60℃.
解 与 l 同向的单位向量
f l

f x
cos

f y
sin
f f cos f sin ,
l x

f

x
,
f y
i
x y



{cos
y
f

函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它 的模为方向导数的最大值.
梯度运算满足以下运算法则：设 u, v 可微， , 为常数，则
（1） grad (u v) grad u grad v ;
（2） grad (u v) u grad v v grad u ;
（3） grad f (u) f (u) grad u .
四、等高线的概念
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。