奇偶性(1)

知识点二 函数奇偶性的定义
函数奇偶性的概念： (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内 任意 一个x，都有 f(－x)＝f(x) ， 那么函数f(x)就叫做偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的 对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上. (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内 任意 一个x，都有 f(－x)＝－f(x)， 那么函数f(x)就叫做奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的 对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上.
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝ x；
解 函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称， 所以 f(x)＝ x是非奇非偶函数.
1－x2 (2)f(x)＝ x ；
解 f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称. f(－x)＝ 1－－xx2＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数.
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝_7___.
解析 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3， ∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.
1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( √ ) 2.函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称.( × )
3.对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数.
( ×) 4.存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个.( √ )
2 题型探究
PART TWO
题型一 函数奇偶性的判断
解 令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，易知g(x)为奇函数， ∴f(d)＝g(d)＋2＝10，即g(d)＝8. 所以f(－d)＝g(－d)＋2＝－g(d)＋2＝－8＋2＝－6.
反思 感悟
利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域 关于原点对称，利用a＋b＝0求参数. (2) 解 析 式 含 参 数 ： 根 据 f( － x) ＝ － f(x)(f(x) 为 奇 函 数 ) 或 f( － x) ＝ f(x)(f(x)为偶函数)列式，比较系数即可求解.
直观想象数学运算
题型二 利用函数的奇偶性求函数值(参数)
例 2 (1)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则
f 12的值为 1
A.3
√9 B.8
C.1
D.无法确定
解析 由题意可知2b－5＋2b－3＝0，即b＝2. 又f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0， 所以2ax2＋2c＝0对任意x都成立，则a＝c＝0， ∴f 12＝81＋2×21＝81＋1＝89.
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质
1.奇(偶)函数的定义域关于 原点 对称. 2.重要性质 (1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性. (2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
x2＋x，x>0， (3)f(x)＝
x2－x，x<0.
解 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数.
延伸探究 1.本例(1)的条件改为“f(x)＝ax2＋bx＋b＋1 是定义在[a－1,2a]上的偶函数”， 求 f 21的值.
解 由题意可知ab－＝10＋，2a＝0， ∴a＝13，b＝0， ∴f(x)＝13x2＋1，∴f 12＝112)＝－3”换为“f(d)＝10”，求f(－d)的值.
第一章 1.3.2 奇偶性
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
内
自主学习
容
题型探究
索
达标检测
引
课时对点练
1
PART ONE
自主学习
知识点一 函数奇偶性的几何特征
一般地，图象关于y轴对称的函数称为 偶 函数，图象关于原点对称的函 数称为 奇 函数.
跟踪训练2 (1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝__0__.
解析 方法一 显然x∈R， 由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|. 又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|， 即|x＋a|＝|x－a|. 又x∈R，所以a＝0. 方法二 由题意知f(－1)＝f(1)，则|a－1|＝|a＋1|，解得a＝0.
(4)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2.
解 f(x)＝ x2－1＋ 1－x2的定义域为{－1,1}. ∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0， ∴f(x)＝ x2－1＋ 1－x2既为奇函数，又为偶函数.
反思 感悟
利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是 否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，－x也一定属于 定义域.其次验证f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立.
例1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝1x；
解 f(x)＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f(－x)＝－1x＝－1x＝－f(x)， ∴f(x)＝1x是奇函数.
(2)f(x)＝x2(x2＋2)；
解 f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R. ∵f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数. (3)f(x)＝x－x 1； 解 f(x)＝x－x 1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称， ∴f(x)＝x－x 1既不是奇函数，也不是偶函数.