2024年高考数学真题分类汇编05：三角函数与解三角形

三、填空题
11．（2024·全国）已知 为第一象限角， 为第三象限角，tan tan 4 ，tan tan 2 1，
则 sin( )
.
12．（2024·全国）函数 f x sin x 3 cos x 在 0, π 上的最大值是
．
13．（2024·北京）已知
π 6
,
π 3
，且α与β的终边关于原点对称，则
10．（2024·全国）对于函数 f (x) sin 2x 和 g(x) sin(2x π ) ，下列说法正确的有（ ） 4
A． f (x) 与 g(x) 有相同的零点
B． f (x) 与 g(x) 有相同的最大值
C． f (x) 与 g(x) 有相同的最小正周期 D． f (x) 与 g(x) 的图像有相同的对称轴
的最小正周期为
π
．则函数在
π 12
,
π 6
的最小值是（ ）
A． 3
2
B． 3 2
C．0
D． 3 2
9．（2024·上海）下列函数 f x 的最小正周期是 2π 的是（ ）
A． sinx cosx C． sin2x cos2x
B． sinxcosx D． sin2x cos2x
二、多选题
cos
的最大值
为
．
四、解答题 14．（2024·全国）记 ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinC 2 cos B ， a2 b2 c2 2 ab (1)求 B； (2)若 ABC 的面积为 3 3 ，求 c．
15．（2024·全国）记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A 3 cos A 2 ． (1)求 A． (2)若 a 2 ， 2bsin C csin 2B ，求 ABC 的周长． 16．（2024·北京）在△ABC 中， a 7 ，A 为钝角， sin 2B 3 b cos B．
（
）
A． 2 3 1
B． 2 3 1
C． 3 2
D．1 3
5．（2024·全国）在
ABC
中内角
A,
B, C
所对边分别为
a,b, c
，若
B
π 3
，
b2
9 4
ac
，则
sinA sinC （ ）
A． 3 2
B． 2
C． 7 2
D． 3 2
6．（2024·全国）设函数
f
x
ex 2sin x ，则曲线 1 x2
D．8
3．（2024·全国）设函数 f (x) a(x 1)2 1，g(x) cos x 2ax ，当 x (1,1) 时，曲线 y f (x)
与 y g (x) 恰有一个交点，则 a （ ）
A． 1
B．
1 2
C．1
D．2
4．（2024·全国）已知
cos cos sin
3
，则
tan
π 4
【解析】因为函数 y sin x 的的最小正周期为 T 2π ，
函数
y
2 sin
3x
π 6
的最小正周期为
T
2π 3
，
所以在
x 0,
2π
上函数
y
2 sin
3x
π 6
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有 6 个交点. 故选：C
3．D
【分析】解法一：令 F x ax2 a 1,G x cos x ，分析可知曲线 y F(x) 与 y G(x) 恰有
7 (1)求 A ； (2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积．
① b 7 ；② cos B 13 ；③ c sin A 5 3 ．
14
2
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
17．（2024·天津）在 ABC 中， cosB 9 ，b 5，a 2 ．
三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2024·全国）已知 cos( ) m, tan tan 2 ，则 cos( ) （ ）
A． 3m
B． m 3
C．
m 3
D． 3m
2．（2024·全国）当
xÎ
[0, 2 ] 时，曲线
y
sin
xLeabharlann 与y2sin
3x
6
的交点个数为（
）
A．3
B．4
C．6
原题意等价于当 x (1,1) 时，曲线 y F(x) 与 y G(x) 恰有一个交点，
注意到 F x,G x 均为偶函数，可知该交点只能在 y 轴上， 可得 F 0 G 0 ，即 a 1 1，解得 a 2 ， 若 a 2 ，令 F x G x ，可得 2x2 1 cos x 0 因为 x 1,1 ，则 2x2 0,1 cos x 0 ，当且仅当 x 0 时，等号成立，
16
c3
(1)求 a ；
(2)求 sinA ；
(3)求 cos B 2 A ．
参考答案： 1．A 【分析】根据两角和的余弦可求 cos cos ,sin sin 的关系，结合 tan tan 的值可求前者，
故可求 cos 的值.
【解析】因为 cos m ，所以 cos cos sin sin m ，
而 tan tan 2 ，所以 sin sin 2cos cos ， 故 cos cos 2 cos cos m 即 cos cos m ，
从而 sin sin 2m ，故 cos 3m ，
故选：A. 2．C
【分析】画出两函数在0, 2π 上的图象，根据图象即可求解
y
f
x 在 0,1 处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为（ ）
A． 1 6
B．
1 3
C．
1 2
D．
2 3
7．（2024·北京）已知
f
x
sinx
0
，f
x1
1 ，f
x2
1，| x1
x2
|min
π 2
，则
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2024·天津）已知函数
f
x
sin3
x
π 3
0
一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在 y 轴上，即可得 a 2 ，并代入检验即可；
解法二：令 h x f (x) g x , x 1,1 ，可知 h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可
知 h x 的零点只能为 0，即可得 a 2 ，并代入检验即可. 【解析】解法一：令 f (x) g x ，即 a(x 1)2 1 cos x 2ax ，可得 ax2 a 1 cos x ， 令 F x ax2 a 1,G x cos x ，