小学数学数的整除概念形成

小学数学数的整除概念形
成
篇一：小学数学整除问题
整除问题
本节课程回归到生活中的主题：有时，我们要按规则办事！
一、相关概念
对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a。

a就是b的倍数，b是a的约数。

二、七大整除特征。

①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）
②被3、9整除的特征：各位数字之和是3或9的倍数
③被5整除的特征：数的个位上是0、5。

④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数。

⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数。

⑥被11整除的特征：奇数位上的数字和与偶数位上的
数字和的差能被11整除。

⑦被7、11、13整除的特征：数的末三位与末三位以前的数字所组成的数的差是7、11、13的倍数。

例1．下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。

在这些自然数中，请问：
（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？
（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？
分析：能被2整除末位是偶数，有：14、80、152、650、434、9064；能被4整除末两位能被4整除，有：80、152、9064；能被8整除末三位能被8整除，有：80、152、9064；能被5整除末位是0或5，有：35、80650、4375、24125；能被25整除末两位能被25整除，有：650、4375、24125；能被125整除末三位能被125整除；有：4375、24125。

例2. 四位数2□9□，能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数。

分析：因为四位数能被5整除，所以末位只能填0或者5；假设末位为0, 2+9+0=11,百位填1、4、7都能被3整除。

假设末位为5, 2+5+9=16，百位填2、5、8都能被3整除，所以2190、2490、2790、2295、2595、2895都满足题意！
例3. 四位偶数6□4□能被11整除，求出所有满足要求
的四位数。

分析：能被11整除有两个判断方法，这个题明显用奇位和减去偶位和好判断，偶位和为4+6=10，则奇位和要等于10、21，但两个数字之和又不可能等于21，所以偶位上两个数字之和只要等于10就满足题意！有1和9,2和8,3和7,4和6,5和5。

而题目要求为偶数，所以个位数字必须为偶数，满足题意的四位数有6248、6842、6446、6644。

例4．期末考试六年级某班数学平均分是90分，总分是□95□，这个班有多少名学生？
分析：总分=平均分×人数，即□95□是90的倍数，而90=2×5×9，□95□也应为2、5、9的倍数，根据相关数的整除特征可知：能被2整除，个位数字只能是0、2、4、6、8，而能被5整除个位数字是0或5，那么能被2和5整除个位数字一定是0，所以□95□的个位数一定是0，而□+9+5+0的和也一定是9的倍数，所以千位上的□一定是4，总分一定是4950，学生人数=4950÷90=55（人）
例5．一位马虎的采购员买了36套桌椅，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：36套桌椅，单价：□3.□□元，总价：1□24.5□元。

你能帮忙算出单价和总价吗？
分析：先不考虑小数点.总价=单价×数量，即1□245□应是36的倍数，而36=4×9，1□245□也应为4、9的倍数，根据相关数的整除特征，5□应为4的倍数,即个位上的□只
能是2或6,同时,1+□+2+4+5+□应是9的倍数.
如果个位上取2,那么百位上的□应是4,1424.52÷36=39.57,与题不符。

所以个位上只能取6,那么百位上的□应是0或9,如果是0,1024.56÷36=28.46,与题不符.所以总价应为1924.56元,单价=1924.56÷36=53.46元。

小朋友们，通过这节课程的学习，我们明白了要想做好整除相关题目，首先我们要熟练
掌握“七大整除特征”；回到生活，“七大整除特征”好比我们做事情要遵守“七项基本规则”一样，小朋友在成长的过程中，妈妈在引导小朋友一点点长大，有时妈妈对小朋友说：“小明，这件事情这样做会更好一些”。

呵呵，这句话就是在告诉小朋友做事情要有规则。

最后，送给家长们一段话：没有规则的自由是放任，没有自由的规则是遏制，都是家庭教育不得法的表现，理想的状况是把握好规则与自由的张力，这样培养出的孩子既有责任心，又有开拓性，符合古人讲的中庸思想！
注：艾麦思数学始终坚持一个理念：通过数学专题的学习，让小朋友们培养良好的学习兴趣，理解其中的数学思维，进而回归到生活中教小朋友如何为人处事！
练习：
1、新学年开始了，同学们要改穿新的校服。

小悦收了9
位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。

老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费2□38元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清楚了。

冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。

聪明的小朋友，你们能算出这个数字是多少吗？
2、牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“67□8□”，其中方框表示被烧出的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元，请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？
篇二：浅谈小学数学教学中数的概念形成
浅谈小学数学教学中“数”的概念形成
论文摘要：数学学科教学知识是数学教师通过数学学科内容知识和有效教学策略交互作用，能帮助学生有效学习数学知识。

数学教师可以通过教育叙事、教学反思和树立动态的课程观在教育实践中逐步养成数学学科教学知识。

我们主要和大家交流数与代数领域中的数的认识、数的运算和常见的量的内容，关于这部分内容，我主要集中在以下四个问题进行交流：
1. 如何建立“数”的概念？（2）认清数的类型，（3）明确数的结构，（4）发现数之间的转换关系
关键词：数；整数；小数；分数；培养
一：建立“数”的概念
(一)《课标》中“数的认识”有何变化
数的概念是学生认识和理解数学的开始，理解数的意义伴随着学生学习数学的整个过程，从自然数逐步扩展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。

在小学阶段数的认识包括整数的认识、分数、小数和百分数的认识、负数的认识、数的整除性相关的内容、数的简单应用等。

在教材的安排中，整数的认识中分为10 以内认识、20 以内的认识、100 以内的认识、万以内的认识、大数的认识等；分数和小数的认识都为两个阶段、一个是初步的认识，另一个分数和小数的意义。

整体来说新课标中对数的认识的要求变化和调整不大，主要有以下几点，在教学中我们要加以注意。

在数的认识中要关注数的意义、数的表示、数与数的关系、数的应用。

其中我们要特别关注数的意义，也就是数的概念的建立。

在教学中如何建立数的概念是教学的重点，面对数的认识这一重要内容，我们又该怎样帮助学生建立清晰的数概念，理解数的意义呢？
(二)在建立数概念中要注意的问题
1、在整数的认识中要注意的问题
建立正确的数的概念是认数教学的任务，也是学生学习数学的起点。

理解数的意义一般有两个角度，一是从数
的组成去理解，通过组成理解数的大小和多少，加强对数的感知。

二是联系生活实际来体会，通过在具体的现实情境中，理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。

在实际教学中我们要把这两种方式有机地结合起来，这样更有利于学生体会数的意义，建立数的概念。

在整数数概念的建立过程中要注意以下几点：
（1）. 依托多种形式建立整数数概念
①在具体情境中理解数的意义
学生对数并不陌生，在入学之前，学生已对具体的数有了比较丰富的感知，他们会读、会写，会说一些具体的数。

我们在教学中就要关注从现实情景抽象出数的过程，例如从具体的 2 匹马，2 棵树，2 头牛，2 个人，抽象为 2 这个数。

这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“ 2 ”。

反过来，2 可以表示任何具有 2 这样数量特征的事物，例如 2 只铅笔， 2 个人、 2 只小动物??，随着教学的深入，还要引导学生认识到数的丰富含义，比如计数的数、数量的数、度量的数和计算的数。

②用操作帮助学生具体感知
自然数的认识的教学重点在于使学生从数量抽象到数，抽象离不开直观的支撑和操作，例如：计数器、小棒、图形
等等，让学生亲自的数一数，摆一摆，圈一圈、画一画，学生数的过程也是一一对应的过程，同时感受具体的数量。

③多种模型的表征
在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，比如说：计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。

例如，一位老师在教学《万以内的数的认识》时，就运用方块模型帮助学生建立一万的概念，理解数的意义。

通过方格模型的演示，让学生体会10 个一是十，10 个十是一百，10 个一百是一千，10 个一千是一万??，通过几何图形的点、线、面、体，使学生在头脑中建立“一、十、百、千”的映像，同时建立十个千就是一个万，在学生的头脑中建立一个清晰的模型“满十进一”
，
对于学生理解基数单位和位值制是有很大好处的。

（2）. 把握核心概念，重视数位和位置值的理解
为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。

数位的含意是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。

认识个、十、百、千、万等不同的数位，理解不同数位上的数字表示不同大小的数，
是理解整数概念所必须的。

学生必须清楚地了解，同样一个数字“ 3 ”，在个位上表示 3 个一；在十位上表示30 ，即 3 个十；在百位上表示300 ，即 3 个百。

第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而整理十进制计数法。

我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。

我国计数单位是四位一级，在国际上普遍使用的是三位一级，在学习时可以让学生了解。

在历史上，曾经出现过以 2 、 3 、 4 为原始的数基，比较多的是以 5 、20 、60 为数基，即五进制、二十进制、六十进制。

当然，最多的是以10 为数基，即现在世界各国通用的十进制，即重要的“满十进一”的方法。

在古代文明中，世界各国大多数都是采用十进制，例如中国、古罗马。

但十进位记数法，离十进位值制还有关键的一步“位置值制要走。

所谓“位值制”，是指相同的计数符号由于所处的位置不同可以表示大小不同的数目。

有了位值制，就可以用有限的数字表示出无限的自然数，这是记数历史上的一个创造，一个奇迹。

因此马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位值制记数法为“最妙的发明之一”。

①重视10 的概念的建立
一个十和几个一是十几，这就是位值制的基础，
这样10 个数字就可以表示出生活中无限多的物。

教学中建立好概念非常重要。

在教学10 的认识时要让学生亲自感受到由9 再加 1 变成10 的过程，可以通过数、摆、捆、拨、说等活动，让学生感受10 个一是 1 个
十。

在11-20 各数的认识中仍然要关注10 的概念的建立，让学生体会满十进一的过程。

②重视数计数单位：为帮助学生了解十进制计数法和位值制。

要重视数计数单位逐步
建立新的计数单位，10 个一是 1 个十，10 个十是一百，10 个百是一千，10 个千是一万，10 个万是十万，10 个十万是一百万，10 个百万是一千万，从而引出新的计数单位十万，在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满10 个单位就产生一个新的计数单位，感受了两个相邻计数单位间的进率是十。

③重视数位顺序表的使用
随着认识的数越来越大教师应不断扩充完善数位顺序表，从认识20 以内的数起就让学生了解个位和十位，认识百以内数时补充认识百位，在认识万以内数的时候第一次出现了数位
顺序表，在认识整数的最后一个单元里学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数。

数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，再扩展到亿级。

数位顺序表有助于学生
了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读、写数的方法。

（3）. 关注对大数的感受
在第一、二学段都提出感受大数意义和对大数进行估计的要求。

第一学段是要求在生活情境中感受大数的意义，第二学段情境的范围有所扩大，要求在现实情境中感受大数的意义。

其本质是相同，都是希望通过具体的情境对大数加以感受，增加学生的数感。

感受大数与情境的具体内容有关，1200 张纸大约有多厚？你的1200 步大约有多长？1200 名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？这些具体的情境学生可以通过实际操作和观察感受。

有时还要加入想象的成份，1200 名学生需要多大场地，许多学校可能没有这么多人，学生就需要了解自己的学校有多少人，占多大地方，再想象1200 人会占多大地方。

这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就强调，直到认识较大的数。

学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。

2、在建立分数概念中要注意的问题
教师在数的认识的教学中普遍认为分数的认识是数认识教学中的一个难点。

分数起源于分，当平均分出现不是整数结果的时候，逐渐有了分数的概念。

后来，在土地测量、产品分配等过程中, 常常得到不是整数的结果，便产生了分数。

分数的产生经历了一个漫长的过程，分数的真正来源在
于自然数除法的推广。

（1）. 加强对分数丰富意义的理解
教师要了解分数意义的多重多元性，才能引导学生深刻理解分数的意义。

对分数意义的理解应关注以下两个主线和四个层面：
两个主线
即“比的线索”和“数的线索”。

“比”指的是一部分与另一部分之间的关系；“数”指的是以有理数形式出现的分数，此时的分数表现的是一个结果。

分数意义理解的四个层面
“比率”是指部分与整体的关系和部分与部分的关系。

其中部分与整体的关系更多地体现
1
在真分数的含义中。

例如一个圆平均分成 4 份，每一份是整体的4 。

又例如，长方形中1
的一部分是整个长方形的3 ，整体图形的面积应该是多少？显然，整体图形的面积应该是11
这样的三份。

这里的4和3所反映的就是取的份数与整体份数之间的关系。

而部分与部分之间的关系更多地表现为是一种“记号”。

例如小红有 5 个苹果，小丽有 3 个苹果，小红
5
的苹果是小丽的3倍。

对比率维度的理解，可以帮助学生完成对分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的正确认识。

“度量”指的是可以将分数理解为分数单位的累积。

例如篮子里面有 3 个苹果，就是用分1
数3作为单位度量 3 次的结果。

著名数学家华罗庚曾经说过：“数起源于数，量起源于量。

”对度量维度的研究，可以大大丰富学生对分数的认识。

度量维度的体验也可以直接作用于分数加（减）法的学习中。

2
“运作”主要指的是将对分数的认识转化为一个运算的过程。

例如，求 6 张纸的3是多少张纸，我们可以将 6 张纸这个整体平均分成 3 份，取其中的 2 份，列出算式就是6 ÷
2
3 ×2 ，也就是6 ×3。

“商”这个维度主要是指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其他数一样进行运算。

以上这四个维度没有先后之分，主次之别，它们对学生多角度认识分数都发挥着重要的作用。

它们相辅相成，共同承担着学生对于分数内涵丰富性认识的建构。

（2）．利用多种模型帮助学生理解分数的意义
在小学阶段教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念。

例如把一个
11
月饼平均分为两份，其中的一份是2个，把一张纸平均分为为四份其中的一份是4 ，这仅仅是从“面积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。

①分数的面积模型：用面积的“部分—整体”表示分数
儿童最早是通过“部分—整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”取其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数的，这些直观模型即为分数的“面积模型”。

②分数的集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数
这是“部分—整体”的另外一种形式，与分数的面积模型联系密切，但学生在理解上难度更大，关键是“单位 1 ”不再真正是“ 1 个整体”了，而是把几个物体看作“ 1 个整体”，作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，
2
把 4 个桃子看作“单位 1 ”平均分成 2 份，每份 2 个占整体的 4 。

分数的集合模型需要学生有更高程度的抽
象能力，其核心是把“多个”看作“整体 1 ”。

③分数的“数线模型”：数线上的点表示分数
篇三：小学数学五年级第三单元数的整除教案
第三单元数的整除
[知识与技能]
1．知道自然数和整数的意义。

2．理解整除的意义，会判断一个数能否被另一个数整除。

3．掌握能被2、5、3整除的数的特征，会根据特征判断一个数能否被2、5、3整除。

4．理解偶数、奇数的意义，会判断一个数是奇数还是偶数。

5．理解约数、倍数的意义，会找一个数的所有约数和某一范围内的倍数。

6．理解质数、合数的意义，会用质数表判断一个大于1的自然数是质数还是合数，熟记20以内的所有质数。

7．理解质因数、分解质因数的意义，会用短除法分解质因数。

8．理解公约数、最大公约数的意义，理解互质数的意义，会判断两个数是不是互质数，理解公倍数、最小公倍数的意义。

9．会用分解质因数的方法和短除法求两个数的最大公
约数和最小公倍数，会用短除法求三个数的最小公倍数。

10．会根据两个数成倍数关系或互质的特殊情况，直接求出它们的最大公约数和最
小公倍。

[教学重点]
建立整除概念；掌握能被2、3、5整除的数的特征；会求两个数的最大公约数和最小公倍数。

[教学难点]
质数、质因数、互质数等概念的区别；两个数的最大公约数、最小公倍数与这两个数的质因数的关系；求三个数的最小公倍数。

[教学关键]
通过观察、比较，要求学生掌握能被2、5、3整除的数的特征。

整数与整除
[教学内容]
整数与整除的意义
[知识与技能]
1．知道自然数的含义。

2．知道整数包括自然数、零和负整数。

3．理解整除的意义，能判断一个数能否被另一个数整除。

4．知道除尽与整除的区别。

[教学重点]
整除的意义。

[教学难点]
整除的两种说法，即a能被b整除与b能整除a；除尽与整除的区别。

[教具准备]
小黑板
[教学过程]
一、复习
数可以分成哪几类?
正数、负数和零。

二、新授
（一）整数的意义
1、自学书本P42。

⑴自然数的意义
数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4、5??叫做自然数，也叫正整数。

自然数的个数是无限的。

⑵你了解自然数吗？
①最小的自然数是几？有没有最大的自然数？1是最小的自然数，它是自然数的基本单位。

没有最大的自然数，因为自然数的个数是无限的。

②相邻的两个自然数之间有什么关系？相邻的两个自然数，后面的一个数总比前面的一个数大1。

⑶负整数的意义
自然数前面添上“―”号，得到的数-1、-2、-3、-4、-5??叫做负整数。

负整数的个数也是无限的。

0既不是正整数也不是负整数。

⑷你了解负整数吗？
-1是最大的负整数，没有最小的负整数，因为负整数的个数是无限的。

⑸整数可以分成哪几类？正整数（自然数）、零和负整数。

2、练习
⑴P44练一练1
把下列各数填在适当的圈内。

2、10
3、-7、0.
4、1/10、0、-1.1、-99
自然数负整数整数
2 103-7-99 2 10
3 -7 -99
⑵判断题
①整数包括自然数、零和负整数。

（）
②零是整数。

（）
③最小的自然数是零，没有最大的字然数。

（）
３、结
自然数、零和负整数都是整数。

（二）整除的意义
1、观察下列几组算式，把它们按“除尽”和“除不尽”分两类。

⑴6÷3=2 ⑵14÷2=7 ⑶13÷3=4??1 ⑷12÷8=1.5
从三道除尽的算式中,看一看,它们的被除数、除数、商都是些什么数？有什么区别？
除尽6÷3=2 被除数、除数和商都是整数，没有余数。

14÷2=7
12÷8=1.5 被除数、除数都是整数，但商不是整数。

除不尽13÷3=4??1 被除数、除数和商都是整数，有余数。

归纳：类似算式⑴、⑵，整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余
数，我们就说a能被b整除，或者b说能整除。

2、2÷0.5=4 可以说成“2被0.5整除”吗?
1.2÷0.4=3 可以说成“0.4整除1.2”吗?
（不可以。

因为算式中被除数、除数中出现了小数。

）
归纳：整除是除尽的一种特殊情况。

练：选择题
⑴下面算式中被除数能被除数整除的是( C )
A.25÷0.5
B.2.5÷0.5
C.25÷5
D.5÷25
⑵下面各组数中第一个数能整除第二个数的是( B )
A.21和3
B.3和18
C.4.5和0.9
D.12和0.6
⑶4能被0.2 ( B )
A.整除
B.除尽
C.除有余数
3、①练习P44练一练2
②每个学生写出三组能整除的数
4、结：
整除算式中，被除数、除数和商都是整数，没有余数。

（三）出示课题：整数与整除的意义
三、巩固练习
1、P48第3题
把下面的算式填入适当的圈内。

63÷372÷53.1÷0.375÷0.1
1.2÷8 16÷49÷4.5 30÷10
被除数能被除数整除的能够除尽的÷53.1÷63÷316÷430÷10 75÷0.11.2÷8
9÷4.5 问：72为何不能被5整除? （商是小数。

）
9÷4.5为何不能说9能被4.5整除?（除数不是整数。

）
2、判断题P49第6题
⑴能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。

⑵能整除8的数一共有4个。

问：哪4个？（1、2、4、8）
四、总结
今天我们学习了什么知识？
五、作业
1、书本P48-49第1、
2、4、5题。

2、练习册。

（×）（√）
能被2、5整除的数
[教学内容]
能被2、5整除的数
[知识与技能]
1、掌握能被
2、5整除的数的特征，能根据特征正确判断一个数能否被2、5整除。

2、理解偶数、奇数的意义，知道自然数可以分成偶数和奇数两类。

会判断一个自然数是奇数还是偶数。

[教学重点]
能被2、5整除的数的特征。

[教学难点]
能被2、5整除的数的特征。

[教具准备]
小黑板
[教学过程]
一、复习
1、下面个数中哪些是整数？哪些是自然数？
-16、-7 、24、0、6、-3.8、3/8、204
（整数：-16、-7、24、0、6、204；自然数：24、6、204）
2、A、7.2和2 B、5和10 C、32和16 D、2.5和5
上面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ C ）上面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（ B ）
二、新授
（一）出示一组数
4673285 900148 732050 447383
你能很快判断出哪些数能被2整除？哪些数能被5整除？
用除法能判断这个数能否被2、5整除，但速度慢。

能不能找一种准确而又迅
速的方法来判断吗？
出示课题：能被2、5整除的数
（二）探
请学生各写出3个能被2、5整除的数。

能被2整除的数：2、4、6、8、10??
能被5整除的数：10、15、20、25、55??
找一找这些数有什么规律？（四人小组讨论）
（三）议
1、能被
2、5整除的数有什么特征？
（个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除；个位上是0、5的数能被5整除。

）
2、奇数和偶数：整数按能否被2整除，可分为奇数和偶数。

通常能被2整除的数
称为偶数，不能被2整除的数称为奇数。