07圆锥曲线-备战2017高考高三数学(文)全国各地二模金卷分项解析含解析

【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】
一、选择题 1．【2017安徽阜阳二模】已知双曲线22
214y x a -=过点()2,1-，
则双曲线的离心率为（ )
A 。

2
B. 2
C. 3 D 。

4
【答案】C
【解析】解:由题意可得：
2
21411,42
a a -=⇒= ，据此有：
2222219
,4,22a b c a b =
==+=
，
则:
2
2
29,3
c e e a ===
.本题选择C 选项。

2．【2017广东佛山二模】已知双曲线Γ：
22
221x y a b -=(0a >，
0b >）的一条渐近线为l ，圆C ： ()
2
28
x a y -+=与l 交于A ，
B 两点，若AB
C 是等腰直角三角形，且5OB OA =(其中O 为
坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（ ） A 。

13
3
B.
2133
C 。

135
D.
2135
【答案】A
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其
关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式,再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
3．【2017湖南娄底二模】已知点()
00,P x y 是抛物线2
4y x =上
的一个动点， Q 是圆C ： ()()2
2
241
x y ++-=上的一个动点,
则0x PQ +的最小值为（ ） A.
251-
B. 25 C 。

3 D 。

4
【答案】C
【解析】
4．【2017
湖南娄底二模】已知双曲线22
2
21x y a b -=（0a >，
0b >）的渐近线与圆
(2
28
22
3x y -+=
相切，则该双曲线的离
心率为（ ）
A. 62
B 。

32
C. 3
D. 3
【答案】A
【解析】由题意知圆心
()22,0
到渐近线0bx ay -=的距离等
于
83,化简得2232a c =，解得62e =
，故选
A.
5．【2017陕西汉中二模】已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，
A ，
B 是切点，
C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最
小值是 ( ） A. 2 B. 2 C 。

3 D 。

32
【答案】A
【解析】
由题设可知圆心和半径分别为()1,1,1C r =,结合图形可知四
边形PACB 的面积222211PCA S S PA r PC r PC ∆==⋅=-=-PC
最小时，
S
最小，而min
PC 就是圆心()1,1C 到直线
3480x y ++=的距离，所以
min 31418
3
916
PC ⨯+⨯+=
=+，所以四边形
PACB的面积的最小值是2
min min 122
S PC
=-=，应选答案A。

点睛：本题的解答过程经过三次等价转化和化归,体现了等价转化与化归思想的巧妙和灵活运用。

第一次转化是将四边形的面积转化为三角形的面积；第二次是将切线长转化为圆心与定点的距离;第三次转化是将圆心与定点的距离的最小值转化为圆心到定直线的距离。

6．【2017重庆二诊】设F为双曲线C：
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的
右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点,P Q，若2
PQ QF
=，60
PQF
∠=,则该双曲线的离心率为（)
A. 3
B. 13
+C。

23
+ D. 423
+
【答案】B
点睛：此题主要考查直线与双曲线位置关系，以及双曲线定义、离心率、对称性和数形结合的思想等方面的知
识和运算技能，属于中高档题型，也是高频考点。

处理直线与圆锥曲线位置关系的题目，基本上有两种方法：一是代数角度，考虑方程组解的情况；二是几何角度，数形结合，尤其是直线与双曲线的位置关系考虑直线与渐近线的关系是较为优化的思路. 7．【2017重庆二诊】方程22
1
23x y m m +=-+表示双曲线的一个
充分不必要条件是（ )
A.
30m -<<
B 。

32m -<< C. 34m -<< D 。

13m -<<
【答案】A
【解析】由题意知， ()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件,不合题意,故选A. 8．【2017
重庆二诊】设直线0x y a --=与圆
22
4x y +=相交于,A B 两点， O 为坐标原点，若AOB ∆为等边三角形，则实
数a 的值为（ ) A 。

3±
B 。

6±
C 。

3±
D 。

9±
【答案】C
9．【2017福建4月质检】已知直线l 过点()1,0A -且与
22:20B x y x +-=相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E
过点D ,其一条渐近线平行于l ，则E 的方程为( ） A.
22
3144x y -=
B 。

22
3122x y -=
C 。

2
2513y x -=
D 。

22
3122y x -=
【答案】D
【解析】可设直线方程：
22(1),:20y k x B x y x =++-=的圆心
为(1,0)半径为1，由相切得条件可得
: 1k =⇒=，
所以直线方程：
1),y x =+,联立圆解得
:
11,(,22x y D ==⇒
，故渐近线方程为y x
=，设双曲线方程为2
21
3y x m
-=代入
D 可得双曲线方程：
22
3122y x -=
点睛：考察直线与双曲线得综合问题,先利用直线于圆的相切关系求出直线斜率，然后根据渐近线方程求解双曲方程 二、填空题
10．【2017广东佛山二模】点
()
4,0A ，抛物线C ： 2
2y px
=（04p <<）的准线为l ，点P 在C 上，作PH l ⊥于H ，且
PH PA
=，
120APH ∠=︒，则p =__________．
【答案】8
5
【解析】设焦点为F ，则
π
32,,
3
222P P P
p
x p p PAF x x +
∠=
=+⇒=
所
以
8422225P p p p x p p =+
+=+⇒=
点睛:1。

凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若()00,P x y 为抛物线
22(0)y px p =>上一点,由定义易得
02
p
PF x =+
；若过焦点的弦
AB
AB 的端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则弦长为
1212
,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到
其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
11．【2017陕西汉中二模】已知直线l ：y ＝k (x －2)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A,B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF ｜＝3｜BF|，则直线l 的倾斜角为_______________．
【答案】3π或23π
点睛：解答本题的关键是求出直线的斜率，再借助斜率
与倾斜角之间的关系求出倾斜角。

求解时先将直线与抛物线联立,借助题设条件探求交点坐标之间的关系，通过建立方程求出交点坐标及直线的斜率，从而使得问题获解。

12．【2017福建4
月质检】椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>的左、
右焦点分别为1
2
,F F ，上、下顶点分别为1
2
B B ，右顶点为A ，直线1
AB 与21
B F 交于点D 。

若1
123AB
B D
=，则C 的离心率等于
__________．
【答案】1
4
【解析】如图:设0
(,)D x y ，由1
123AB
B D
=，得
13
5AB AD =
根据相
似三角形得:
003,5a b a x y ==-求得0025,33x a y b ==，又直线21B F 方
程为： 1x y
c b +=--,将点D 代入得:
25
2581331,13334a b
e c b e -+==+=⇒=--
三、解答题
13．【2017安徽阜阳二模】已知离心率为
2
2
的椭圆
22
22:1(0)x y C a b a b +=>>过点
21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，过1
F 的直线l 与C 交于,A B 两点，且
243
5
ABF S ∆=。

（1）求椭圆C 的方程；
(2）求证：以AB 为直径的圆过坐标原点。

【答案】（Ⅰ）2
21
2x y +=(Ⅱ)见解析
（Ⅱ)由（1)知()11,0F -， ()
21,0F ；令()11,A x y , ()22,B x y ；
当直线l 的斜率不存在时,直线方程为:1l x =-;
此时，
22
ABF S ∆=，不满足；设直线方程为():1l y k x =+； 代入椭圆方程得： ()2
2
2
2
124220k x k x k +++-=
()()
42
2
16412220
k k k
∆=-⨯+->
韦达定理: 2
122
412k x x k +=-
+,
212222·12k x x k -=
+;
所以，
12x x -=
， 2
2
1212122
(1
12k y y k x x x x k －＝＋＋＋）＝＋；
所以，
)
2
122112k AB x k +=-=
+;
点2
F 到直线l
的距离为
d =
；
所以,
由
212ABF S AB d ∆=⨯⨯=
得：
22k =；
212122
2
012k OA OB x x y y k -⋅=+==+
OA OB ∴⊥
所以，以AB 为直径的圆过坐标原点 14．【2017广东佛山二模】已知椭圆1
C ：
22
221
x y a b +=（0a b >>）
的焦距为4，左、右焦点分别为1
F 、2
F ，且1
C 与抛物线2
C ：
2y x =的交点所在的直线经过2F 。

(Ⅰ）求椭圆1
C 的方程；
（Ⅱ）过1
F 的直线l 与1
C 交于A ， B 两点，与抛物线2
C 无
公共点，求2ABF 的面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ)22
1
84x y +=；（Ⅱ）
5⎛ ⎝。

试题解析：（Ⅰ）依题意得24c =，则()12,0F -，
()
22,0F 。

所以椭圆1
C 与抛物线2
C 的一个交点为()2,2
P ，
于是12a PF = 242
PF +=，从而22a =.
又2
22a
b c =+，解得2b =
所以椭圆1C 的方程为22
1
84x y +=。

故2
1
2ABF S AB d ==
()
2
2242114221t t t +⋅⋅++ 228212t t +=+,
令
[)
211,3t s +=∈，则
2
22821
2ABF t S t +=
+
2
8282
11s s s s =
=++ 122,425⎛⎤∈ ⎥
⎝
⎦, 所以三边形2ABF 的面积的取值范围为122,425⎛⎤
⎥ ⎝
⎦. 15．【2017湖南娄底二模】已知平面内一动点M 与两定点()10,1B -和()20,1B 连线的斜率之积等于1
2-
.
（Ⅰ)求动点M 的轨迹E 的方程； (Ⅱ）设直线l ： y x m =+(0m ≠)与轨迹E 交于A 、B 两点,线
段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，当m 变化时，求
PAB 面
积的最大值。

【答案】（Ⅰ）2
212x y +=（0x ≠）;（Ⅱ)
()max 23
PAB S
=。

【解析】试题分析:（1)设点的坐标列式，即可求椭圆E 的方程;
（Ⅱ）设()11,A x y ， ()22,B x y ，
联立方程组2
21,{2
,x y y x m +==+化简得： 234x mx ++ 2220m -=,
有两个不同的交点，
由根与系数的关系得1243m
x x +=-， 212223m x x -=
，
()2
412
m ∴∆=- ()
2
220
m
->,
即m <1,0,1m ≠-。

设
A
、
B
中点为
C
，
C
点横坐标
12223
C x x m
x +=
=-，
3C C m
y x m =+=
，
2,33m m ⎛⎫
∴- ⎪
⎝⎭，
∴线段AB 的垂直平分线方程为233m m y x ⎛⎫-
=-+ ⎪⎝
⎭。

P ∴点坐标为,03m ⎛⎫- ⎪
⎝⎭。

P 到AB
的距离
d =
,
由弦长公式得
AB =
=
，
12PAB
S
∴=
=
22392
m m +-
≤⋅
3
=
，
当且仅当
232m =
即m =
(
时等号成立，
()
max
PAB S
∴=。

点晴：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
16．【2017陕西汉中二模】已知直线
l : y kx =y 轴的
交点是椭圆C ：
2
2
1(0)
y x m m +=>的一个焦点。

(1）求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ?若存在,求出k 的值;若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
2214y x +=(2）
2k =±
17．【2017重庆二诊】已知椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左
顶点为A，右焦点为()1,0
F,过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B，交y轴于点C, 6
AB BC
=．
（1)求椭圆E 的方程;
(2）过点F 作直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，连接MO (O 为坐标原点）并延长交椭圆E 于点Q ，求MNQ ∆面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．
【答案】（Ⅰ）22
143x y +=；（Ⅱ） MNQ ∆面积的最大值为
3，
此时直线l 的方程为1x =
【解析】(Ⅰ)由已知，易知求得点A ， C 的坐标，由6AB BC =,利用向量的坐标表示可求得点B 坐标，联立右焦点坐标
及椭圆中222
a b c =+关系式,代入椭圆方程进行运算即可；
(Ⅱ）由椭圆对称性得， 2MQN
MON
S
S
=，由题意，联立直
线与椭圆的方程，求得MON 的底边长MN
，再由点到直
线距离公式求得
MON
的高,从而建立所求三角形面积的
函数,通过求面积函数的最大值,从而问题可得解。

试题解析：（Ⅰ）由题知()(),0,0,A a C a -,故6,77a a B ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭，代入椭
圆E 的方程得2
213614949a b +=，又221a b -=，
故224,3
a b
==，椭圆
22
:1
43
x y
E+=;
点睛:此题主要考查了解析几何中直线与椭圆位置关系，以及平面向量、解方程组、三角形面积的计算等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是高频考点.解直线与圆锥曲线的有关问题时，应注意几点：①联立直线与圆锥曲线方程后，要对二次项系数和差别式进行讨论，注意相交和相切的区别；②在判别直线和圆锥曲线关系时,注意数形结合的方法；③与焦点弦有关的问题时，注意应用圆锥的定义；④涉及到弦的中点问题时,运用“点差法"解决;⑤涉及到分点弦问题时，真正理解“分”、“点”的含义，适当结合与向量结合解决. 18．【2017福建4月质检】已知点()1,0
F，直线:1
l x=-，直线l'垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交l'于点Q.（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）已知点()1,2
H，过F且与x轴不垂直的直线交C于,A B 两点，直线,AH BH分别交l于点,M N,求证：以MN为直径的圆必过定点。

【答案】（1）24
y x
=；(2）详见解析.
【解析】试题分析：
设
22
12
12
,,,
44
y y
A y
B y
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，则1212
4,4
y y m y y
+==-；
又()1,2
H,设直线,AH BH的斜率分别为12,k k，
则
12
12
22
12
12
22
44
,
22
11
44
y y
k k
y y
y y
--
====
++
--，
设()()1,,1,M N M y N y --，
令1x =-,得
()111228
222M y y y y -=-=
++， 同理,得()222228222N y y y y -=-
=++，
从
而()()()()()121212121212424222244244·4
22244244
M N y y y y y y m y y y y y y y y m ⎡⎤-++----⨯+⎣⎦====-+++++-+⨯+；
12882222M N y y y y ⎛⎫⎛⎫
+=-+- ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭ 12114822y y ⎛⎫
=-+ ⎪
++⎝⎭
()()12121284424y y y y y y ⎡⎤++⎣⎦
=-
+++
()84444244m m +=--+⨯+
4
m =-。

点睛：考察直线和抛物线及圆的关系，要多化草图帮助自己分析其中的量得关系，多注意总结题型同时要深刻理解三大圆锥曲线得定义.。