(部编版)2020学年高中数学第一章计数原理1.2.2组合第一课时组合与组合数公式学案含解析新人教A版选修20

第一课时 组合与组合数公式
从1,3,5,7问题1：所得商和积的个数相同吗？ 提示：不相同． 问题2：它们是排列吗？
提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列． 1．组合
一般地，从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2．组合数
从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m
n 表示．
组合定义的理解
(1)组合要求n 个元素是不同的，被取出的m 个元素也是不同的．
(2)无序性是组合的特点，取出的m 个元素是不讲顺序的，也就是说元素没有位置的要求．
(3)只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.
从1,3,5,7中任取两个数相除． 问题1：可以得到多少个不同的商？ 提示：A 2
4＝4×3＝12个不同的商． 问题2：如何用分步法求商的个数？
提示：第1步，从这四个数中任取两个数，有C 2
4种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A 2
2种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C 24A 2
2.
问题3：由问题1、问题2你能得出计算C 2
4的公式吗？ 提示：能．因为A 24
＝C 24A 22
，所以C 24
＝A 2
4
A 22
＝6.
问题4：你能把问题3的结论推广到一般吗？
提示：可以，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数可由以下两个步骤得到：
第1步，从这n 个不同元素中取出m 个元素，共有C m n
种不同的取法； 第2步，将取出的m 个元素全排列，共有A m
m 种不同的排法． 由分步乘法计数原理知，A m n
＝C m n
·A m m
，故C m n
＝A m n
A m m
.
组合数公式
乘积形式C m n
＝A m
n A m m
＝
n n －
n －n －m ＋
m ！
阶乘形式C m
n ＝
n ！
m ！n －m ！
n m
m
m
组合数公式C m
n ＝
n n －
n －n －m ＋
m ！
的分子是连续m 个正整数n ，n －1，n －2，…，(n －m ＋1)
的乘积，即从n 开始减小的连续m 个自然数的积，而分母是1,2,3，…，m 的乘积．当含有字母的组合式要进行变形论证时，利用此公式较为方便．
判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ (3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？ (1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的．
(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别． (3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的．
根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有
关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
从5个不同的元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，写出所有不同的组合．
解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示．
由此可得所有的组合为
ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .
(1)计算：C 4
10－C 3
7·A 3
3；
(2)若1C 3n －1C 4n <2
C 5n ，求n 的取值集合．
(1)原式＝C 4
10－A 3
7＝10×9×8×7
4×3×2×1
－7×6×5＝210－210＝0.
(2)由
6
n n －
n －－
24n n －
n －
n －
<
240n n －
n －2n －
n －
，
可得n 2
－11n －12<0， 解得－1<n <12. 又n ∈N *
，且n ≥5，
所以n ∈{5,6,7,8,9,10,11}．
所以n 的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11}．
在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算C m
n 时，若m 比较大，可利用性质①，不计算C m n 而改为计算C n －m
n ，在计算组合数之和时，常利用性质②.
1．计算：C 5
8＋C 98
100·C 7
7.
解：原式＝C 38＋C 2
100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.
2．求等式C 5
n －1＋C 3
n －3C 3
n －3＝19
5
中的n 的值． 解：原方程可变形为C 5
n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145
C 3
n －3，即
n －n －n －
n －n －
5！
＝
145
·n －n －
n －
3！
，化简整理，得n 2
－3n －54＝0.解此二次方程，得n ＝9或n ＝－6(不合题
意，舍去)，所以n ＝9为所求．
少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加．
(1)从中任取5人是组合问题，共有C 5
12＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 2
9＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 5
9＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C 1
3＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C 4
9种选法．共有C 13C 4
9＝378种不同的选法．
解答简单的组合问题的方法 (1)弄清要做的这件事是什么事；
(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为C 2
10＝10×92×1＝45.
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C 2
6种选法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种选法．
根据分类加法计数原理，共有C 2
6＋C 24＝15＋6＝21种不同的选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C 2
6种，从4名女教师中选2名的选法有C 2
4种，根据分步乘法计数原理，共有C 2
6×C 2
4＝
6×52×1×4×3
2×1
＝90种不同的选法．
3.关注组合数中字母的取值范围
已知：1C m 5－1C m 6＝7
10C m 7
，求m 的值．
依题意，m 的取值范围是{m |0≤m ≤5，m ∈N *
}． 因为m ！
－m ！5！－m ！－m ！
6！
＝
7×m ！－m ！
10×7！
，
化简得m 2
－23m ＋42＝0， 解得m ＝21或m ＝2. 因为0≤m ≤5，m ∈N *
， 所以m ＝21舍去，所以m ＝2.
1．运用组合数公式转化为关于m 的一元二次方程后，易忽略0≤m ≤5的取值范围，导致错误．解这类题目时，要将C m
n 中m ，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解．
2．应用组合数性质C m n ＝C p
n 可以得到m ＝p 或m ＋p ＝n 两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了m ＋p ＝n 的情况，从而导致错误．
已知C x －2
12＝C 2x －4
12，则x 的值是( )
A ．2
B ．6 C.1
2 D ．2或6
解析：选D 根据组合数性质C m
n ＝C n －m
n 可得 若C m
n ＝C p
n ，则{ 0≤m ≤n ，
p ≤n ，m ＝p 或m ＋p ＝n ，根据题意得
{ 0≤x －2≤12，
x －4≤12，x －2＝2x －4或x －＋
x －
＝12.
解得x ＝2或x ＝6.
1．方程C x
28＝C 3x －8
28的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9
D ．其他
解析：选A 当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.
2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A．14 B．24
C．28 D．48
解析：选A 从6人中任选4人的选法种数为C46＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.
3．计算：C4850＋C4950＝____________.
解析：C4850＋C4950＝C4951＝C251＝51×50
2×1
＝1 275.
答案：1 275
4．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
解析：先给甲组选4人，有C410种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为C410＝210.
答案：210
5．7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．
(1)A，B必须当选；
(2)A，B必不当选；
(3)A，B不全当选．
解：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有不同的选法种数为C310＝120.
(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有不同的选法种数为C510＝252.
(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选的选法种数为C512－C310＝672.
一、选择题
1．某乡镇共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该乡镇内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )
A．4 B．8
C．28 D．64
解析：选C 由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建C28＝28条公路．
2．已知C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于( )
A．14 B．12
C．13 D．15
解析：选A ∵C7n＋1＝C8n＋1，∴7＋8＝n＋1，∴n＝14.
3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( ) A．252种 B．112种
C．20种 D．56种
解析：选B 每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C27＋C37＋C47＋C57＝112种分配方案．
4．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是( )
A ．C 3
10C 3
5 B ．C 410C 2
5 C ．C 515
D ．A 4
10A 2
5
解析：选B 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C 4
10C 2
5种抽法．
5．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A ．20 B ．9 C ．C 3
9
D ．C 24C 1
5＋C 25C 1
4
解析：选B 分两类：第1类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 1
4个平面；第2类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 1
5个平面．故可确定C 1
4＋C 1
5＝9个不同的平面．
二、填空题 6．从0,1，2，
π
2
，3，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y ＝x tan α＋b 的倾斜角和截距，可组成________条平行于x 轴的直线．
解析：要使得直线与x 轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可，故有C 1
5＝5条满足条件． 答案：5
7．不等式C 2
n －n <5的解集为________． 解析：由C 2n －n <5，得n n －
2
－n <5，
∴n 2
－3n －10<0.
解得－2<n <5.由题设条件知n ≥2，且n ∈N *
， ∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}
8．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，则集合A 中含有3个元素的子集共有________个． 解析：从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C 3
5＝10个子集． 答案：10 三、解答题
9．计算：(1)C 4
7＋C 48
50·C 9
9； (2)C 0
5＋C 1
5＋C 2
5＋C 3
5＋C 4
5＋C 5
5； (3)C n n ＋1·C n －1
n .
解：(1)原式＝C 37＋C 2
50×1＝7×6×53×2×1＋50×492×1＝35＋1 225＝1 260.
(2)原式＝2(C 0
5＋C 1
5＋C 2
5)＝2(C 1
6＋C 2
5)
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫6＋5×42×1＝32.
(3)法一：原式＝C n n ＋1·C 1
n ＝
n ＋！n ！·n ＝n ＋n ！n ！
·n ＝(n ＋1)·n ＝n 2
＋n .
法二：原式＝(C n
n ＋C n －1
n )·C n －1
n ＝(1＋C 1
n )·C 1
n ＝(1＋n )·n ＝n 2
＋n .
10．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；
(2)至少有1女且至多有3男当选．
解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C 4
8＝70种选法． (2)至少有1女且至多有3男时，应分三类： 第1类是3男2女，有C 36C 2
4种选法； 第2类是2男3女，有C 26C 34种选法； 第3类是1男4女，有C 16C 44种选法．
由分类加法计数原理知，共有C 36C 2
4＋C 26C 3
4＋C 16C 4
4＝186种选法．
11．判断下列问题是组合问题还是排列问题，然后再算出问题的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？
(2)用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段？如果连成有向线段，共有多少条？
(3)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？
解：(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从集合{0,1,2,3,4}中取出3个数的组合．这是一个组合问题，组合的个数是C 3
5＝
5×4×3
3×2×1
＝10，所以子集的个数是10.
(2)由5个点中取两个点恰好连成一条线段，不用考虑这两个点的次序，所以是组合问题，组合数是C 2
5＝5×42×1＝
10，连成的线段共有10条．再考虑有向线段问题，这时两个点的先后排列次序不同对应两个不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 2
5＝5×4＝20，所以有向线段共有20条．
(3)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题．排列数是A 2
9＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法．选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题．组合数是C 29＝
9×8
2×1
＝36，所以不同的选法有36种．。