安徽省合肥市第一六八中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题

合肥一六八中学2015-2016学年第一学期高一期末试卷
数学试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 2{4,21,}A a a =--，=B {5,1,9},a a --且{9}A B ⋂=,则a 的值是( ) A. 3a = B. 3a =- C. 3a =± D. 53a a ==±或
2. 函数()
14log 12-=
x y 的定义域为( )
A.)21,0(
B. )4
3(∞+， C ．)2
1
(∞+， D.⎝⎛⎭⎫34，1
3. 若方程032=+-mx x 的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( ) A. )2(∞+，
B. )20(， C ．)4(∞+， D. )4,0(
4.设2
1
50.a =，2
1
8.0=b ，5.0log 2=c ，则( ) A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
5. 为了得到函数)3
3sin(π
-
=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象（ ） A ．向右平移9
π
个单位长度 B ．向左平移9
π
个单位长度 C ．向右平移
3
π
个单位长度 D ．向左平移
3
π
个单位长度
6. 给出下列各函数值：① 100sin ；②)100cos( -；③)100tan(
-；④sin 7π10cosπtan
17π9
.其中符号为负
的是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
7.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）
A. AD =
34AB +31AC B.14
33
AD AB AC =- C. AD = 31-AB +34AC D.41
33
AD AB AC =-
8. 已知2
10
cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan ( ) A. 53-43-或 B. 4
3- C. 43 D. 53-
9. 设10<<a ，实数,x y 满足1
||log 0a
x y
-=，则y 关于x 的函数的图像形状大致是（ ） A B C D
10.若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)2
1
,0(内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为( )
A. )2
1,(--∞ B. ),41(+∞-
C. (0,+∞)
D. )41,(--∞ 11. 已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数)2(2)(x f b x g --= ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )
A ．),87(+∞ B. )2,47( C.)1,87( D. )4,2
7(
12. 设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) .
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设MP 和OM 分别是角
18
17π
的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②OM MP <<0； ③0<<MP OM ；④ 0OM MP <<，
其中正确的是______________________。

14.设函数2()()12
x
x
f x x R =∈+，若用][m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数]2
1
)([]21)([+-+-=x f x f y 的值域为____________.
15.在直角坐标系xOy 中，已知点)0,1(A 和点)4,3(-B ，若点C 在AOB ∠的平分线上且2||=OC ，
则=OC
______________.
16. 设函数2
()3f x x ax a =-++，()g x x a =-若不存在．．．R x ∈0，使得0()0f x <与0()0g x <同时成立，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题(本题共6小题
)
17.sin cos 222(1)cos 3(2)sin()sin 52
παααπαπ
αβββ∈+=-∈(本小题满分10分)已知(,),且+求的值;
,(0,)求的值。

18.(本题12分)已知函数)2
||,0,0)(sin()(π
ϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象在y 轴右侧的第一个最
大值点和最小值点分别为(,2)π和(4,2)π-．
（1）试求)(x f 的解析式；
（2）将)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的4
1
（纵坐标不变），然后再将新的图象向x 轴正方向平移
3
π
个单位，得到函数)x (g y =的图象．写出函数)x (g y =的解析式.
19.(本题12分) 如图在长方形ABCD 中，,,AB a AD b N ==是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，
2,1a b ==.
（1）若M 是AB 的中点，求证：AN 与CM 共线；
（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得BD 与CM 垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；
（3）若动点P 在长方形ABCD 上运动，试求AP AB ⋅的最大值及取得最大值时P 点的位置。

20.(本题12分) (A 题宏志班做) 已知函数()()2
1
log ,211
x f x g x ax a x -==+-+，又()()()h x f x g x =+
(1)1a =时，求证：()h x 在()1,x ∈+∞上单调递增，并证明函数()h x 在定义域内有两个零点； (2)若关于x 的方程()()2log f x g x =有两个不等实数根，求a 的取值范围。

20.(本题12分) (B 题全省班做) 设2
()2f x x ax =-+.当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求实数a
的
取值范围.
21. (本题12分)(A 题宏志班做) 我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系允许近似的满足：2
(1)()()2kt x b y P x --==（其中t 为关税的税
率，且1[0,)2t ∈，x 为市场价格，b 、k 为正常数），当1
8
t =时的市场供应量曲线如图：
（1）根据图象求b 、k 的值；
（2）若市场需求量为Q ，它近似满足112
()2
x
Q x -
=．当P Q =时的市
场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t 的最小值．
21. (本题12分)(B 题全省班做) 《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额。

此项税款按下表分段累计计算：
税率（%） 1500
22. (本题12分) (宏志班全做，全省班做前两问) (本题12分)已知函数
()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈．
（1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；
（3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
合肥一六八中学2015-2016学年第一学期高一期末试卷
数学试题答案
一、选择题答案(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
二、填空题答案(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. ④_． 14. }10{， ． 15. )5
5
4,552(
16. []3,6a ∈-
三、解答题(本题共6小题)
17.(本题10分)
15
4
522)
2(3
22cos )1(+-=α
18.(本题12分)
)
18
534sin(2)()2()
6
3sin(2)()1(π
π
-=+=x x g x x f
19.(本题12分)
(2))0,2
3(M
(3) 上在，此时最大值为BC P 4 20.(本题12分) (A 题宏志班做) (1)()2
1
log 21
x h x x x -=++ 任取121x x <<，()()()1212122
1212211
log 21
x x x x h x h x x x x x x x +---=+-+--
12121212122110,011x x x x x x x x x x x x <<⇒-<<+--<+--，
有()()120h x h x -<，()h x 在()1,+∞上为增函数；
()2215152log 40,log 03492h h ⎛⎫
=+>=+< ⎪⎝⎭,又()h x 在()1,+∞上为增函数，()h x 在
5,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点；()h x 为奇函数，()h x 在52,4⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
上有一个零点，综上()h x 有两
个零点；
(2)()()2log f x g x =有两个零点等价于1
211
x ax a x -=+-+在()(),11,-∞-+∞上有两个
根；
2
2
21a x x =-
+- 10a ⇒-<<
20.(本题12分) (B 题全省班做
) a ≤21. (本题12分)(A 题宏志班做)
(1)6
5
k b =⎧⎨
=⎩
(2)222
111221171216[](5)2(5)2(5)5
x
x t x x x x -
--==⋅=⋅----- ……………… 10分 令1(9)5m x x =
≥-，1(0,]4
m ∴∈， 设21()17,(0,]4f m m m m =-∈，对称轴为1
34
m =
max 113()()416f x f ∴==
，所以，当14m =时，16t -取到最大值：113
216⋅，即11316216t -≤⋅
，解得：19
192
t ≥，即税率的最小值为19
192
． ……………… 15分 答：税率t 的最小值为19
192
．
21. (本题12分)(B 题全省班做) 477元
22. (本题12分) (宏志班全做，全省班做前两问) (本题12分) (1)奇函数
(2)11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数；
(3)918
t <<．。