陕西省周至县高中数学第一章统计1.7相关性教案北师大版
北师大版高中数学必修3《一章 统计 7 相关性 相关性》优质课教案_6
§1.7相关性一、教学目标：1．通过收集现实问题中两个变量的数据作出散点图，利用散点图直观认识变量间的相关关系．2．经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程．二、重难点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系三、教学过程（一）、问题提出1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.2.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3.我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少，学习兴趣、学习时间、教学水平等，也是影响物理成绩的一些因素，但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.（二）变量之间的相关关系与线性相关知识探究（一）：变量之间的相关关系思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.思考4：对于一个变量，可以控制其数量大小的变量称为可控变量，否则称为随机变量，那么相关关系中的两个变量有哪几种类型？(1)一个为可控变量，另一个为随机变量；(2)两个都是随机变量.变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，像正方形的边长a和面积S的关系，另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的。
高中数学第一章统计1.7相关性8最玄乘估计学案含解析北师大版必修3
考纲定位重难突破1.会作散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.知道最小二乘法的思想，能够根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程.重点：作散点图，会建立线性回归方程.难点：准确理解变量的相关关系并求线性回归方程.授课提示：对应学生用书第16页[自主梳理]1．散点图在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．变量之间的相关关系从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．若两个变量x和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，而若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．3．最小二乘法与线性回归方程如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a ＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[y n－(a＋bx n)]2使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．说明：线性回归方程y＝a＋bx中，b＝x1y1＋x2y2＋…＋x n y n－nx－y－x21＋x22＋…＋x2n－nx－2(其中x－＝x1＋x2＋…＋x nn，y－＝y1＋y2＋…＋y nn)；a＝y－－bx－__．[双基自测]1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()A．正方体的棱长与体积B．单位圆中圆心角的度数与所对弧长C．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量D．日照时间与水稻的亩产量解析：选项A，B，C均为函数关系，日照时间与水稻的亩产量有一定的关系，日照时间长，水稻的亩产量就高，但这种情况也不是绝对的，二者是相关关系．答案：D2．已知x，y之间的一组数据如下：x 01234 5y 135579则y关于xA．(2，2)B．(1，3)C．(2.5，5)D．(4，6)解析：因为x －＝0＋1＋2＋3＋4＋56＝2.5，y －＝1＋3＋5＋5＋7＋96＝5，所以y 关于x 的回归直线必经过样本点的中心(2.5，5)．故选C.答案：C3．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程：y ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 解析：由y ＝0.254x ＋0.321知，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万元． 答案：0.254授课提示：对应学生用书第16页探究一 变量之间的相关关系的判断[编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 6250 53[解析] 法一：根据经验可知，人的身高和体重之间存在相关关系．法二：观察表格数据可知，人的体重随着身高的增高而增加，因此人的身高和体重之间存在相关关系．法三：以x 轴表示身高，以y 轴表示体重，得到相应的散点图如图所示．我们会发现，随着身高的增高，体重基本上呈增加的趋势．所以体重与身高之间存在相关关系．两个变量x 和y 相关关系的确定方法(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断．(2)如果发现点的分布从整体上看大致在一条线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．1．某化妆品公司2013～2018年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 利润x 12.2 14.6 16.2 18.4 20.4 22.3 支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11根据统计资料，可知( )A ．利润的中位数是16.2，x 与y 有正相关关系B ．利润的中位数是17.3，x 与y 有正相关关系C ．利润的中位数是17.3，x 与y 有负相关关系D ．利润的中位数是18.4，x 与y 有负相关关系解析：年利润的6个数据的中间两个为16.2，18.4，则中位数为17.3；又x 增加时，y 也随之增加，因此x 与y 成正相关．故选B. 答案：B探究二 求线性回归方程[典例2] 关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数：年龄x 23 27 39 41 45 49 50 53 脂肪y 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直线； (2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．[解析] (1)以x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)画出散点图，如图．进一步观察，发现上图中的点分布在一条直线附近，这说明这一正相关可以用这一直线来逼近，根据图中分析，人体的脂肪含量(百分比)和年龄具有相关关系． (2)设回归直线为y ＝bx ＋a ， 那么结合题中数据，可得x －＝40.875，y －＝23.25，∑8i ＝1x i y i ＝8 092.8，∑8i ＝1x 2i ＝14 195， 则b ＝∑8i ＝1x i y i －8x － y －∑8i ＝1x 2i －8x －2，＝8 092.8－8×40.875×23.2514 195－8×40.8752≈0.591 2， a ＝y －－bx －＝23.25－0.591 2×40.875＝－0.915 3， 所以所求的线性回归方程是y ＝0.591 2x －0.915 3.(1)最小二乘法的适用条件：两个变量必须具有线性相关性，若题目没有说明相关性，必须对两个变量进行相关性检验． (2)注意事项：①利用求回归方程的步骤求线性回归方程的方法实质是一种待定系数法．②计算a ，b 的值时，用列表法理清计算思路，减少计算失误．同时，计算时，尽量使用计算机或科学计算器．2．某研究机构对中学生记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y 3 * 6 85.5.(1)经过分析，知道记忆能力x 和识图能力y 之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(2)已知某一学生记忆能力值为12，请预测他的识图能力值．解析：(1)设丢失的数据为m ，依题意，得3＋m ＋6＋84＝5.5，解得m ＝5，即丢失的数据值是5.由表中的数据，得x －＝4＋6＋8＋104＝7，y －＝5.5，∑4i ＝1x i y i ＝4×3＋6×5＋8×6＋10×8＝170， ∑4i ＝1x 2i ＝42＋62＋82＋102＝216， b ＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝170－4×7×5.5216－4×72＝0.8，a ＝y －－bx －＝5.5－0.8×7＝－0.1， 所以所求线性回归方程为y ＝0.8x －0.1.(2)由(1)，得当x ＝12时，y ＝0.8×12－0.1＝9.5， 即预测他的识图能力值是9.5.探究三 线性回归方程的应用[典例3] 某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如下表所示：学生 A B C D E 总成绩(x ) 482 383 421 364 362 数学成绩(y ) 78 65 71 64 61(1)作出散点图；(2)求数学成绩y 对总成绩x 的线性回归方程；(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩． [解析] (1)散点图如图所示：(2)列表如下：i 12 3 4 5 x i 482 383 421 364 362 y i 78 65 71 64 61 x i y i37 596 24 895 29 891 23 296 22 082x －＝2 0125，y －＝3395，∑5i ＝1x 2i ＝819 794，∑5i ＝1x i y i ＝137 760. b ＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝137 760－5×2 0125×3395819 794－5×（2 0125）2≈0.132，a ＝y －－bx －≈3395－0.132×2 0125≈14.683.所以线性回归方程为y ＝0.132x ＋14.683. (3)当x ＝450时，y ≈74，即当一个学生的总成绩为450分时，他的数学成绩约为74分．回归方程的应用体现在以下几个方面：(1)描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程可定量地描述两个变量间的依赖关系． (2)利用回归方程可以进行预测，把预报因子(相当于随机变量x )代入回归方程对预报量(相当于因变量y )进行估计，即可得到个体y 值的允许区间．(3)利用回归方程进行统计控制，规定y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的目标．3x (单位：m 2)的数据：x 115 110 80 135 105 y 44.8 41.6 38.4 49.2 42(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解析：(1)散点图如图所示．(2)由散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，可求线性回归方程．由表中的数据，得x －＝109，y －＝43.2，∑5i ＝1x 2i ＝60 975，∑5i ＝1x i y i ＝23 852.则b ＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝23 852－5×109×43.260 975－5×1092＝3081 570≈0.196，a ＝y －－bx －≈43.2－0.196×109＝21.836. 故所求线性回归方程为y ＝0.196x ＋21.836.(3)根据上面求得的回归方程知，当房屋面积为150 m 2时，销售价格的估计值为0.196×150＋21.836＝51.236(万元)．利用线性回归方程对总体进行预测[典例] (本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ [规范解答] (1)散点图，如图所示．①………………………………………………………………………………………2分 (2)由题意，得∑ni ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑ni ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，………………………………………………………6分所以b ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，②………………………………………………………………………………………8分 a ＝y －－bx －＝3.5－0.7×4.5＝0.35，…………………………………………………9分 故线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35. ………………………………………………10分(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，………………………………………………………………………11分 故耗能约降低了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．③……………………………………………………………………………………12分[规范与警示]①处散点图的画法中，纵、横坐标的刻度选取要适当．②处计算量较大易出错，失分点．③处由回归方程计算的该值只是一个预测值，是实际问题的一个估计值，因此最后应进行回答．用线性回归方程预测的一般步骤为：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求a、b并写出线性回归方程；(3)根据线性回归方程对总体进行预测．[随堂训练]对应学生用书第18页1．根据如下样本数据x 345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：画出散点图，知a>0，b<0.答案：B2．下图各选项中的两个变量具有相关关系的是()解析：选项A、C中变量x与变量y之间是确定的函数关系，选项D中，点不在某条直线附近波动，因此两变量非线性相关，而点也不在某条曲线附近波动，故两变量不具有相关关系．选项B中所有点都在某条直线附近波动，故选B.答案：B3．已知高三学生高考成绩y(单位：分)与高三期间有效复习时间x(单位：天)正相关，且回归直线方程是y＝3x＋50.若期望甲同学高考成绩不低于500分，那么他的有效复习时间应不低于________天．解析：由3x＋50≥500，得x≥150.答案：1504．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70(1)画出散点图；(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求线性回归方程，并说明b 的意义． 解析：(1)散点图如图所示．(2)由散点图知x 与y 具有线性相关关系．x －＝5，y －＝50，∑5i ＝1x i y i ＝1 380，∑5i ＝1x 2i ＝145， 所以b ＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ＝y －－bx －＝50－6.5×5＝17.5. 所求线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5.b 表示广告费每增加100万元，销售额平均增加650万元．。
1.7相关性教案(北师大版必修3)
§7 相关性●三维目标1．知识与技能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系．2．过程与方法明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．3．情感、态度与价值观通过对事物之间相关关系的了解，让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想．●重点难点重点：①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；②利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；难点：①变量之间相关关系的理解；②作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．本节课要继续探讨的是变量之间的相关关系，它为接下来要学习的两个变量的线性相关打下基础．这是一个与现实实际生活联系很紧密的知识，在教师的引导下，可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系，从而体会研究变量之间的相关关系的重要性．(教师用书独具)●教学建议结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，采用“问答探究”式的教学方法，做到层层深入．充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体．在手段上，要尽量通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．●教学流程创设问题情境，引导学生关注生活中两个变量之间还存在相关关系?引导学生根据样本数据利用电子表格作出散点图，数形结合感知变量之间的相关关系?通过例1及变式训练，使学生掌握变量之间相关关系的判断?通过例2及变式训练，使学生掌握散点图的制作及应用?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈课标解读1.理解两个变量的关系，明确函数关系和相关关系的异同点(难点)．2．会作散点图，并根据散点图判断变量间是否为线性相关(重点).。
高中数学必修3北师大版1.7相关性教案
第一章 统计 7 相关性一 相关性1．变量之间的关系（1）现实生活中，有些量与量之间存在着明确的函数关系，例如： 正方形的边长a 和面积S ，有着2a S =的关系；真空中的自由落体运动其下落的距离h 和下落的时间t 有着221gt h =的关系； 一辆行驶在公路上的汽车，每个时刻t 都有一个确定的速度v ，它们之间也是函数关系，尽管我们无法知道这个函数的解析表达式式，也画不出它的图像。
（2）现实生活中，有些量与量之间不满足函数关系，但从总的变化趋势来看变量之间存在着某种关系即有相关关系，例如：人的身高与体重。
一般说来，人的身高超高，体重越重，二者确实有关系。
但是身高相同的人，体重却不一定相同，也就是说，给定身高h 不可能有唯一的体重m 与之对应。
像这样例子还有很多，如人的年龄与血压、农作物的施肥量与产量、商品销售收入与广告支出经费等。
2．散点图散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形。
特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。
优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系。
散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度。
3．散点图与两个变量的相关性两个变量之间除了函数关系之外，还有相关关系，但这种关系又不能用函数关系精确表达出来。
为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。
图1—7—1从上散点图可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致均势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样挖的过程称为曲线拟合。
若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的。
此时我们可以用一条直线来近似，如图1—7—1（a）。
高中数学 第一章 统计 1.7 相关性教案 北师大版必修3
§7相关性整体设计教学分析变量之间的关系是人们感兴趣的问题．教科书通过身高与体重的关系，引导学生考察变量之间的关系，在教师的引导下，可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系，从而体会研究变量之间的相关关系的重要性．三维目标1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系．2．明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．重点难点教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系．这种说法有没有根据呢？物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对．).物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法．数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的，但决非唯一因素，还有其他因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等．(总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少．但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系．如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义．)为很好地说明上述问题，我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关．(教师板书课题)思路 2.某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子．你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？教师点出课题．推进新课新知探究提出问题1．粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高．教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？2．两个变量间的相关关系是什么？有几种？3．如何判断两个变量间的相关关系？讨论结果：1．粮食产量与施肥量有关系，一般是在标准范围内，施肥越多，粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的；能举出，如水滴石穿，三人行必有我师等．我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题．例如：商品销售收入与广告支出经费之间的关系．商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民收入等因素有关．粮食产量与施肥量之间的关系．在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高．但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素．因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响．人体内的脂肪含量与年龄之间的关系．在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关．应当说，对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系，我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断，因为“经验当中有规律”．但是，不管你的经验多么丰富，如果只凭经验办事，还是很容易出错的．因此，在分析两个变量之间的相关关系时，我们需要一些有说服力的方法．在寻找变量之间相关关系的过程中，统计同样发挥着非常重要的作用．因为上面提到的这种关系，并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查，有时通过实验)，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，才能对它们之间的关系作出判断．2．相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫作相关关系．两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系，例如“身高者，体重也重”，我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系．相关关系是一种非确定性关系．如商品销售收入与广告支出经费之间的关系．(商品销售收入还与商品质量、居民收入、生活环境等有关)3．两个变量间的相关关系的判断：①作出散点图．②根据散点图中变量的对应点的离散程度，可以准确地判断两个变量是否具有相关关系．例如：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：散点图来进一步分析．散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图，如图1.图1通过散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高．图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表中得出的结论．如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关．如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关．(注：散点图的点如果几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系)应用示例思路1例1 下列关系中，带有相关关系的是________(填序号)．①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系分析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．因此填②④.答案：②④例 2 有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟是否一定会引起健康问题？有些人说：“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”，这种说法对吗？解：从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果．我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发健康问题的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题，但吸烟引起健康问题的可能性较大．因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”这种说法是不对的．点评：在探究问题的过程中，如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么．本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释，从中发现进一步研究的问题．思路2例 1 有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害．下表给出了不同类型的某种食品的数据．第二列表示此种食品所含热量的百分比，第三列数据表示由一些美食家(1)(2)关于两个变量之间的关系，你能得出什么结论？解：(1)作出的散点图如图2.图2(2)这两个变量之间基本成正相关关系，即食品所含热量越高，口味越好．例2 一般说来，一个人的身高越高，他的手就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系．为了对这个问题进行调查，我们收集似关系吗？(2)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系．(3)如果一个学生的身高是188 cm，你能估计他的右手一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据，制成的散点图如图3.图3从散点图上可以发现，身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线，也就是说，它们之间是线性相关的．那么，怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点，例如(153,16)，(191,23)两点确定一条直线．同学2：在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同．同学3：多取几组点对，确定几条直线方程．再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距．同学4：从左端点开始，取两条直线，如图4.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线．图4同学5：先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如图5，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多．图5同学6：先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm以下的，一部分是身高在170 cm以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均数作为平均身高，右手一拃长的平均数作为平均右手一拃长，即(164,19)，(177,21)；最后，将这两点连接成一条直线．同学7：先将所有的点按横坐标从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”，最小的点为(161.3,18.2)，中间的点为(170.5，20.1)，最大的点为(179.2,21.3)．如图 6.求出这三个点的“平均点”为(170.3,19.9)．再用直尺连接最大点与最小点，然后平行地推，画出过点(170.3,19.9)的直线．图6同学8：取一条直线，使得在它附近的点比较多．在这里需要强调的是，身高和右手一拃长之间没有函数关系．我们得到的直线方程，只是对其变化趋势的一个近似描述．对一个给定身高的人，人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长，这是十分有意义的．知能训练一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，(2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？答案：(1)画出的散点图如图7.图7(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．拓展提升(2)指出是正相关还是负相关；(3)关于销售价格y和房屋的面积x，你能得出什么结论？解：(1)数据对应的散点图如图8所示．图8(2)因为散点图中的点分布在从左下角到右上角的区域内，所以是正相关．(3)关于销售价格y和房屋的面积x，房屋的面积越大，价格越高，它们呈正线性相关关系．课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．作业习题1—7 1,2.设计感想本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容，通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系，并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类，为下一节课作了铺垫，思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强，另外，本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例，对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心，促使学生养成良好的学习态度和学习方法．备课资料数学家关肇直关肇直(1919.2.13—1982.11.12)，中国科学院院士，中国数学家，生于北京．原籍广东省南海县．父亲关葆麟早年留学德国，回国后任铁道工程师多年，于1932年去世；母亲陆绍馨，是北平女子师范大学的毕业生，曾从教于北京师范大学．关葆麟去世后，母亲以微薄的收入艰难地抚育关肇直及其弟妹多人．全国解放后，关肇直尽心亲侍慈母，直至其母亲1967年去世．关肇直于1959年1月与刘翠娥结婚，他们有两个女儿．刘翠娥系中国科学院工程物理研究所研究人员．关肇直于1927年进入北京培华中学附属小学学习.1931年进入英国人办的崇德中学学习．学校对英文要求十分严格，加上关肇直自小就由父母习以英文、德文，为日后掌握英文、德文、法文、西班牙文和俄文奠定了良好基础.1936年高中毕业后考入清华大学土木工程系，后于1938年转入燕京大学数学系学习．毕业后在燕京大学(后迁成都)任教．参加成都教授联谊会，担任学生进步组织的导师，积极支持抗日救国学生运动.1946年春，从成都返回北平(北京)，不久从燕京大学转到北京大学数学系任教.1947年通过考试成为国民政府派遣的中法交换生赴法国留学．名义上去瑞士学哲学，实际上去了巴黎大学庞加莱研究所研究数学，导师是著名数学家、一般拓朴与泛函分析的创始人弗雷歇(M.R.Frechetl)，1948年参加革命团体“中国科学工作者协会”，是该会旅法分会的创办人之一.1949年10月，新中国诞生，他毅然决定放弃获得博士学位的机会．于12月回到祖国，满腔热情地参加了新中国的建设．他立即参加了组建中国科学院的工作．他和其他同志一起，协助郭沫若院长筹划建院事宜，确定科学院的方向、任务、体制等，组建科学院图书馆，担任图书管理处处长，编译局处长.1952年参加筹建中国科学院数学研究所的工作，并在数学研究所从事数学研究，历任副研究员、研究员、研究室主任、副所长、学术委员会副主任．他还是中国科学院声学研究所学术委员会委员及原子能研究所学术委员会委员．从1952年起，兼任北京师范大学、北京大学、中国人民大学和中国科技大学等校教授以及华南工学院名誉教授；并兼任过中国科学院成都分院学术顾问、该院数理科学研究室主任、中国科学院武汉数学物理研究所顾问、研究员．他还是国家科委数学学科组副组长、自动化学科组成员；曾担任北京数学会理事长，中国数学会秘书长，国际自动控制联合会理论委员会成员及《中国科学》《科学通报》《数学学报》和《系统科学与数学》等杂志的编委或主编等职.1980年，他与其他科学家一起创建中国科学院系统科学研究所，担任研究所所长．他还担任中国自动化学会副理事长、中国系统工程学会理事长.1980年当选为中国科学院数理学部委员．关肇直长期从事泛函分析、数学物理、现代控制理论等领域的研究，成绩卓著，为我国的社会主义现代化建设作出了重大贡献，1978年获全国科学大会奖，1980年获国防科委、国工办科研奖十几项，1982年获国家自然科学二等奖；关肇直参与主持的项目“‘尖兵一号’返回型卫星和‘东方红一号’”获1985年国家科技进步特等奖，他本人获“科技进步”奖章．(设计者：安天林)。
高中数学 第一章 统计 1.7 相关性教案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教案
1.7相关性本节教材分析一、三维目标1、知识与技能(1) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系．(2) 明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系．(3) 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．2、过程与方法引出问题——提出问题互助讨论——得出结果．二、教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．三、教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．四、教学建议《相关性》的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系，主要研究线性相关关系．主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等．研究方法为先绘制散点图，直观表示观测数据，定性描述变量间相关关系的类型、方向、相关程度．然后应用最小二乘法确定变量间相关关系的具体表达形式，描述变量间的数量规律，并由一个变量的取值去推测另一个变量的取值．这部分内容涉及到一些重要的统计思想和方法，对学生的学习和教师的教学都有一定的难度．本文就研究对象、核心概念、研究方法、统计思想及相关应用进行简单的解读，提出一些教学建议，希望对教学能提供一些帮助．相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系．对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同．因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系．因此，不能把相关关系等同于函数关系．其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系．然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄．当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大．其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用．变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断．新课导入设计导入一在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系．这种说法有没有根据呢?请同学们如实填写下表(在空格中打“√” ):某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子．你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？通过本节的学习，我们就可以对这种说法做出自己的判断．教学过程：案例分析:一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。
2019_2020学年高中数学第一章统计1.7相关性学案北师大版必修3
1.7 相关性[航向标·学习目标]1．通过收集现实问题中两个相关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的相关关系．2．根据散点图对线性相关关系进行直线拟合，从而对总体进行估计．3．体会变量间的相关关系，激发学生的探索欲望与学生的学习积极性．[读教材·自主学习]1．函数关系：变量之间的函数关系是一种□01确定的关系，当自变量x的值确定之后，都有□02唯一的y值与之对应，这种关系是一种理想的关系模型．03确定性，它们的关2．相关关系：变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的□04随机性的．系是带有□3．散点图：在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通05点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图．通常称这种图为变量之常将变量所对应的□间的散点图．06某种关系，这些点会有一个4．曲线拟合：从散点图上可以看出，如果变量之间存在着□07曲线来近似，这样近似的过程称为曲线集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的□拟合．5．线性相关：若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条□08直线附近波动，称变量间是线性相关的．6．非线性相关：若所有点看上去都在某条□09曲线(不是一条直线)附近波动，则称变量间是非线性相关的．7．不相关：如果所有的点在散点图中没有显示□10任何关系，则称变量间是不相关的．[看名师·疑难剖析]1．相关关系和函数关系的异同点(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t与路程s的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他的阅读能力会提高，而且由于长大，脚也变大．2．两个随机变量x和y之间相关关系的确定方法(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．3．相关关系的分析方向由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用，我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断．考点一相关性的判断例1 下列关系中，是相关关系的有________．①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系[分析] 依据相关关系的定义判断．[解析] ①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；③人的身高与年龄之间的关系是相关关系；④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②③④.[答案] ②③④类题通法相关关系与函数关系的区别在于是否具有确定性.在区分二者时，如果一个变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量就是函数关系，不是相关关系；如果一个变量每取一个值，另一个变量的取值带有一定的随机性，可能有两个值与之对应，并且从总体上来看有关系，但是不是确定性关系，那么这两个变量之间就是相关关系，不是函数关系.确定相关关系时有时要依靠生活经验来判断.[变式训练1]下列两个变量中具有相关关系的是( )A．正方体的体积与边长B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力答案 C解析函数关系是一种确定的关系，而相关关系则是一种不确定的关系．选项A、B为函数关系，C是相关关系，D则无任何关系.考点二利用散点图进行相关关系的判断例2 下列图形中具有线性相关关系的两个变量是( )[解析] A和B符合函数关系，即对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应；从C、D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有线性相关关系，且为负相关关系．[答案] D类题通法此题是一数形结合题，应首先通过图形区别是否具有相关关系，然后再确定是否属于线性相关关系.如果概念不清，容易错选A.[变式训练2]对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图甲；对变量u、v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图乙．由这两个散点图可以判断( )。
高中数学 第一章 统计 1.7 相关性学案(含解析)北师大版必修3-北师大版高一必修3数学学案
§7相关性知识点一变量间的相关关系[填一填]变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，称这两个变量具有相关关系．[答一答]1．相关关系与函数关系(确定性关系)的异同点是什么？提示：①相同点：两者均是两个变量之间的关系．②不同点：函数关系是一种确定性关系．而相关关系是一种非确定性关系；函数关系是自变量与函数值之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量或随机变量与随机变量之间的关系；函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力之间有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他的阅读能力会提高，而且由于长大，脚也会变大．知识点二两个变量的线性相关[填一填]两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．[答一答]2．怎样正确理解散点图？提示：散点图形象地反映了各对数据的密集程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论．(1)如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图①.(2)如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图②.相关关系与函数关系(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．类型一相关关系与函数关系的区别与联系【例1】有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点关于原点的对称点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________．【思路探究】分清函数关系与相关关系的关键是函数关系是一种确定关系，对于一个变量的一个确定的值，另一个变量有唯一确定的值与它对应．【解析】利用相关关系的概念进行判断，②中两变量的关系是一种确定性关系．【答案】③④规律方法相关关系与函数关系的区别在于是否具有确定性．在区分二者时，如果一个变量每取一个值，另一个变量总有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量就是函数关系，不是相关关系；如果一个变量每取一个值，另一个变量的取值带有一定的随机性，并且从总体上来看有关系，但不是确定性关系，那么这两个变量之间就是相关关系，不是函数关系．确定相关关系时有时要依靠生活经验大致确定．(1)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(C)A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关(2)某公司2013～2018年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统计资料如下表所示：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出y0.620.740.810.8911.11A ．利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C ．利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D ．利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系解析：(1)由图像知，变量x 与y 呈负相关关系；u 与v 呈正相关关系．故选C.(2)由表知，利润中位数是12(16＋18)＝17，且y 随x 的增大而增大，故选C.类型二 散点图的画法及应用【例2】 两对变量A 和B 、C 和D 的取值分别对应表1和表2，画出散点图，判断它们是否有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．表1A 26 18 13 10 4 －1 B20243438 5064C 05101520253035D 541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.42 1 034.75【思路探究】画出散点图→观察各点的分布→判断是否具有相关关系【解】散点图分别如图(1)，(2)．从图中可以看出两图中的点都分布在一条直线附近，因此两图中的变量都具有相关关系．图(1)中A的值由大变小时，B的值却是由小变大，即A与B具有负相关关系；图(2)中C的值由小变大时，D的值也是由小变大，即C与D具有正相关关系．规律方法在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以作出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系．(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．已知5名学生的数学和物理成绩如下表：画出散点图，并判断他们的数学和物理成绩是否具有相关关系．解：以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图(如图)．由散点图可知，两者之间具有相关关系．——思想方法——三种判断相关关系的方法【例3】下面是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重表：编号123456789身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163体重/kg524445555447625053【思路点拨】判断相关关系有三种方法：一是靠经验，二是依据两变量取值，三是画出散点图．【解】方法一：根据经验可知，人的身高和体重之间存在相关关系．方法二：观察表格数据可知，人的体重随着身高的增高而增加，因此人的身高和体重之间存在相关关系．方法三：以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图如图所示．我们会发现，随着身高的增长，体重基本上呈增加的趋势．所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关．【点评】散点图在分析两个变量之间的相关关系时，具有较强的说服力．在如图的各图中，其中两个变量具有相关关系的是(D)A．①②B．①③C．②④D．②③解析：根据散点图与相关关系的概念进行选择．根据图像可知①是函数关系；④中的点分布分散，不具有相关关系；②③中的点分布较好，具有相关关系．一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是(D)A．正方体的棱长和体积B．单位圆中角的度数和所对弧长C．单产为常数时，土地面积和总产量D．日照时间与水稻的亩产量解析：函数关系是一个变量与另一个变量之间有确定性的关系，选项A、B、C均为函数关系，日照时间与水稻的产量带有一定的随机性，故选项D正确．2．下列变量之间的关系是函数关系的是(B)A．光照时间与大棚内蔬菜的产量B．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是常数，b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4acC．每亩施肥量与粮食亩产量之间的关系D．人的身高与所穿鞋子的号码之间的关系解析：应用变量相关关系的定义加以判断．A项，光照时间与大棚内蔬菜的产量是相关关系．B项，判别式Δ＝b2－4ac与b是函数关系．C项，每亩施肥量与粮食亩产量是相关关系．D项，人的身高与所穿鞋子的号码是相关关系，故选B.3．2017年夏季，我国部分地区发生了手足口病疫情，党和政府采取果断措施，使疫情得到控制．下表是某同学记录的某地方在4.1～4.8日的发病人数，并给出了散点图(如下图).日期 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8人数49151928313438可以判断日期与发病人数具有一次函数关系．其中正确的是(A)A．①B．②C．①②D．都不正确解析：由散点图我们可以看到，各点位于某条直线附近，但不同在一条直线上，因此可以判断日期与发病人数具有线性相关关系，而不是一次函数关系．二、填空题4．下列变量之间的关系是相关关系的是②④.①球的体积与其半径的关系；②动物大脑容量的百分比与智力水平的关系；③人的年龄与体重之间的关系；④降雨量与农作物产量之间的关系．解析：根据两个变量间关系的类型可知正确答案为②④.5．有下列关系：①炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③柑橘的产量与气温之间的关系；其中具有相关关系的是①③.解析：①炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程，除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等其他因素的影响，具有相关关系．②曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的，即是一种确定性关系，不具有相关关系．③柑橘的产量除了受气温影响以外，还受施肥量以及水分等因素的影响，具有相关关系．三、解答题6．下图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系．解：观察图像易知散点图散乱地分布在坐标平面内，不能拟合成某条曲线或直线，所以这两个变量不具有相关关系．。
2022_2022学年高中数学第1章统计1_7相关性课件北师大版必修3202222290677
下列关系中，具有相关关系的是________． ①正方形的边长与面积之间的关系 ②水稻产量与施肥量之间的关系 ③人的身高与年龄之间的关系 ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系
第十五页，编辑于星期六：点 二十九分。
解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系． ②水稻产量与施肥量之间不是严格的函数关系，但是具有相 关性，因而是相关关系． ③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关 关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因 而他们不具有相关关系．
第六页，编辑于星期六：点 二十九分。
2．变量之间的相关关系 从散点图上看，如果两个变量之间存在着某种关系，这些点
会有一个集中的大趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的 曲线
来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．若两个变量 x 和 y 的散
点图中，所有点看上去都在 一条直线 附近波动，则称这两个 变量是线性相关的，而若所有点看上去都在某条 曲线 (不是一条
第十六页，编辑于星期六：点 二十九分。
④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 故答案为：②④ 答案：②④
第十七页，编辑于星期六：点 二十九分。
要点二 利用散点图判断变量之间是否具有相关关系 散点图就是把两个变量的值一个作为横坐标，另一个作为纵
坐标在平面直角坐标系中作出的点的集合．散点图能直观地反映 两变量的变化关系．
直线)附近波动，则称此相关为非线性相关．如果所有点在散点
图中没有显示 任何关系 ，则称变量间是不相关的.
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要点导学
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要点一 相关关系与函数关系的判断 相关关系与函数关系的异同 (1)相同点：两者均是指两个变量的关系． (2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动
高中数学北师大版必修三《第一章统计7相关性》课件
探究3、判断下面的数据组是否有相关关系？
年平均气温 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降雨量 748 542 507 813 574 701 432
鸟种类 26
30
37
11
11
13
17
13
海拔高 1250 1158 1067 457 701 731 610 670
（2）若施化肥量为50，请预测水稻的产量。
水稻产量 600
500
400
300
200
100
0 0
施化肥量
10
20
30
40
50
作业：P59 习题 2
脂肪
35
30
25
20
151050 Nhomakorabea体重
0
10 20
30
40 50 60
北师大版 高中数学
谢谢大家
关于这两个变量间的关系，能得到什么结论？
口味记录
100
80
60
40
20
0 0
热量百分比
10
20
30
40
例2、下面是水稻产量与施化肥量的一组数据：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
（1）水稻产量与施化肥量是线性相关吗？
1、注意与函数关系的区分 2、回归分析
二、散点图
将样本中的所有数据点（xi , yi )，描在 平面直角坐标系中，以表示具有相关关系 的两个变量的一组数据的图形
例1、为了了解人的身高与体重的关系，随机 地抽取9名15岁的男生，测得如下数据：
高中数学 第一章 统计 相关性学案 北师大版必修3
相关性-备课资料学习导航学习提示1.能根据数据，利用计算机制出反映两个变量间关系的散点图.2.能根据散点图判断变量间是否为线性相关.3.若两个变量为线性相关，告诉一个变量的值，能估计出其对应另一变量的值. 本节重点是能根据散点图，判断两个变量是否为线性相关；难点是根据一个变量的值估计出另一个变量的值.教材习题探讨方法点拨练习（第59页）解：（1）散点图如图1－7－13.70605040302010杯数气温/o C-100102030图1－7－13（2）从散点图1－7－13中可以看出气温越低，销售热茶的杯数越多，近似地成一条直线，成线性相关.（3）画一条直线近似地表示这种线性关系（如图1－8－13）. （4）如果某天的气温为－5℃，则这天的热茶卖出的杯数大约为67杯.习题1—71.解：（1）第一步，先抽取样本.为使抽取的样本具有广泛的代表性，我们可采取分层抽样，按身高分层.第二步，对样本中的每个个体进行测量，把测得的数据填入下表. 身高右手一拃长身高右手一拃长第三步，根据得到的数据画出散点图. 利用计算机电子表格软件作散点图，由散点图推断它们之间是否线性相关.本解答只提供步骤方法，具体由学生根据学过的方法知识、实际数据完成答案，然后互相交流比较.第四步，根据散点图，写出分析报告.（2）利用前面抽取的样本，测量每个个体的左、右手的一拃长，填入下表.左手一拃长右手一拃长身高右手一拃长其余同（1）.2.解：（1）散点图如图1－7－14.120 100 80 60 40 20 0体重/k g身高/c m170 180 190 200图1－7－14（2）从散点图1－7－14中可以看出，总体上体重随身高增大而增大，近似地成一条直线，成线性相关.（3）所画直线如图1－7－14.（4）身高为172 cm的运动员，他的体重大约为61 kg.3.解：（1）散点图如图1－7－15.700 600 500 400 300 200 1000最大可识别距离/英尺0 50 100 年龄/岁图1－7－15我们从散点图1－7－15中可以发现，年龄与最大可识别距离总体趋势成一条直线，它们之间是线性相关的.（2）所画直线如图1－7－15.（3）如果一个美国司机年龄是50岁，估计他最大可识别距离为440英尺左右. 我们用计算机电子表格软件作散点图，由散点图推断身高与体重之间成线性相关，画出近似直线.由直线再估算身高为172 cm的体重.同学们一定要熟练应用计算机电子表格软件作散点图.（4）一般情况，年龄越大，可识别最大距离越小.老年司机开车时车速应比年青人要小一些. 4.解：肝功能原始值年龄7654321050100图1－7－16图1－7－16为年龄与肝功能原始值的散点图，由散点图可以看出年龄与肝功能原始值之间成线性相关.同样，年龄与肝功能对数变换值之间也成线性相关.生存天数原始值10008006004002000年龄50100图1－7－17图1－7－17是年龄与生存天数原始值的散点图.由散点图可以看出年龄与生存天数原始值之间成线性相关.同样年龄与生存天数对数变换值之间也成线性相关.246810008006004002000-200生存天数原始值肝功能原始值图1－7－18图1－7－18为肝功能原始值与生存天数原始值之间的散点图.由散点图可以看出它们之间成线性相关.同样，肝功能对数变换值与生存天数对数变换值之间也成线性相关.本题散点较多，如果用手工描图工作量非常大，故熟练应用现代计算机信息技术，利用计算机电子表格软件作散点图效率很高且比较准确.互动学习知识链接1.在现实生活中，请你举出几个两个量之间存在明确函数关系的例子.2.请在现实生活中举出两个变量不满足函数关系，但二者确实有关系的例子.解：1.圆的半径r和面积S，有着S=πr2的关系.工作效率a 和工作量W，有着W=at的关系.物体的质量m和体积V，满足m=ρV的关系.2.（1）商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民收入等因素有关. （2）粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高.但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.（3）人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等因素有关，可能还与个人的先天体质有关. 在现实生活中，有些量之间存在着函数关系，还有很多量之间不满足函数关系，但二者之间确实有关系，这种关系正是本节所要研究的问题.知识总结两个变量间的关系有两种:一种是函数关系;另一种是相关关系.理解两种关系的定义及两者之间的联系.另外散点图非常重要,要会画散点图,并会根据散点图判断两个变量间是何种关系.。
高中数学 1.7 相关性导学案 北师大版必修3
时间
第 周 星期 第 节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1.了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用；
能根据散点图判断变量间是否为线性相关.
2.若两个变量为线性相关，告诉一个变量的值，能估计出与其对应另一变量的值.
重点难点
重点：变量之间相关关系的理解，利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；
③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
小结：
达标训练
1.在现实生活中，请你举出几个两个量之间存在明确函数关系的例子.
2.请在现实生活中举出两个变量不满足函数关系，但二者确实有关系的例子.
3.课本练习
作业
布置
习题1-7点：作散点图及理解两个变量的正相关和负相关.
学习
过程
与方
法
自主学习
1．变量之间的散点图指：
2．两个变量之间的相关关系是什么? 有几种？
新知探究：
1.正相关与负相关的概念是？
2.两个变量之间的相关关系的判断方法是什么？
精讲互动
课本例1
小结：
1.下列关系中，带有相关关系的是 ( )
1正方形的边长与面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系；
北师大版数学高一-教学案 1.7相关性
1.7相关性1教学目标1.能根据数据,利用计算制出反映两个变量间关系的散点图.2.能根据散点图判断变量间是否为线性相关.3.若两个变量为线性相关,告诉一个变量的值,能估计出其对应另一变量的值.2学情分析1.学生在现实生活中已经感受到变量之间的关系,具备了学习这部分知识所需的条件;2.班级学生人数多,分组后组数较多,人数5至7为宜;3.因学生基础不同,作散点图难度不一。
3重点难点重点:能根据散点图,判断两个变量是否为线性相关;难点:根据一个变量的值估计出另一个变量的值.4教学过程4.1 第一学时4.1.1教学活动活动1【导入】思考：在学校里,老师经常对学生说”如果你的数学成绩好,那么你的物理成绩就没有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一定的相关关系.这种说法有根据吗?活动2【导入】学习新知变量之间的关系:1.相关关系—是指变量之间存在着不严格的数量依存关系,即当一个或几个相互联系的变量取一定数值时,与之相对应的另一个变量的取值是随机的,但它一般按某种规律在一定范围内变化,是一种非确定性关系。
2.函数关系—是指变量之间存在着严格的数量依存关系,即当一个或几个变量取一定的值时,另一个变量有唯一确定值。
活动3【活动】自我检测探究下面变量间的关系:1.球的体积与该球的半径;2.粮食的产量与施肥量;3.小麦的亩产量与光照;4.匀速行驶车辆的行驶距离与时间;5.角α与它的正切值小组讨论:变量间关系的判断的关键点是什么?或者它们的区别是什么?活动4【讲授】实例探究身高与体重的关系活动5【活动】动手实践收集小组内每个成员上学期期末考试的数学、物理成绩,绘制散点图,并判断两者的关系’活动6【活动】小组展示小组代表展示活动7【作业】总结并布置课后思考题老师结合各组展示总结:1.从散点图上判断这两者之间是否相关?是否线性相关?可靠吗?2.如果相关,能否由一个变量的值估计另一变量的值?。
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1.7 相关性
1.知识与技能:
(1)了解函数关系与相关关系的不同.
(2)会做出散点图,并能利用散点图直观认识变量间的相关关系.
2.过程与方法:
通过动手操作培养学生观察,分析,比较和归纳能力,通过自主探究体会数形结合的思想. 3.情感,态度与价值观:
通过利用散点图直观认识变量间的相关关系,并能用普遍联系的观点思考思考和解决生活中的数学现象,进一步增强创新意识,提高创新能力
教学重点:
相关关系的概念,画出给定变量间的散点图
教学难点:
寻求两个变量间线性相关关系的直线方程.
教学过程
(一),创设情境,导入新课
[师]请同学们阅读“相关”的由来(多媒体展示)
英国人类学家盖尔顿首次在《自然遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概念，为相关论奠定了基础。
其后，他和英国统计学家皮尔逊对上千个家庭的身高、臂长、一拃长做了测量。
为研究父亲与成年儿子身高之间的关系，皮尔逊测量了1078对父子的身高。
他把1078对数字表示在坐标上，形成了下面的图形（X轴上的数代表父亲身高，Y轴上的数代表儿子的身高）：(图见幻灯片)
儿子身高（Y，单位：英寸）与父亲身高（X，单位：英寸）存在线性关系Y=33.73+0.516X，
这种关系被称为“相关关系”，这就是相关的由来
(二)新课探究
[师]请同学们阅读以下问题:
问题1：正方形的面积y与边长x之间具有什么样的关系？
问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确定性的关系？
问题3：人的身高与体重之间有确定性的关系吗？
[生]答略
[师]某某同学回答正确.问题1中两变量具有确定性关系,问题2中及问题3中的两变量具有关系,但不是确定性关系.
[师]抽象概括
1.散点图:再考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图
2曲线拟合：从散点图上可以看出，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程成为曲线拟合。
3线性相关:若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的。
非线性相关:若所有点看上去都在某条曲线（不是一条直线）附近波动，则称此相关为非线性相关的。
此时，可用一条曲线来拟合。
不相关:如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关
[师]请同学们思考下面的问题
探究1、下列变量中具有相关关系的是（）
A、正方形的面积与边长
B、匀速行驶的车辆的行驶距离与时间
C、人的身高与体重
D、人的身高与视力
探究2、根据下面的数据判断它们是否有相关关系(幻灯片给出表格)
[生]略
[师]请同学们再思考以下问题：
生活中还有那些量之间具有相关关系呢?
(三）例题分析
例题：一般说来，一个人的身材越高，他的手就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。
为了对这个问题进行调查，我们下面收集咱们班50名同学的身高与右手一拃长的数据。
（表格见多媒体）
活动一：请同学们开始测量自己的右手一拃长。
活动二：请各组组长收集本组同学的有关数据，并填入上表。
（填入多媒体表格中）
活动三：请同学们根据表中的数据，制成散点图（以小组为单位进行散点图的绘制），同时请学生在黑板上绘制。
（师）问题：
1.你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近拟关系吗？
2.如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。
请与同学交流。
3.如果一个学生的身高是188cm.你能估计他的右手一拃长大概有多长吗？
(生)答略
议一议:
1.不同的求拟合曲线的方法各有什么样的优点与缺点？你对同学不同的求解方法有什么样的理解与认识？
2.你能改进他们的求解方法吗？
做一做:
某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温(x)的数据如表：(见多媒体) （1）根据表中提供的数据画出散点图。
（2）你能从散点图中看出，气温与卖出的热茶杯数近似成什么关系吗？（3）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似表示这种线性关系。
（4）如果某天气温是-5，请预测大约能卖出热茶多少杯？
(四)小结与反思:
通过本节课的学习,同学们有哪些收获呢?。