广东省九年级中考高分突破数学课件第47讲 解答题难题突破三二次函数核心母题

4
y=x+b①
(3)
,
y=x2+2x②
把①式代入②整理得: x2+x-b=0.
∴Δ=1+4b=0,∴b=-1.
4
∴当直线
y=x+b
与图象
C3
有两个交点时,b
的取值范围为-9
4
<b<-
1.
4
第十二章 解答题难题突破
第47讲 解答题难题突破三 第2课时 二次函数核心母题 类型二:二次函数与特殊三角形
第十二章 解答题难题突破
第47讲 解答题难题突破三 第2课时 二次函数核心母题 类型一:二次函数与方程、不等式
强化训练
1.已知抛物线C1:y=x2-2x的图象如图所示,把C1的图象沿y轴翻 折,得到抛物线C2的图象,抛物线C1与抛物线C2的图象合称图 象C3.
(1)求抛物线C1的顶点A的坐标,并画出抛物线C2的图象; (2)若直线y=kx+b与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)有且只有一个交
22
2
3
得交点 Q 的坐标为 1 , 15 .
24
∴满足题意的 Q 点另有两个: - 3 ,- 9 , 1 , 15 .
2 4 24
第十二章 解答题难题突破
第47讲 解答题难题突破三 第2课时 二次函数核心母题 类型三:二次函数与相似、全等
数学
目录
01 广东中考 02 强化训练
广东中考
1.(2020 广东,25,10 分)如图,抛物线 y=3+ 3x2+bx+c 与 x 轴交于 A,B 两
解:(1)B(-2,-2 3).
(2)y=- 3 x2+ 2 3x.
6
3
(3)存在.易得抛物线的对称轴是直线 x=2,
直线 x=2 与 x 轴的交点为 D,设点 P 的坐标为(2,y).
①若 OB=OP,则 22+ y 2=42,解得 y=±2 3. 当 y=2 3时,在 Rt△POD 中,∠PDO=90°, sin∠POD=PD = 2 3 = 3,∴∠POD=60°,
顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D,E.
第47讲 解答题难题突破三 (2)求证:四边形BFCE是平行四边形;
答案图
(3)如图,连接 AB,∵∠AOB=120°,∴∠AOF=60°. 又∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABO=30°,∠ABx=150°=∠AOM, ∴点 C 在 B 点的右侧,设点 C(c,0).
答案图
(2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式;
(2)将抛物线配方: y= (x -2x+1)- = (x-1) - ,∴M 3 3 3 y类=型-x2八+a:二x+次b交函x数轴与于动A(点1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象2限内的一点,直线BP与y轴相交于点C. 2
3
3 (2)求抛物线的解析式;
解:(1)∵OA=OB=2,∠AOB=120°,如图,作 AF⊥x 轴,
∴∠AOF=60°,可得到点 A(-1, 3),B(2,0),
代入 y=ax2+bx(a>0)中,可以得到 a(-1)2+ -1 b= 22a+2b=0
3 ,解得
a= 3
3
b=- 2
,
3
3
所以 y= 3 x2- 2 3x.
33
2
24
如图 3,若∠BDQ 为 90°.延长 DQ 交 y 轴于 M,
可证明△DEM∽△DHB.即DE = EM .则 1 = EM.
DH HB 4 2
解得 EM=1 ,点 M 的坐标为 0, 7 .
2
2
∴DM 所在的直线解析式为 y= 1 x+ 7.
22
则 y=1 x+ 7 与 y=-x2+2x+3 的解为 x=1(舍),x= 1 ,
DH HB (1)求A,B两点的横坐标;
DH⊥x 轴于 H,可证 Rt△DHB∽Rt△BFQ.有 = , (2020贺州模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A,B,C三点.
BF FQ (3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得S△PAM=S△PAC?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
6
点,点 A,B 分别位于原点的左、右两侧,BO=3AO=3,过点 B 的直线与 y 轴正半轴和抛物线的交点分别为 C,D,BC= 3CD.
(1)求b,c的值; (2)求直线BD的函数解析式; (3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当 △ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐 标.
∴A的坐标为(1,0),B的坐标为(7,6),
∴二次函数的解析式为y=x2-2x或y=x2+2x.
第十二章 解答题难题突破
第47讲 解答题难题突破三
第十二章 解答题难题突破
(2)当点P是章 解答题难题突破
∴二次函数的解析式为y=x2-2x或y=x2+2x.
第2课时 二次函数核心母题
(1)求A,C两点的坐标;
第2课时 二次函数核心母题
(2017广东,23,9分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线
第十二章 解答题难题突破
类型五:二次函数与线段
(2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得△PAC的周长最小.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为E,则E的坐标为(3,0),
(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B;将抛物线C2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的
强化训练 1.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120° 至OB的位置. (1)求点B的坐标: (2)求经过点A,O,B的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P,O,B为顶 点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请 说明理由.
3,BC=c-2,AO=2,OM= 2
3,
BC OA
3
答案图
代入即有2 3
c-2
=
2 3
3
,解得
2
c=8,即
C2(8,0).综上,点
C
坐标为
C(4,0)或
C(8,0).
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,-1),并且与y轴交于 点C(0,3),与x轴交于A,B两点.
(1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC,AD,求 △ACD的面积; (3)点E是直线BC上一动点,过点E作y轴的平行线EF,与抛物线 交于点F.问是否存在点E,使得以D,E,F为顶点的三角形与 △BCO相似?若存在,求出E点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3). 则 y=a(x2 -2x-3)=a(x-1)2 -4a. 则点 D 的坐标为 D(1,-4a),点 C 的坐标为 C(0,-3a).
(2)过点 D 作 DE⊥y 轴于 E,如图 1,则有△DEC∽△COB . ∴DE = EC .∴ 1 = a .∴a2=1,a=±1(a=1 舍去).∴a=-1.
2
3,
解得 y=-2 3,∴点 P 的坐标是(2,-2 3).
综上所述,符合条件的点 P 只有一个,其坐标为(2,-2 3).
2.如图,经过x轴上A(-1,0),B(3,0)两点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 交y轴的正半轴于点C,设抛物线的顶点为D.
(1)用含a的代数式表示出点C,D的坐标; (2)若∠BCD=90°,请确定抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,能否在抛物线上找到另外的点Q,使△BDQ 为直角三角形?如果能,请求出Q点坐标;如果不能,请说明理由.
∵△AOM 相似于△ABC,分两种情况讨论:
①∠CAB=∠MAO,即△ABC∽△AOM,
AB AO
BC = OM ,AB=2
3,BC=c-2,AO=2,OM=
2 3
3,
代入即有2 3
c-2
=
23 23,都得
c=4,即
C1(4,0);
②∠CAB=∠AMO,即△ABC∽△MOA,
AB OM
= ,AB=2
3
(3)满足条件的点 Q 共有 4 个:
1- 2 3 ,0 或 -1+ 4 3 ,0 或 1-2 3,0 或 5-2 3,0 .
3
3
强化训练
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线 y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=2, ∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的解析式; (2)连接OM,求∠AOM的大小; (3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
∵BC= 3CD,BO=3,∴ 3= 3 ,∴OE= 3,
OE
∴点 D 的横坐标为- 3, ∴点 D 的坐标为(- 3, 3+1),
答案图
设直线 BD 的函数解析式为 y=kx+m,
由题意得
3+1=-
3k+m ,解得
k=-
3 3
,
0=3k+m
m= 3
∴直线 BD 的函数解析式为 y=- 3 x+ 3.
第47讲 解答题难题突破三
所以AE=EF=2,DE=CE=2.
(2)如图,当m=2时,该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C,D两点的坐标;
(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得S△PAM=S△PAC?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得S△PAM=S△PAC?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
CO OB -3a 3
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3.
(3)能.如图 ①当点B在x轴上方时, 2,若∠DBQ 为 90°,作 QF⊥x 轴于 F,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为E,则E的坐标为(3,0), 把点C(0,3)代入得-3a=3,∴a=-1,∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,
3
,
(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上. (3)存在,理由如下:
3
OQ 3
∴∠QOM=30°,∠AOM=120°+30°=150°. (2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式;
如图,经过x轴上A(-1,0),B(3,0)两点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)交y轴的正半轴于点C,设抛物线的顶点为D. 第47讲 解答题难题突破三
解:(1)∵BO=3AO=3,∴A(-1,0),B(3,0),
∴抛物线解析式为
y=3+ 3(x+1)(x-3)=3+ 3 x2- 3+ 3 x- 3+ 3 ,
6
6
3
2
∴b=- 3+ 3 ,c=- 3+ 3.
3
2
(2)如图,过点 D 作 DE⊥AB 于 E,∴CO∥DE,∴BC = BO,
CD OE
(3)结合图象回答,当直线y=x+b与图象C3有两个交点时,求b的取值范围.
33
3
1,- 3 .
3
类型三:二次函数与相似、全等
如图,过 M 作 MQ⊥x 轴,则 MQ= 又∵D的坐标为(3,2),C的坐标为(3,-2).
(1)求抛物线C1的顶点A的坐标,并画出抛物线C2的图象;
3 ,OQ=1,∴tan∠QOM= MQ =
OP 4 2
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°, 即 P,O,B 三点在同一条直线上,∴y=2 3 不符合题意,舍去.∴点 P 的坐标为(2,-2 3).
②若 OB=PB,
则 42+ y+2 3 2=42,解得 y=-2 3.∴点 P 的坐标是(2,-2 3).
③若 OP=BP,则 22+ y 2=42+ y+2
(1)求这条抛物线的解析式;
(3)存在,理由如下:
(3)①当0<t≤3时,如图2,设O2C2交OD于点M,
答案图
设点
Q
坐标为(k,-k2+2k+3),则 4
3-k
=
k2-22k-3.
化简得 2k2-3k-9=0,即(k-3)(2k+3)=0,
解得 k=3 或 k=-3.检验略.舍去 k=3.
2
由 k=-3 得 Q 点坐标为 Q - 3 ,- 9 .
∴D的坐标为(3,2),
y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.
(1)求A,C两点的坐标;
(1)用含a的代数式表示出点C,D的坐标;
所以AE=EF=2,DE=CE=2.
第47讲 解答题难题突破三
第47讲 解答题难题突破三
点时,称直线与抛物线相切.若直线y=x+b与抛物线C1相切,求b 的值; (3)结合图象回答,当直线y=x+b与图象C3有两个交点时,求b的 取值范围.
解:(1)顶点 A 的坐标(1,-1),图象如图.
y=x+b①
(2)
,
y=x2-2x②
把①式代入②整理得: x2-3x-b=0,
∴Δ=9+4b=0,∴b=-9.