圆的对称性(圆心角)

O ⌒ ⌒
AB = A′B′
度数相等的角是等角， 度数相等的角是等角，但度 数相等的弧不一定是等弧 除非在同圆或等圆中）。 （除非在同圆或等圆中）。
A′
A
B′
B
巩固练习
• 1．如图,在⊙O中,
则∠2=___
AC =BD
B
,∠1=30°,
D 2 1 A
• 2．一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的 • 圆心角为________。 ︵ ︵ ︵ BC＝CD＝DE ，则 • 3. ⊙O中，直径AB∥CD弦， ∠BOD=______。 4. 在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心 角为 ____________ 5. 如图，AB是直径，，∠BOC＝40°，∠AOE的度数 是 。
O A C E D F B
︵
︵
A
如图1 如图1，在⊙O中，弧AB=弧AC， AB=弧AC， ACB=60° ∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。
B
O
C
• 证明： ∵弧AB=弧AC AB=弧 证明： AB=AC， ABC是等腰三角形 ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形 ACB=60° 又 ∠ACB=60° ABC是等边三角形 是等边三角形， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠ ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
连结OA、 、 3：等边三角形ABC内接于⊙O,连结 、OB、 等边三角形ABC内接于⊙ 连结 ABC内接于 OC延长 ，分别交 于点 ，BC于点 ， 延长AO，分别交BC于点 于点P， 于点 于点D， 延长 连结BD,CD. 连结 (1)判断四边形 判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形， 是哪一种特殊四边形， 判断四边形 是哪一种特殊四边形 并说明理由。 并说明理由。 的半径为r,求等边三角形的边长 （2）若⊙O的半径为 求等边三角形的边长？ ） 的半径为 求等边三角形的边长？
C
O
A
.
B
D
F
E
C
如图：（ ） 如图：（3）若弦AB=2CD， ：（ ， ︵ ︵ 那么AB=2CD吗？ 那么 吗 ∠AOB=2 ∠COD吗？ 吗
D
O
A
.
B
2.如图，AC与BD为⊙O的两条互 如图， 与 为 如图 的两条互 相垂直的直径. 相垂直的直径 求证： 求证：AB=BC=CD=DA;
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
如图，⊙O中两条相等的弦 、CD分别 如图， 中两条相等的弦AB、 分别 中两条相等的弦 延长到E、 ， 延长到 、F，使BE= DF。 。 求证： 的垂直平分线必经过点 的垂直平分线必经过点O。 求证：EF的垂直平分线必经过点 。
B M A O C N D F E
基础训练
1、在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4， 一条弦AB所对的劣弧为圆周的 ， 所对的劣弧为圆周的1/4 则弦AB所对的圆心角为 则弦AB所对的圆心角为 。 2、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1， 在半径为2 圆心O到弦AB的距离为 的距离为1 则弦AB所对的圆心角的度数为 则弦AB所对的圆心角的度数为 。 3、如图5，在⊙O中弧AB=弧AC，∠C=75°，求 如图5 中弧AB=弧AC， C=75° A 的度数。 ∠A的度数。
F
例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？
创新探究
1.如图， 1.如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与 如图 AB=CD，AB的延长线与 CD的延长线相交于点P 直线OP交 于点E CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F. 的延长线相交于点 OP 你以为∠APE与 CPE有什么大小关系？为什么？ 你以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？ 有什么大小关系 A E C O M D N B P
解： ∠ ABC=∠ BAC
∵ ∠ AOC=∠ BOC
O
∴ AC=BC
∴ ∠ ABC=∠ BAC
A C B
C
O
A
.
B
D
︵ ︵ （1）若AB=2CD，那么弦 ） ， AB=2CD吗？ 吗 ∠AOB=2 ∠COD吗？ 吗
F
（2）若∠AOB=2 ∠COD ， ） ︵ ︵ 那么AB=2CD吗？ 那么 吗 弦AB=2CD吗？ 吗
总 结
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 圆是中心对称图形
2.在同圆或等圆中， 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等， 圆心角， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。 那么它们所对应的其余各组都分别相等。 3. 圆圆圆圆圆圆 圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆圆 。
O
B 图5

C
综合应用
• 如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点， 且AB＝4，AC＝CD＝1，求BD的长.
D C
A
O
B
试一试
• 1.如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于点M，且PM
1 ＝OM，求证：AP= BQ 3
P B O Q M A
O M E F P N
• 2.如图，⊙O的半径OP＝5，E是OP上的点，且EP＝ 2，MN经过点E，ME∶EN＝1∶2，OF⊥MN于F， 求OF的长.
2.已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与 2.已知 如图2 AB、CD是 已知： 的弦， AB与 CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点， CD不平行 不平行， 分别是AB、CD的中点 的中点， AB=CD，那么∠AMN与 CNM的大小关系是什 AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什 为什么？ 么？为什么？
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理 圆心角定理) 圆心角定理
• 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点， OD是半径，且OD //AC．求证：CD = BD
如图， 如图，在⊙O中，弦AB=AC，AD是⊙O的直 中 ， 是 的直 试判断弦BD和 是否相等 并说明理由. 是否相等， 径，试判断弦 和CD是否相等，并说明理由
1.
∠AOB=∠A’O’B’ ∠
⇒
AB = A’B’
AB=A’B’
2.
AB = A’B’
⇒
∠ AOB=∠ A’O’B’ ∠
AB = A’B’
3.
AB=A’B’
⇒
∠ AOB= ∠ A’O’B’
圆心角、弧、弦之间的关系
B E
O
C
D
A
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
B C
如果 AB = CD ， 则图中有哪些弧等？ 则图中有哪些弧等？
图1
• 如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN, D为OA的中点，过点D作BC//MN， • 求证：( 1 ) 四边形ABOC为菱形； (2)∠MNB=∠BAC.
如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的 两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD.
E
B A P C D O
初中数学九年级上册 苏科版） （苏科版）
5.2 圆的对称性（一） 圆的对称性（
同圆或等圆中 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等， 圆心角， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。 那么它们所对应的其余各组都分别相等。
AB=A’B’
A C
解：连结OM、ON， 连结OM ON， OM、 分别为弦AB CD的中点 AB、 的中点， ∵M、N分别为弦AB、CD的中点， ∴∠AMO=∠CNO=90 AMO=∠CNO=90° ∴∠AMO=∠CNO=90° ∵ AB=CD ∴ OM=ON ∴∠OMN=∠CNM ∴∠AMN=∠CNM
M O
N
B
A
O
D
AB=BC=CD=DA. C 分析 证明 分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等， 分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这 的圆心角定理，应先证明什么相等？ 节课所学 的圆心角定理，应先证明什么相等？ 证明: 证明 ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直 与 为 的两条互相垂直的直 径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
B
D
图2
1、一条弦把圆分成1：3两部分，则优弧 、一条弦把圆分成 ： 两部分 两部分， 所对的圆心角为________。 所对的圆心角为 。
2.已知 已知A,B是⊙O上的两 已知 是 上的两 ⌒ 的中点,试确定四 点,∠AOB=1200,C是 ∠ 是 的中点 试确定四 AB 边形OACB的形状 并说明理由. 边形 的形状,并说明理由 的形状 并说明理由
4：顺次连结⊙O的两条直径 c和BD ：顺次连结⊙ 的两条直径 的两条直径A 的端点， 的端点，所得的四边形是什么特殊四 边形？如果要把直径为30cm的圆柱形 边形？如果要把直径为 的圆柱形 原木锯成一根横截面为正方形的木材， 原木锯成一根横截面为正方形的木材， 并使截面尽可能地大，应怎样锯？ 并使截面尽可能地大，应怎样锯？如 果这根原木长15m，问锯出地木材地 果这根原木长 ， 体积为多少立方米？ 体积为多少立方米？
⌒ ⌒ AB = CD
O A
⌒ ⌒ AC = BD ？ D ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AB + BC = CD + BC
⌒ ⌒ AC = BD
AC = BD
？
∵把圆心角等分成360份,则每一份的 把圆心角等分成 份 则每一份的 圆心角是1º.同时整个圆也被分成了 圆心角是 同时整个圆也被分成了 Ａ 360份. 份 的弧. 则每一份这样的弧叫做1º的弧 的弧 这样,1º的圆心角对着 的弧 这样 的圆心角对着1º的弧 的圆心角对着 的弧, 1º的弧对着 的圆心角 的弧对着1º的圆心角 的弧对着 的圆心角. n º的圆心角对着 的弧 的圆心角对着nº的弧 的圆心角对着 的弧, n º的弧对着 的圆心角 的弧对着nº的圆心角 的弧对着 的圆心角.
解析：要判断BD与CD是否 解析：要判断 与 是否 ︵ 相等，途径有二：一看BD 相等，途径有二：一看BD ︵ 是否相等， 与CD是否相等，二看 是否相等 是否相等。 ∠BOD与∠COD是否相等。 与 是否相等 显然，两条途径均可。 显然，两条途径均可。
3,如图 在圆 中，已知 如图:在圆 如图 在圆O中 已知AC=BD， ， 试说明： 试说明：（1）OC=OD ） （2）AE= BF ）
典型例题
例1：如图如 ABC中， ∠ C=90°， ∠ B=28°，以C为圆圆， ： 中 为 以CA为为为圆圆 为AB于于D，为BC于于E， 为 于 ， 于 ， 求 AD， DE圆圆圆。 ， 圆
B
D
E
A
C
例2：如图,AB,AC,BC都都 O圆的， ∠ AOC=∠ BOC， ： 都 圆 ， 圆 圆 ∠ ABC圆∠ BAC圆圆相？为为为？
n°弧 °
n° °
Ｂ
Ｏ
1° °
1°弧 °
性质:圆心角的度数与它所对弧的度数相等. 性质 圆心角的度数与它所对弧的度数相等
思考：能写成∠ＡＯＢ＝ＡＢ吗 思考：能写成∠ＡＯＢ＝ＡＢ吗？
︵
下面的说法正确吗?为什么 下面的说法正确吗 为什么? 为什么
， 如图,因为 如图 因为 ∠AOB = ∠A′OB′
根据圆心角、 根据圆心角、弧、弦、 关系定理可知： 关系定理可知：