第23讲函数中特殊角存在问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(解析版)

13 2 长为半径的圆上，
在第四象限作矩形 OHJB ，抛物线在三角形 BHJ 中，而到 BH 中点长度为 1 2 BH 的点均在矩形外，故此种情
况不存在。显然在 y 轴左侧也不能存在。
因此，点
P 的坐标为（
- 52 9
, 140 27
）或（ - 34 9
,
13 ）。 27
【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三； 【例题 1】 (2017 湖北咸宁 )如图，抛物线 y= x 2+bx+c 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C，其对称轴 交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，已知 OB=OC=6 ． （ 1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 没有，请说明理由．
P（ xp，yp），使得∠ APB 为锐角， 若有， 请求出 yp 的取值范围． 若
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 没有，请说明理由．
P（ xp，yp），使得∠ APB 为锐角， 若有， 请求出 yp 的取值范围． 若
【分析】（ 1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；
（ 2）利用已知点为 B（ m， m），代入抛物线解析式进而得出 m 的值，即可得出 AB 的值；（ 3）①根据题
【名师 原创】原创检测，关注素养，提炼主题； 【原创 1】如图所示， 在直角坐标 系内， 一对称轴为x=-1 的抛物线恰好经过正方形
ABCD 中的 B 点和 D 点，
并且交 x 轴为B 点，交 x 轴负半为点 E，点 A 在 y 轴上，其坐标为（ 0，4），点 B 坐标为（ 2， 0）。
（ 1）试求出此抛物线的解析式；
∴ = ，即
== ，
当点 F 在 x 轴上方时，则有
= ，解得 x=﹣2（舍去）或 x=7，此进F 点坐标为（ 7， ）；
当点 F 在 x 轴上方时，则有
=﹣，解得 x=﹣2（舍去）或 x=5，此进F 点坐标为（ 5，﹣）；
综上可知 F 点的坐标为（ 7， ）或（ 5，﹣）； （ 3）∵ 点 P 在 x 轴上， ∴ 由菱形的对称性可知 P（2， 0）， 如图2，当 MN 在 x 轴上方时，设T 为菱形对角线的交点，
（ 1）由定义知，取 AB 中点 N，连结 MN， MN 与 AB 的关系是 MN ⊥ AB， MN＝ AB ．
（ 2）抛物线 y＝
对应的准蝶形必经过 B（ m， m），则 m＝ 2 ，对应的碟宽 AB 是 4 ．
（ 3）抛物线 y＝ ax2﹣ 4a﹣ （ a＞ 0）对应的碟宽在 x 轴上，且 AB＝ 6．
（ 2）过点 A 作 AM//x 轴，交 CD 于点 M ，求 DM 的长；
（ 3）令抛物线交 y 轴为H ，连接 HB ，是否存在点 P 在抛物线上，使的△ PHB 为直角三角形，若存在，试
求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由。
【解答】 （ 1）∵ 抛物线对称轴为 x=-1，右侧交 x 轴于点 B（ 2，0）， ∴ 交 X 轴负半点 E（ -4， 0）， 设抛物线解析式为y=a（ x-2）（x+4） , 根据图 形特点，在正方形边CD 外构造直角三角形 CDK ，使的 DK//x 轴 ， CK ⊥X 轴，交 x 轴于点 F，四边 形 ABCD 为正方形，则△ ABO ≌ △ CDK ，△ ABO ≌ △ BCF, ∴ KF=6,则点 D 坐标为（ 4，6），
84
再根据△ PNL ∽ △ BOH ，可列等式：
x9
3
2
33
2(
3)
2
xx 84
可解得点 P 坐标为（
，即：
9 17
2
x
x
84
0
x
，解得 3
34
）或者（ 0， -3）（舍去）
9 , 13 27
34 9 ， x4
0 （舍去）
第三种：以 BH 为斜边：
根据勾股定理可知 BH= 13 ，能组成直角三角形的点均在以线段 BH 中点为圆心， 以
（ 2）连接 BD， F 为抛物线上一动点，当∠ FAB= ∠ EDB 时，求点 F 的坐标； （ 3）平行于 x 轴的直线交抛物线于 M 、N 两点，以线段 MN 为对角线作菱形 MPNQ ，当点 P 在 x 轴上，且 PQ= MN 时，求菱形对角线MN 的长．
【分析】（1）由条件可求得 B 、 C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得
(直
角 )三角形、平行四边形作为 考查对象是中考命题热点．这类题型对基础知识，基本技能提出了较高要求， 并具备 较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查．
常见的题型主要包括 ①求存在某个角等于特殊角，如 90°，60°、30°、45°等，②存在某个角与已知角
相等，或为角平分线，③存在某个角具有某个特点等等。
（ 2）利用已知点为 B（ m， m），代入抛物线解析式进而得出 m 的值，即可得出 AB 的值；（ 3）①根据题
意得出抛物线必过（ 3， 0），进而代入求出答案；
②根据 y＝ x2﹣ 3 的对称轴上 P（ 0，3），P（ 0，﹣3）时，∠ APB 为直角，进而得出答案．
【解答】解：（ 1）MN 与 AB 的关系是： MN⊥ AB， MN＝ AB， 如图 1，∵△ AMB 是等腰直角三角形，且 N 为 AB 的中点，
∴﹣ n= （ 2+2n） 2﹣ 2（ 2+2n）﹣6，解得 n=
或 n=
（舍去），
∴ MN=2MT=4n=
﹣ 1；
综上可知菱形对角线 MN 的长为
+1 或 ﹣ 1．
【例题 2】如图，抛物线 y＝ ax2+bx+c（ a＞ 0）的顶点为 M ，直线 y＝ m 与抛物线交于点 A，B，若△ AMB 为
【解答】解：
（ 1）∵ OB=OC=6 ，
∴ B （6， 0），C（ 0，﹣6），
∴
，解得
，
∴ 抛物线解析式为y= x 2﹣2x﹣6， ∵ y= x2﹣2x﹣6= （ x﹣2） 2﹣8， ∴ 点 D 的坐标为（ 2，﹣8）； （ 2）如图1，过F 作 FG⊥ x 轴于点 G，
设F（ x， x 2﹣2x﹣6），则FG=| x 2﹣2x﹣6|，
（ 1）由定义知，取 AB 中点 N，连结 MN， MN 与 AB 的关系是 MN ⊥ AB， MN＝ AB ．
（ 2）抛物线 y＝
对应的准蝶形必经过 B（ m， m），则 m＝ 2 ，对应的碟宽 AB 是 4 ．
（ 3）抛物线 y＝ ax2﹣ 4a﹣ （ a＞ 0）对应的碟宽在 x 轴上，且 AB＝ 6．
﹣ 1；
综上可知菱形对角线 MN 的长为
+1 或 ﹣ 1．
【例题 2】如图，抛物线 y＝ ax2+bx+c（ a＞ 0）的顶点为 M ，直线 y＝ m 与抛物线交于点 A，B，若△ AMB 为
等腰直角三角形， 我们把抛物线上 A，B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，
线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶．
﹣ 1；
综上可知菱形对角线 MN 的长为
+1 或 ﹣ 1．
【例题 2】如图，抛物线 y＝ ax2+bx+c（ a＞ 0）的顶点为 M ，直线 y＝ m 与抛物线交于点 A，B，若△ AMB 为
等腰直角三角形， 我们把抛物线上 A，B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，
线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶．
在 y= x 2﹣2x﹣6 中，令 y=0 可得 x2﹣2x﹣6=0，解得 x=﹣2 或 x=6， ∴ A （﹣2， 0）， ∴ OA=2 ，则AG=x+2 ， ∵ B （6， 0），D（ 2，﹣8）， ∴ BE=6﹣2=4， DE=8 ， 当∠ FAB=∠ EDB 时，且∠ FGA= ∠ BED， ∴ △ FAG∽ △ BDE，
∵ M 在抛物线上，
∴ n= （2+2n） 2﹣ 2（ 2+2n）﹣6，解得 n=
或 n=
，
∴ MN=2MT=4n=
+1；
当 MN 在 x 轴下方时，同理可设 PT=n，则 M （ 2+2n，﹣ n），
∴﹣ n= （ห้องสมุดไป่ตู้2+2n） 2﹣ 2（ 2+2n）﹣6，解得 n=
或 n=
（舍去），
∴ MN=2MT=4n=
（ 3）抛物线 y＝ ax2﹣ 4a﹣ （ a＞ 0）对应的碟宽在 x 轴上，且 AB＝ 6．
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 没有，请说明理由．
P（ xp，yp），使得∠ APB 为锐角， 若有， 请求出 yp 的取值范围． 若
【分析】（ 1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；
将 B 、C 两点坐标代入可得：
2k b 0 6k b 2 ，解得
1 k
2 b 1，则BC 解析式为：
BC 交 y 轴于点 G，则BG=
2
2
2 1= 5
y
1 x
1
2
∴ DM= 5 。
（ 3）以 BH 为边的直角三角形有三种情况可讨论：
第一种：以 BH 为直角边，以点 B 为顶点：
∵ y= 3 2 3
等腰直角三角形， 我们把抛物线上 A，B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，
线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶．
（ 1）由定义知，取 AB 中点 N，连结 MN， MN 与 AB 的关系是 MN ⊥ AB， MN＝ AB ．
（ 2）抛物线 y＝
对应的准蝶形必经过 B（ m， m），则 m＝ 2 ，对应的碟宽 AB 是 4 ．
∵ M 在抛物线上，
∴ n= （2+2n） 2﹣ 2（ 2+2n）﹣6，解得 n=
或 n=
，
∴ MN=2MT=4n=
+1；
当 MN 在 x 轴下方时，同理可设 PT=n，则 M （ 2+2n，﹣ n），
∴﹣ n= （ 2+2n） 2﹣ 2（ 2+2n）﹣6，解得 n=
或 n=
（舍去），
∴ MN=2MT=4n=
，即：
x
52
2
9
∴ P1 点坐标（
- 52 9
140 27
）
,
第二种：以 BH 为直角边，以点 H 为顶点；
过点 H 作 PH⊥ BH ，交抛物线 于点 P，交 X 轴于点 L ，过点 P 作垂线交 x 轴于点 N,令点 P 横坐标为x，则
9
33 2
2 ,0)
纵坐标为 x
x 3 ，根据△ HOL ∽ △ BOH ，可得 L 点坐标(
x
x 3。
84
∴ 交 y 轴点 H 坐标为（ 0， -3），
过点 B 作 BP⊥ BH，交抛物线于点 P，过点 P 作 PQ⊥ x 轴，则有△ BOH ∽ △ PQB，设点 P 坐标为（ x，
33
2
x
x 3）8
4
可得：
2
3
33
2
x
x
84 2x
解得： x1 2 （舍去），
3
2
9 x 34x 104 0
代入上设解析式可得 y=
33
2
x
x 3。
84
（ 2）延长CB 交 Y 轴于点 G，
∵ AM//x 轴，∴ ∠ DAM= ∠ BAG ，∴ △ ABG ≌ △ ADM ，∴ DM=BG 。
根据（ 1）题可知点 C 坐标 为 （ 6，2），点 B 坐标为（ 2， 0），则设直线BC 解析式为y=kx+b ，
意得出抛物线必过（ 3， 0），进而代入求出答案；
②根据 y＝ x2﹣ 3 的对称轴上 P（ 0，3），P（ 0，﹣3）时，∠ APB 为直角，进而得出答案．
【解答】解：（ 1）MN 与 AB 的关系是： MN⊥ AB， MN＝ AB， 如图 1，∵△ AMB 是等腰直角三角形，且 N 为 AB 的中点，
∵ PQ= MN ， ∴ MT=2PT ， 设PT=n，则MT=2n ， ∴ M （ 2+2n， n），
∵ M 在抛物线上，
∴ n= （2+2n） 2﹣ 2（ 2+2n）﹣6，解得 n=
或 n=
，
∴ MN=2MT=4n=
+1；
当 MN 在 x 轴下方时，同理可设 PT=n，则 M （ 2+2n，﹣ n），
D 点坐标；
（ 2）过F 作 FG⊥ x 轴于点 G，可设出 F 点坐标，利用△ FAG∽ △ BDE ，由相似三角形的性质可得到关于 F
点坐标 的方程，可求得 F 点的坐标；
（ 3）可求得 P 点坐标，设T 为 菱形对角线的交点，设出 PT 的长为n，从而可表示出 M 点的坐标，代入抛
物线解析式可得到 n 的方程，可求得 n 的值，从而可求得 MN 的长． 21 教育名师原创作品
2019 年中考数学总复习巅峰冲刺
专题23 函数中特殊角存在问题
【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破； 解决存在性问题就是：假设 存在 →推理论证→ 得出结论．若能导出合理的结 果，就作出
“存在 ”的判断，
导出矛盾，就作出不存在的判断．尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰