棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)

6．如图所给的平面图形，能折成什么样的立体 图形？
解析： 第一个图是四棱锥，其中4个三角形围 成侧面，四边形为底面；第二个图是四棱台，四 个梯形围成四棱台的侧面，两个正方形为其上、 下底面；第三个图是三棱锥．
◎有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的 多面体是不是棱柱？ 【错解】 这个多面体是棱柱． 【错因】 没有抓住棱柱的几何特征．事实上，棱 柱的概念有两个本质的属性：①有两个面(底面)互 相平行；②其余每相邻两个面的交线互相平行．通 俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”，“有 两个面互相平行，其余各面都是平行四边形”不能 保证该几何体的侧棱都相互平行．
2．关于棱台，下列说法正确的是( ) A．两底面可以不相似 B．侧面都是全等的梯形 C．侧棱长一定相等 D．侧棱延长后交于一点 解析： 由棱台的定义知棱台的两底面相似，侧 面是梯形但不一定全等，侧棱长不一定相等，侧 棱延长后交于一点，故选D. 答案： D
3．如图，下列几何体中，________是棱柱，________ 是棱锥，________是棱台．
体叫做棱锥 _S_－__A_B_C_D____
底面(底)： _多__边__形___面． 侧面：有公共 顶点的各个
_三__角__形__面____． 侧棱：相邻侧
面的_公__共__边__． 顶点：各侧面
的_公__共__顶__点__．
上底面：原棱锥
用一个
的__截__面__．
_平__行__于____
下底面：原棱锥
由一个平面图形绕它所在平 面内的一条__定__直__线__旋转所 形成的_封__闭__几__何__体___．
图形
面：围成多面体的各
个__多__边__形___．
相 关 棱：相邻两个面的 轴：形成旋转体所绕
百度文库概念 __公__共__边____．
的__定__直__线____.
顶点：__棱__与__棱___的公
(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空 间想象能力和动手能力． (2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的 顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后 依次画出各侧面． (3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．
5．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析： A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故 不能围成棱柱． 答案： D
答案： (1)(2) (3)(4) (5)
4．在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现 在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程 中． (1)水面的形状不断变化，可能是矩形， 也可能变成不是矩形的平行四边形， 对吗？ (2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为 棱台或棱锥，对吗？
解析： (1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾 斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的 形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的 平行四边形． (2)不对；水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固 定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后， 剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时 ，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱； 但不可能是棱台或棱锥．
(1)正确认识多面体的特征：一要熟记多面体的定 义，二要掌握多面体的结构特征，注意多面体的不 同放置形式． (2)多面体的几何特征 ①棱柱的几何特征 侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互 平行； ②棱锥的几何特征 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的 三角形； ③棱台的几何特征 上下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．
一、空间几何体 1．空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考 虑这些物体的_形__状___和_大__小___，而不考虑其他 因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就 叫做空间几何体．
2．空间几何体的分类 类别 多面体
旋转体
定义
由若干个
_平__面__多__边__形__ 围成的几何 体.
3.如 图， 已知 长 方体 ABCD－ A1B1C1D1，过 BC 和 AD 分别作 一个平面交底面 A1B1C1D1 于 EF、 PQ，则长方体被分成的三个几何 体中，棱柱的个数是________．
答案： 3
4．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是 如下各种几何体的4个顶点．这些几何体是 ________．(写出所有正确结论的编号) ①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边 三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
由这些面所 _A_′__B_′__C_′_____ 顶点：侧面
围成的多面 _D_′__E_′__F_′_____ 与底面的_公__
体叫做棱柱.
_共__顶__点____．
有一个面是
_多__边__形___，
其余各面都
棱 锥
是有一个公 共顶点的 _三__角__形____，
由这些面所 如图可记作：棱
围成的多面 锥：
__棱__锥__底__面_
的_底__面___．
棱 台
的平面去 截棱锥， 底面与截
侧面：其余各 面． 侧棱：相邻侧面
面之间的 部分叫做 棱台
如图可记作：
棱台__A_B_C_D_－___ __A_′__B_′__C_′__D_′_
的公共边． 顶点：侧面与上 (下)底面的公共 顶点.
1．在棱柱中( ) A．只有两个面平行 B．所有的棱都平行 C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也互相平行 解析： 由棱柱的定义知，D正确． 答案： D
共点.
二、多面体
多面体 定义
图形及表示 相关概念
有两个面互
底面(底)：两
相_平__行___，
个互相_平__行__
其余各面都
的面．
是_四__边__形__，
侧面：_其__余__
并且每相邻
_各__面___
棱柱 两个四边形 如图可记作： 侧棱：相邻
的公共边都 棱柱
侧面的_公__共__
互相_平__行__， _A_B_C_D_E_F_－_____ _边___．
解析： A、B都错，反例如图(1)；C也错，反 例如图(2)，上、下底面是全等的菱形，各侧面 是全等的正方形，它不是正方体．根据棱柱的 定义，知D对．
答案： D
2．下列三种说法，其中正确的是( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的
部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多
面体是棱台；
解析： 如图所示，四边形 ABC1D1 为矩形，满足①，四面体 B1－A1BC1 满足③，四面体 D－A1BC1 满足④， 四面体 A1－ACB 满足⑤. 答案： ①③④⑤
多面体的表面展开图 画出如图所示的几何体的表面展开图．
[思路点拨] 要绘制三棱柱与四棱锥的展开图， 可假定一个面不动，进行空间想象，展开几何 体． [边听边记] 表面展开图如图所示：
【正解】 按题意作出如下图形，该几何体有两 个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但它 不是棱柱．所以有两个面互相平行，其余各面都 是平行四边形的多面体不一定是棱柱．
感谢下 载
结合多面体的定义去判断时，注意要充分发 挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过 演示进行准确判断．
1．下列说法正确的是( ) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何 体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的 几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四 边形
第一章 空间几何体
1．1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
观察下列图片：
[问题1] 图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？ [提示] 由若干个平面多边形围成． [问题2] 图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与 (1)(2)(3)中有何不同？ [提示] 表面是由平面与曲面围成． [问题3] 图片(4)(5)(6)(7)中的几何体可否看作 平面图形绕某定直线旋转而成？ [提示] 可以．
[思路点拨] 条件为一个四棱柱被一个平面所截， 观察所得几何体的上、下底面的关系与侧棱间的位
置关系，抓住图中线段EF和B′C′的位置关系，根
据定义得出结论．
[规范解答] 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满
足棱柱的定义.2分
它是三棱柱BEB′－CFC′， 其中△BEB′和△CFC′是底面.4分 EF，B′C′，BC是侧棱，6分 截面BCFE左侧部分也是棱柱.8分 它是四棱柱ABEA′－DCFD′. 其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面.10分 A′D′，EF，BC，AD为侧棱.12分
多面体概念的理解 下列命题正确的是( ) A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形 C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱
[思路点拨] 根据多面体的定义利用排除法． 解析： 棱柱、棱锥的底面可以是任意多边形， 所以排除A、B，沿着棱锥底面的一条对角线将棱 锥分成两个部分可以得到两个部分都为棱锥，排 除C.对于D，只要这个平面与底面平行就能够得 到两个棱柱． 答案： D
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形
的六面体是棱台．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析： 对①如图中的(1)，当截面不平行于底 面时棱锥底面和截面之间的部分为非棱台．
对②③，如图(2)中AA1，DD1交于一点，而BB1， CC1交于另一点，此几何体不能还原成四棱锥，
故不是棱台．
答案： A
对多面体形状的认识 如图所示为长方体 ABCD － A′B′C′D′ ， 当 用 平 面 BCFE 把这个长方体分成两部分 后，各部分形成的多面体还是棱 柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面 及侧棱．