第二章 半导体能带

2 . 态与波函数 来描述物质波，其中q 量子力学中用一个函数 来描述物质波，其中 代表坐标， 是时间， 称做波函数， 代表坐标，t 是时间， 称做波函数，它隐含着 微观体系的运动状态（简称态），又称状态函数。 ），又称状态函数 微观体系的运动状态（简称态），又称状态函数 代表单个粒子的几率密度
在时刻t 空间q 在时刻t，空间q点附近体积元
内粒子的几率
在整个空间找到一个粒子的几率
波函数的统计解释(波粒二象性的实验验证 波粒二象性的实验验证) ＊波函数的统计解释 波粒二象性的实验验证
图2-1 电子绕射实验示意图
波恩提出了波函数意义的统计解释) 实验结论 (波恩提出了波函数意义的统计解释)： 波函数在空间某点的强度(振幅的平方) 波函数在空间某点的强度(振幅的平方)和在该点 找到粒子的概率成正比。粒子的波即是概率波。 找到粒子的概率成正比。粒子的波即是概率波。 用以表示粒子的状态， 假设波函数 Φ(x，y，z，t ) 用以表示粒子的状态， 并以dW（x，y，z，t）表示时刻 ，在体积元 并以 （ ， ， ， ）表示时刻t， dτ＝dxdydz 内找到粒子的概率，则有： 内找到粒子的概率，则有：
∂2 ∂2 ∂2 拉普拉斯算符： 拉普拉斯算符：∆ = ∇ ＝ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2
薛定谔方程描述在势场 U (r )中粒子状态随时间的 变化，也称微观粒子波动方程。只要知道势场的具 变化，也称微观粒子波动方程。 体形式就可求解该方程得到粒子波函数的具体形式， 体形式就可求解该方程得到粒子波函数的具体形式， 从而得出粒子的运动状态和能量状态。 从而得出粒子的运动状态和能量状态。
λmT = b
（2）瑞利－金斯定律 ）瑞利－ 单色辐出度： 单色辐出度： −4 e0 (λ , T ) = 2πcK λ T
C为光速， 为光速， 为光速 K为玻耳兹曼常数 为玻耳兹曼常数
M λ 0 (T )
实验值 紫 外 普 灾 朗 难 克 线 维恩线
瑞利--金斯线 瑞利--金斯线 --
o 1 2 3
2.1
电子波函数与薛定谔方程
1. 量子力学产生的背景 冲破经典物理限制的物理现象： 冲破经典物理限制的物理现象： ＊＊黑体辐射 －－黑体是理想的吸收体 黑体是理想的吸收体,也是理想的发 ＊＊黑体辐射 －－黑体是理想的吸收体 也是理想的发 射体.即能够全部吸收投射到它上面的辐射的物体 即能够全部吸收投射到它上面的辐射的物体. 射体 即能够全部吸收投射到它上面的辐射的物体 （1）维恩公式： ）维恩公式：
∂t h2 − ψ ∇ 2ψ (r ) + U (r ) (r ) = E ψ (r ) 2m
（2-9-2）
定态薛定谔方程
解方程(2- 1)可得： 解方程(2-9-1)可得： f (t ) = C e (2 可得
−
iE h
t
− iE h
薛定谔方程的特解为：Ψ (r , t ) = ψ ( r ) e t 薛定谔方程的特解为： 所以，通过定态薛定谔方程可求得波函数 所以，通过定态薛定谔方程可求得波函数 ψ (r ) ， 最后求得波函数 Ψ (r , t ) 。 由定态波函数解的形式可知，它满足以下两方程： 由定态波函数解的形式可知，它满足以下两方程：
i h ∂ f (t ) 1 h2 2 = ∇ ψ (r ) + U (r ) (r ) ψ − f (t ) ∂ t ψ (r ) 2 m
（2-8）
显然等式两边必须等于同一常数(如 时才能成立， 显然等式两边必须等于同一常数 如：E)时才能成立， 时才能成立 所以薛定谔方程可改写为： 所以薛定谔方程可改写为： ∂ f (t ) （2-9-1） ih ＝ Ef (t )
∂Ψ ih ＝ EΨ ∂t h 2 2 − ∇ + U (r ) Ψ = E Ψ 2m
2
＊微观粒子波粒二象性 德布罗意提出实物粒子（电子，质子， 原子等） 德布罗意提出实物粒子（电子，质子， 原子等）也 会表现出粒子与波动的二象性。 会表现出粒子与波动的二象性。 他认为：当质量为m的自由粒子以速率 运动时， 的自由粒子以速率v运动时 他认为：当质量为 的自由粒子以速率 运动时，它的 粒子性表现在具有能量E和动量 和动量P； 粒子性表现在具有能量 和动量 ；它的波动性表现在 具有频率ν和波长 并且满足对应关系： 和波长λ。 具有频率 和波长 。并且满足对应关系： E = hv = hω ; p = hk (2-1) －德布罗意关系
式中： 称为波数矢量， 为平面波传播方 式中：k = (1 / λ )n 称为波数矢量，n为平面波传播方 向上的单位矢量； 为普朗克常数。 向上的单位矢量； h = 2πh 为普朗克常数。由平面波 公式 ψ = A cos 2π x －vt 将德布罗意关系代入得德布罗 λ i 意平面波： 意平面波： ψ = Aexp (p • r－Et ) (2-2)
普朗克假设： 普朗克假设：------能量子说 能量子说 即把组成空腔壁的分子、 （1）黑体是由带电谐振子组成 即把组成空腔壁的分子、 ）黑体是由带电谐振子组成(即把组成空腔壁的分子 原子的振动看做线性谐振子)．这些谐振子辐射电磁波， 原子的振动看做线性谐振子 ．这些谐振子辐射电磁波， 并和周围的电磁场交换能量。 并和周围的电磁场交换能量。 （2）这些谐振子的能量不能连续变化，只能取一 ）这些谐振子的能量不能连续变化， 些分立值，这些分立值是最小能量ε的整数倍 的整数倍， 些分立值，这些分立值是最小能量 的整数倍，即 ε，2ε，3ε，…，nε，… n为正整数 为正整数 为正整数 而且假设频率为ν的谐振子的最小能量为 的谐振子的最小能量为ε=hν称为 而且假设频率为 的谐振子的最小能量为 称为 能量子， 称为普朗克常数 称为普朗克常数。 能量子，h称为普朗克常数。 根据能量子说，在光波的发射和吸收过程中， 根据能量子说，在光波的发射和吸收过程中，发射体 和吸收体的能量变化是不连续的， 和吸收体的能量变化是不连续的，能量值只能取某个 最小能量元的整数倍。 最小能量元的整数倍。
dW(x， ， ，) =CΦ(x， ， ，) dτ y z t y z t
2
(2-3)
对所有空间积分概率必等于1 式（2-3）对所有空间积分概率必等于1。即 ∞ 2 C ∫ ∫ ∫ Φ (x ， y ， z ， t ) d τ = 1 归一化条件
令 Ψ (x，y，z，t ) =
－∞
∫ ∫∫
－∞
∞
c Φ(x，y，z，t )
h
这种波称为德布罗意波，也叫物质波。 这种波称为德布罗意波，也叫物质波。
＊测不准关系
∆x ⋅ ∆p ≅ h
力学量的测量结果用几率表示。 力学量的测量结果用几率表示。
位置测定得越准确，动量的测定就越不准确。 位置测定得越准确，动量的测定就越不准确。即 微观粒子的坐标和动量不能同时有准确的值。 微观粒子的坐标和动量不能同时有准确的值。 ＊量子力学的建立 微观体系区别于宏观体系的两个显著特点是物理 量的量子化和波粒二象性。 量的量子化和波粒二象性。经典物理学不适用描述微 观运动规律，经科学家们的探索，几乎同时提出了两 观运动规律，经科学家们的探索， 个描述微观运动规律的力学理论， 个描述微观运动规律的力学理论，一个是薛定谔的波 动力学，另一个是海森堡的矩阵力学。 动力学，另一个是海森堡的矩阵力学。后来人们证明 这两者是完全等价的， 这两者是完全等价的，是同一种力学规律的两种不同 描述。 世纪 年代， 世纪30年代 描述。20世纪 年代，狄拉克把它们用更普遍的形式 表述出来，称作量子力学。 表述出来，称作量子力学。
2
则有：
Ψ (x ， y ， z ， t ) d τ = 1
满足此式的波函数 Ψ
为归一化波函数。 为归一化波函数。
3. 薛定谔方程的意义 薛定谔方程的表达式：
∂Ψ h2 2 ih =− ∇ Ψ + U (r )Ψ ∂t 2m
（2-6）
∂ ∂ ∂ 劈形算符： 劈形算符：∇＝ i + j+ k ∂x ∂y ∂z
4 5
6 7 8
λ
/m
（3）普朗克公式： ）普朗克公式： 2πh c 2 λ −5 e0 ( λ , T ) = hc −1 λKT e 经典理论基本观点： 经典理论基本观点：
h为普朗克常数 为普朗克常数
（1）电磁波的辐射来源于带电粒子的振动，电磁 ）电磁波的辐射来源于带电粒子的振动， 波的频率与振动频率相同。 波的频率与振动频率相同。 （2）振子（带电粒子）辐射电磁波含各种波长， ）振子（带电粒子）辐射电磁波含各种波长， 是连续的，辐射的能量也是连续的。 是连续的，辐射的能量也是连续的。 （3）温度升高，振子振动加强，辐射能量加大。 ）温度升高，振子振动加强，辐射能量加大。
＊＊氢原子光谱－－－ ＊＊氢原子光谱－－－不连续的线状光谱 氢原子光谱－－－不连续的线状光谱
氢原子在可见和近紫外区域的发射光谱 按照经典电磁理论， 按照经典电磁理论，应该得到连续的原子光谱而不是线 状光谱。1913年玻尔（N.Bohr）把量子概念运用到原子电子 状光谱。 年玻尔（ ） 年玻尔 结构和氢原子光谱问题上。 结构和氢原子光谱问题上。
第2章 半导体能带 章
本章要点： 本章要点： （1）了解薛定谔方程的建立过程及意义。 ）了解薛定谔方程的建立过程及意义。 （2）掌握晶态半导体中能带理论的处理方法和过程。 ）掌握晶态半导体中能带理论的处理方法和过程。 （3）理解能带的特点，能带的杂化及描述。 ）理解能带的特点，能带的杂化及描述。 （4）掌握从能带结构角度理解导体、半导体、绝缘体 ）掌握从能带结构角度理解导体、半导体、 的导电性差异。 的导电性差异。 （5）晶体中电子运动的经典描述－－有效质量概念。 ）晶体中电子运动的经典描述－－有效质量概念。 －－有效质量概念 （6）了解晶体硅回旋共振现象及其机理。 ）了解晶体硅回旋共振现象及其机理。 （7）熟悉典型半导体材料的能带结构的异同。 ）熟悉典型半导体材料的能带结构的异同。 （8）掌握半导体掺杂产生杂质能级，形成 或p型半导 ）掌握半导体掺杂产生杂质能级，形成n或 型半导 体的机理。 体的机理。
量子跃迁假设： 量子跃迁假设：
原子处于定态时不发生电磁辐射， 原子处于定态时不发生电磁辐射， 当电子由一个定态E1跃迁到另一个 当电子由一个定态 跃迁到另一个 定态E2时 定态 时，以光的形式吸收或放出 能量， 能量，光的频率是
＊＊光电效应－－金属中电子吸收入射光的能量而从 ＊＊光电效应－－金属中电子吸收入射光的能量而从 光电效应－－ 表面逸出的现象。 年由赫兹首先发现。 表面逸出的现象。1887年由赫兹首先发现。 年由赫兹首先发现 重要特征：阈值与光频率相关，而与光强无关。 重要特征：阈值与光频率相关，而与光强无关。 爱因斯坦光子理论： 爱因斯坦光子理论： 光的粒子性－－光的辐射场是由光量子（简称光子） －－光的辐射场是由光量子 光的粒子性－－光的辐射场是由光量子（简称光子） 组成，每个光子的能量是： 组成，每个光子的能量是： ， 光子的动量： 所以： 光子的动量： 所以： －爱因斯坦关系式 光具有波粒二象性 根据光子学说，爱因斯坦提出了解释光电效应的方程式: 根据光子学说，爱因斯坦提出了解释光电效应的方程式 光电效应的方程式1916密里根光电效应实验证实。 密里根光电效应实验证实。 光电效应的方程式 密里根光电效应实验证实 爱因斯坦关系式于1923年被康普顿的 射线与电子碰 爱因斯坦关系式于 年被康普顿的X射线与电子碰 年被康普顿的 撞的散射实验证实。 撞的散射实验证实。
与时间t无关的情况， 考虑势场 U (r ) 与时间t无关的情况，薛定谔方程 的特解可以写成分离变量的形式： 的特解可以写成分离变量的形式：
Ψ (r，t ) = ψ (r ) f (t )
(2-7)
将式（ 代入式（ ），并把等式两边除以 将式（2－7）代入式（2－6），并把等式两边除以 ψ (r ) f (t ) 得到： 得到：