湖南省衡阳八中、永州四高一数学下学期第一次联考试题(理科实验班)

衡阳八中永州四中2016年上期高一年级理科实验班第一次联考
数学（试题卷）
注意事项：
1.本卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

一.选择题（每题5分，共60分。

在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的）
1.已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=
A．﹣B．C．﹣D．
2.若将函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x+1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是
A．B．C． D．
3.设且则
A. B.
C. D.
4.在面积为6的Rt△ABC中，,在上的投影为3，
P为线段AB上的动点，且满足则的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
5.若a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是
A．B．ac＞bd C．a2+c2＞b2+d2D．a+c＞b+d
6.函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为
A．2B．4 C． D．
7.在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
8.已知等比数列{a n}满足，a3a5=4（a4﹣1），则a2=
A．2 B．1 C．D．
9.数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为
A．1 B．3 C．5 D．6
10.定义为n个正数的“均倒数”已知各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，又，
则
(A) (B) (C) (D)
11.若不等式的解集是，则函数的图象是
12.已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为
A．10 B．9 C．8 D．7
二.填空题（每题5分，共20分）
13.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若= ．
14.已知函数，则f（x）的最大值为．
15.已知变量x，y，满足，则z=log4（2x+y+4）的最大值为．
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）
①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC；
②若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45°；
③tanA+tanB+tanC的最小值为3；
④当tanB﹣1=时，则sin2C≥sinA•sinB；
⑤若[x]表示不超过x的最大整数，则满足tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]的A，B，C仅有一组．
三.解答题（请写出相应的文字说明、公式定理和解答过程，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）
17.设θ为第二象限角，若．求
（Ⅰ）tanθ的值；
（Ⅱ）的值．
18.在△OAB的边OA，OB上分别有一点P，Q，已知OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，连接AQ，BP，设它们交于点R，若=，=．
（1）用与表示；
（2）若||=1，||=2，与夹角为60°，过R作RH⊥AB交AB于点H，用，表示．
19.已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设的前n项和S n．
20.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC．（1）求cosC；
（2）若a=6，△ABC的面积为8，求c．
21.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*．
（1）求a2的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有．
22.两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造
垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比
例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．
衡阳八中永州四中2016年上期高一年级理科实验班第一次联考数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C C D D B C C B B B
13.1
14.2
15.
16.①②④⑤
17.（Ⅰ）∵，
∴．
∴解得…
（Ⅱ）∵θ为第二象限角，，
∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，…
∴
18.（1）==，=，
由A，R，Q三点共线，可设=m．
故=+=+m=+m（﹣）
=+m（﹣）=（1﹣m）+m．
同理，由B，R，P三点共线，可设=n．
故=+=+n（﹣）=+（1﹣n）．
由于与不共线，则有解得
∴=+．
（2）由A，H，B三点共线，可设=λ，
则=λ+（1﹣λ），
=﹣=（λ﹣）+（﹣λ）．
又⊥，∴•=0．
∴[（λ﹣）+（﹣λ）]•（﹣）=0．
又∵•=||||cos 60°=1，
∴λ=，
∴=+．
19.（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q
∵a3+2是a2，a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
∴
∴或
∵数列{a n}单调递增
∴a n=2n
（II）∵a n=2n
∴b n==﹣n•2n
∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①
∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②
∴①﹣②得，
s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2
20.（1）∵在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，∴由正弦定理得sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=，
∴，
∵sinC＞0，∴sinC=，
∵C是锐角，∴cosC=．
（2）∵，a=6，
∴，解得b=8，
由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=36+64﹣2×=36，
∴c=6．
21.（1）当n=1时，，解得a2=4
（2）①
当n≥2时，②①﹣②得
整理得na n+1=（n+1）a n+n（n+1），即，
当n=1时，
所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
所以，即
所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*
（3）因为（n≥2）
所以
=．
22（1）由题意得，
又∵当时，y=0.065，
∴k=9
∴
（2），
令t=x2+320∈（320，720），
则，当且仅当时，等号成立．
∴弧上存在一点，该点到城A的距离为时，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B
的总影响度最小为0.0625．
.。