2024年河南省中考数学二轮复习微专题+半角模型探究系列+课件
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①如图（2），请延长 CB 到点 P ，使 BP = DF ，并证明 EF = BE + DF .
[答案] 如图（1）.
图（1）
证明：连接 .
∵ = ， ∠ = ∠ = ∘ ， = ，
∴△ ≌△ ， ∴ = ， ∠ = ∠ ，
半角模型探究系列
以题串模型
例1 一题多问 如图（1），四边形 ABCD 是正方形， ∠MAN = 45∘ ，射线
AM 分别与直线 BC 、直线 BD 交于点 E ， G ，射线 AN 分别与直线 CD 、直
线 BD 交于点 F , H .
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
（1）当点 E 在线段 BC 上时.
BC 于点 E ，射线 AN 交线段 CD 于点 F .
（1）判断 BE ， DF ， EF 之间的数量关系，并加以证明.
[答案] = + .
证明：将 △ 绕点 逆时针旋转 ∘ ，得到 △ ，
如图，
则 = ， = ， ∠ = ∠ ，
∴ − = − = = .
（2）若 AB = 4 ， BE =
[答案]
1
BC ，直接写出 EF 的长．
2
的长为 或10.
以题串模型
例2 如图，在四边形 ABCD 中， ∠ABC = ∠ADC = 90∘ ，
∠BAD = 120∘ , AB = AD. ∠MAN = 60∘ ，射线 AM 交线段
点，将射线 AE 绕点 A 逆时针旋转 45∘ 交
直线 CD 于点 F ，连接 EF ．
（1）如图，点 E 在 BC 的延长线上，点 F
在 CD 的延长线上，试猜想线段 BE ， DF
与 EF 之间的数量关系，并加以证明.
备用图
[答案] − = ．
证明：如图，在线段 上截取线段 ，使得 = ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∘ − ∘ = ∘ = ∠ .
又 = ， ∴△ ≌△ ，
∴ = = + = + .
60 ∘ .
（2）若 ∠AEB = 60∘ ，则 ∠AFE = ____
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∘ − ��∘ = ∘ = ∠ .
又 = ， ∴△ ≌△ ，
∴ = = + = + .
②如图（3），将 △ ADH 绕点 A 顺时针旋转 90∘ ，得到 △ ABP ，请画出
△ ABP ，并证明 GH2 = BG2 + DH2 .
[答案] 如图（2）.
证明：连接 .
由题意得 ∠ = ∠ = ∠ = ∘ ，
∴ ∠ = ∘ ， ∴ = + .
图（2）
∵ = , ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∘ = ∠ ，
点，且 ∠DAE = 60∘ ，若 BD = 1 ， EC = 2 ，求 DE
的长．
（1）观察发现：注意到条件中有 AB = AC ，
∠BAC = 120∘ ，不妨把 △ ACE 绕点 A 顺时针旋转
120∘ ，得到 △ ABF ，连接 DF ，易证 △ ADF ≌△ ADE ，从而将线段 BD ，
ABCD 的面积为____．
（第1题）
2.如图，在 △ ABC 中， AB = AC = 3 + 3 ，
∠BAC = 90∘ ．点 D ， E 都在边 BC 上，且
∠DAE = 45∘ ．若 BD = 3CE ，则 DE 的长为_____.
（第2题）
3.在正方形 ABCD 中，点 E 是直线 BC 上一
2.如图，四边形 ABCD 是正方形， ∠EAF = 45∘ .
重要结论：
①BE + EF = DF ；
②∠AFD = ∠AFE .
3.如图， △ APB 是等腰直角三角形， ∠APB = 90∘ ， ∠CPD = 45∘ .
作法：如图，旋转 △ PAC 至 △ PBE 的位置,使 PA 与 PB 重合,连接 DE .
∘ BF = EC = 2 ，
DE ， EC 集中在 △ FBD 中，因为 ∠FBD 的度数是_____，
BD = 1 ，所以 DE 的长为____．
（2）类比探究：如图（2），在 △ ABC 中， ∠CAB = 60∘ ， AB = AC ，点
D ， E 为 BC 边上的点，且 ∠DAE =
强化训练
4.如图， △ ABC 是边长为3的等边三角形， △ BDC 是等腰三
角形，且 ∠BDC = 120∘ ．点 M ， N 分别在 AB ， AC 上，
6
且 ∠MDN = 60∘ ，连接 MN ，则 △ AMN 的周长为___．
5.问题背景：如图（1），在 △ ABC 中，
AB = AC ， ∠BAC = 120∘ ，点 D ， E 为 BC 边上的
[答案]
.
30∘
， BD = 2 ， EC =
3
，求 DE 的长.
2
作业：
▶▶ 完成练习册相关习题
= ,
∴ = + .
（2）当点 E 在线段 CB 的延长线上时.
+ =
①如图（4）， EF ， BE ， DF 之间的数量关系为_______________;
= +
②如图（5）， BG ， DH ， GH 之间的数量关系为__________________.
模型总结
1.如图，四边形 ABCD 是正方形， ∠EAF = 45∘ .
重要结论：
①BE + DF = EF ；
②∠AEB = ∠AEF , ∠AFD = ∠AFE .
模型总结
如图， ∠BAD = 120∘ , ∠B = ∠D = 90∘ , AB = AD , ∠EAF = 60∘ .
作法:如图，旋转 △ ABE 至 △ ADG 的位置,使 AB 与 AD 重合.
重要结论：
①BE + DF = EF ；
②∠AEB = ∠AEF , ∠AFD = ∠AFE .
如图，旋转 △ PAC 至 △ PBE 的位置,使 PA 与 PB 重合,连接 DE .
重要结论：
AC2 + BD2 = CD2 .
强化训练
1.如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别是边 BC ， CD
上的点， ∠EAF = 45∘ ， BE = 3 ， CF = 4 ，则正方形
36
连接 ．
又 = ， ∠ = ∠ = ∘ ，
∴△ ≌△ ，
∴ = ， ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = ∘ .
∵ ∠ = ∘ ， ∴ ∠ = ∘ = ∠ .
又 = ，
∴△ ≌△ ， ∴ = ，
[答案] 如图（1）.
图（1）
证明：连接 .
∵ = ， ∠ = ∠ = ∘ ， = ，
∴△ ≌△ ， ∴ = ， ∠ = ∠ ，
半角模型探究系列
以题串模型
例1 一题多问 如图（1），四边形 ABCD 是正方形， ∠MAN = 45∘ ，射线
AM 分别与直线 BC 、直线 BD 交于点 E ， G ，射线 AN 分别与直线 CD 、直
线 BD 交于点 F , H .
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
（1）当点 E 在线段 BC 上时.
BC 于点 E ，射线 AN 交线段 CD 于点 F .
（1）判断 BE ， DF ， EF 之间的数量关系，并加以证明.
[答案] = + .
证明：将 △ 绕点 逆时针旋转 ∘ ，得到 △ ，
如图，
则 = ， = ， ∠ = ∠ ，
∴ − = − = = .
（2）若 AB = 4 ， BE =
[答案]
1
BC ，直接写出 EF 的长．
2
的长为 或10.
以题串模型
例2 如图，在四边形 ABCD 中， ∠ABC = ∠ADC = 90∘ ，
∠BAD = 120∘ , AB = AD. ∠MAN = 60∘ ，射线 AM 交线段
点，将射线 AE 绕点 A 逆时针旋转 45∘ 交
直线 CD 于点 F ，连接 EF ．
（1）如图，点 E 在 BC 的延长线上，点 F
在 CD 的延长线上，试猜想线段 BE ， DF
与 EF 之间的数量关系，并加以证明.
备用图
[答案] − = ．
证明：如图，在线段 上截取线段 ，使得 = ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∘ − ∘ = ∘ = ∠ .
又 = ， ∴△ ≌△ ，
∴ = = + = + .
60 ∘ .
（2）若 ∠AEB = 60∘ ，则 ∠AFE = ____
∴ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∘ − ��∘ = ∘ = ∠ .
又 = ， ∴△ ≌△ ，
∴ = = + = + .
②如图（3），将 △ ADH 绕点 A 顺时针旋转 90∘ ，得到 △ ABP ，请画出
△ ABP ，并证明 GH2 = BG2 + DH2 .
[答案] 如图（2）.
证明：连接 .
由题意得 ∠ = ∠ = ∠ = ∘ ，
∴ ∠ = ∘ ， ∴ = + .
图（2）
∵ = , ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∘ = ∠ ，
点，且 ∠DAE = 60∘ ，若 BD = 1 ， EC = 2 ，求 DE
的长．
（1）观察发现：注意到条件中有 AB = AC ，
∠BAC = 120∘ ，不妨把 △ ACE 绕点 A 顺时针旋转
120∘ ，得到 △ ABF ，连接 DF ，易证 △ ADF ≌△ ADE ，从而将线段 BD ，
ABCD 的面积为____．
（第1题）
2.如图，在 △ ABC 中， AB = AC = 3 + 3 ，
∠BAC = 90∘ ．点 D ， E 都在边 BC 上，且
∠DAE = 45∘ ．若 BD = 3CE ，则 DE 的长为_____.
（第2题）
3.在正方形 ABCD 中，点 E 是直线 BC 上一
2.如图，四边形 ABCD 是正方形， ∠EAF = 45∘ .
重要结论：
①BE + EF = DF ；
②∠AFD = ∠AFE .
3.如图， △ APB 是等腰直角三角形， ∠APB = 90∘ ， ∠CPD = 45∘ .
作法：如图，旋转 △ PAC 至 △ PBE 的位置,使 PA 与 PB 重合,连接 DE .
∘ BF = EC = 2 ，
DE ， EC 集中在 △ FBD 中，因为 ∠FBD 的度数是_____，
BD = 1 ，所以 DE 的长为____．
（2）类比探究：如图（2），在 △ ABC 中， ∠CAB = 60∘ ， AB = AC ，点
D ， E 为 BC 边上的点，且 ∠DAE =
强化训练
4.如图， △ ABC 是边长为3的等边三角形， △ BDC 是等腰三
角形，且 ∠BDC = 120∘ ．点 M ， N 分别在 AB ， AC 上，
6
且 ∠MDN = 60∘ ，连接 MN ，则 △ AMN 的周长为___．
5.问题背景：如图（1），在 △ ABC 中，
AB = AC ， ∠BAC = 120∘ ，点 D ， E 为 BC 边上的
[答案]
.
30∘
， BD = 2 ， EC =
3
，求 DE 的长.
2
作业：
▶▶ 完成练习册相关习题
= ,
∴ = + .
（2）当点 E 在线段 CB 的延长线上时.
+ =
①如图（4）， EF ， BE ， DF 之间的数量关系为_______________;
= +
②如图（5）， BG ， DH ， GH 之间的数量关系为__________________.
模型总结
1.如图，四边形 ABCD 是正方形， ∠EAF = 45∘ .
重要结论：
①BE + DF = EF ；
②∠AEB = ∠AEF , ∠AFD = ∠AFE .
模型总结
如图， ∠BAD = 120∘ , ∠B = ∠D = 90∘ , AB = AD , ∠EAF = 60∘ .
作法:如图，旋转 △ ABE 至 △ ADG 的位置,使 AB 与 AD 重合.
重要结论：
①BE + DF = EF ；
②∠AEB = ∠AEF , ∠AFD = ∠AFE .
如图，旋转 △ PAC 至 △ PBE 的位置,使 PA 与 PB 重合,连接 DE .
重要结论：
AC2 + BD2 = CD2 .
强化训练
1.如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别是边 BC ， CD
上的点， ∠EAF = 45∘ ， BE = 3 ， CF = 4 ，则正方形
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连接 ．
又 = ， ∠ = ∠ = ∘ ，
∴△ ≌△ ，
∴ = ， ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = ∘ .
∵ ∠ = ∘ ， ∴ ∠ = ∘ = ∠ .
又 = ，
∴△ ≌△ ， ∴ = ，