命题公式及其真值表

第二节 命题公式及其真值表
在上节中，用,,p q r L 表示确定的简单命题。

简单命题又称为命题常项或命题常元。

命题常项有确定的真值。

在数理逻辑中，不仅要研究具体的逻辑关系，还要研究抽象的逻辑关系，因而不仅要有命题常项，还要有命题变项。

称真值可以变化的简单陈述句为命题变项或命题变元，仍然用,,p q r L 表示命题的变项。

命题常项、命题变项及联结词可按下述定义合式的公式。

定义2.1 （1）单个的命题变项（或常项）是合式公式；（2）若A 是合式公式，则（¬A ）也是合式公式；（3）若A ，B 是合式公式，则（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）也是合式公式；（4）有限次地应用（1）～（3）形成的符号串都是合式公式。

这样定义的合式公式也称为命题公式，简称公式。

单独使用（¬A ）
，（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）时，外层括号可以省去，即可写成¬A ，A ∧B ，A ∨B ，A →B ，A ↔B 。

在定义 2.1.中出现的A ，B L 是用来表示任意的合式公式的。

在以下的论述中出现的A ，B ，C 等也同样是用来表示任意公式的。

定义2.2 设1p ，2p L ，n p 是出现在公式A 中的全部的命题变项，给1p ，2p L ，n
p 各指定一个真值，称为A 的一个赋值或解释。

若指定的一组真值使A 的真值为1，则称这组真值为A 的成真赋值（或成真解释）。

若指定的一组真值使A 的真值为0，则称这组真值为A 的成假赋值（或成假解释）。

本书中对含n 个命题变项的公式的赋值形式做如下规定：
（1）
设A 中含的命题变项为1p ，2p L ，n p ，赋值12n a a a L （i a 为0或1）是指
11p a =，22p a =，L ，n n p a =。

（2）
若出现在A 中的命题变项为p ，q ，r ，L ，赋值12n a a a L 是指1p a =，
2q a =，L ，即按字典顺序赋值。

例如，设A p q =→，则A 有4组赋值：
00，01，10，11，其中10是成假赋值，其余的都是成真赋值。

含n 个命题变项的公式有2n
组赋值。

将公式A 在所有赋值之下的取值情况列成一张表，称为A 的真值表。

表2.1 基本复合命题的真值表
p q
p ¬ p q ∧ p q ∨
p q →
p q ↔
0 0 1 0 0 1 1 0 1
1
1
1
1
1 0 0 0 1 0 0 1 1 0
1
1
1
1
例2.1 求下面给定公式的真值表如表3所示。

表2.2
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1
1
1
真值表的排列顺序是按照赋值的二进制大小从小到大的往下依次排列。

从表2.2可以看出，，第1个公式有5个成真赋值：000，001，011，101，111；有3个成假赋值：010，100，110。

第2个公式无成假赋值。

第3个公式无成真赋值。

定义2.3　设A 为一公式
（1） 若A 在它的各种赋值下取值均为真（即无成假赋值），则称A 为重言式或永真
式（tautological ）。

重言式可以用1（或T ）表示。

（2） 若A 在它的各种赋值下取值均为假（即无成真赋值）
，则称A 为矛盾式或永假式(contradiction 或absurdity)。

矛盾式可以用0(或F)表示。

（3） 若A 至少存在一组成真赋值（或者A 不是矛盾式）
，则称A 是可满足式(contingency)。

在例2.1中，（1）中公式是可满足式，但不是重言式。

（2）中公式是重言式，当然也是可满足式。

（3）中公式是矛盾式。

由合式公式的定义可知，n 个命题变项可以形成无穷多个形式各异的公式。

但是，在这
些公式中，有的具有相同的真值表，即它们的真值相同。

例如，公式p q →，¬q →¬p ，
¬p ∨q ，¬¬q ∨¬p 等，它们的形式虽然不同，但是它们的真值相同，在所有4个赋值中，10是它们的成假赋值，00，01，11都是它们的成真赋值。

因而它们的真值表是相同的。

要讨论的问题是，n 个命题变项到底可以形成多少种真值不同的公式呢？为了回答这个问题，下面给出真值函数的概念。

定义 2.4 n 维卡氏积12{0,1}{0,1}{0,1}{(,,,):01}n i i n x x x x x x ×××====L L 14444244443
个
或记
为{0,1}n 。

{0,1}n 到{0,1}的函数称为n 维真值函数。

若F 是{0,1}n
到{0,1}的真值函数，常记为：F ：{0,1}n
→{0,1}。

关于卡氏积{0,1}n 与函数的概念请见集合论部分。

p q r （p ∨q ）r →（q ∨p ））（p → ∨r ¬ (p q →)∧q ∧r
{0,1}n 中共有2n 个元素，00L 0，00L 1，L ，11L 1。

真值函数F 在每个元素下只
能取0或者1，因而{0,1}n
到{0,1}共可生成22n
个不同的真值函数。

每个真值函数F 对应无穷多个含有n 个命题变项的合式公式，这些合式公式的真值与F 的函数值相同。

2n =时，共可生成2
2216=个真值函数。

它们对应由2个命题变项p 与q 所构成的真
值不同的合式公式。

表2.3 列出了2n =时的全体真值函数。

每个i F （0,1,,15i =L ）对应无穷多个p ，q 所形成的公式。

例如， p ∧¬p ，¬（p q →）∧q ，q ∧¬q 等均与0F 真值相同（它们都是矛盾式），p ∨¬p ，（p q →）∨¬q ，（¬p ∨q ）∨¬q 等与15F 的真值相同（它们都是重言式），而p q →，¬p ∨q ，¬q →¬p 等与13F 真值相同。

表2.3
p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
凡是对应同一个真值函数的公式均称为是等值的。

于是p q →,¬p ∨q ,¬q →¬p 等两两都是等值的。

下小节将给出公式A 与B 等值的定义。

0F 1F
2F 3F 5F 4F 6F 7F 8F 9F 10F 11F 12F 13F 14F 15
F。