最值问题专题练习

最值问题训练

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（05辽宁）若，则a的取值范围是( )

Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.

2．（05福建）下列结论正确的是（）

A．当 B.

C．的最小值为2 D.当无最大值

3．（05辽宁）在Ｒ上定义运算：．若不等式对任意实数x成立，则（ ）

Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.

4．（06年江苏）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立

的是（ ）

A. B.

C. D.

5．(05重庆）若动点()在曲线上变化，则的最大值为（）

A. B.

C. D.2

6．（05浙江卷）已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则

（　）

A. ⊥

B. ⊥(－)

C. ⊥(－)

D. (＋)⊥(－)

7．（06年福建卷）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于 （　）

A. B. C.2 D.3

8．（2006年安徽卷）设，对于函数，下列结论正确的是（ ）

A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值

9．（06年广东卷）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范

围是（ ）

A. B. C. D.

10．（06年陕西卷）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小

值为（ ）

Ａ.2 Ｂ.4 C.6 D.8

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．已知，则的最小值是__________．

12．在△OAB中，O为坐标原点，，则△OAB的面积达到最大值时，＿＿＿＿＿

13．（05江西卷）设实数x, y满足＿＿

14．（05年江苏）在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是__________．

15．已知函数在[0,1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为＿＿＿＿16．( 06年湖南）如图2,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是 ;当时,的取值范围是 ．

三、解答题（共4小题，10+12+12+12=46，共46分）

17．（本题10分）若函数的最大值为，试确定常数a的值．

18．（本题12分）（06年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x ＝－与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围．

19．（本题12分）(05重庆卷)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为

(2,0)，右顶点为．(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围．

20．（本题2分）（06年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B 是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明·为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．

参考答案

一、选择题

1．C 提示：①当，即时，无解；

②当，即时，，故选C．

2．B 提示：(A)中lgx不满足大于零,(C)中的最小值为2的x值取不到,

(D) 当x=2时有最大值,选(B)

3．C 提示：∵，∴不等式　对任意实数x成立，则对任意实数x成立，即使对任意实数x成立，所以，解得，故选C．

4．C 提示：因为，所以（A）恒成立；

在（B）两侧同时乘以得

，所以（B）恒成立；

（C）中，当a>b时，恒成立，a<b时，不成立；

（D）中，分子有理化得恒成立，故选（C）

5．A 提示：由曲线方程得，

＝∵－b≤y≤b，∴若即b≥4，则当y=b时，最大值为2b；若即0＜b＜4，则当时，最大值为．

（本题也可用三角代换求解）

6．C 提示：由|－t|≥|－|得|－t|2≥|－|2展开并整理得，由，所以，得,即,选(C)，

7．B 提示：，解得，选B

8．B 提示：令，则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选B．

9． D 提示：解：由交点为，

（1）当时可行域是四边形OABC，此时，

（2）当时可行域是△OA此时，．

10．B 提示：， ∴≥9，≥4．

二、填空题（每题4分，共24分）

11． 提示： 表示直线＝0上动点P（x,y）到点（1,1）的距离，的最小值就是点（1,1）到直线＝0的距离，可求得．

12． 提示：

，当即时,面积最大．

13．

提示：表示两点(0,0)，P(x,y)的斜率，作出 不等式组表示的平面区域即△ABC及其内部，由图形可得AO的斜率最

大，可求得A（1，），

14．－2 提示：如图,

O

C

B

A

= 即的最小值为－2．

M

15． 提示：若a＞1，与是增函数， 为增函数，f(x)的最大值为f(1)，最小值为f(0)，所以f(1)+f(0)=a；若0＜a＜1，与是减函数，为减函数，f(x)的最大值为f(0)，最小值为f(1)，所以f(0)+f(1)=a；故＋

＝a，解得a＝

16．， 提示：解析:延长OP交AB于N，由A、B、N三点共线知

而

则 ，

当时，

三、解答题

17．解：

因为的最大值为的最大值为1，则

所以

18．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b 由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2

f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

x（－，－）－（－，1）1（1，＋）

f（x）＋0－0＋

f（x）极大值极小值

所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋）

递减区间是（－，1）

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值．

要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c

解得c－1或c2

19．解：（Ⅰ）设双曲线方程为

由已知得

故双曲线C的方程为

（Ⅱ）将

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即①设，则

而