排列组合综合应用教案

排列组合综合应用
一、教学目标
（1）能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题；
（2）进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能；
（3）熟练应用排列组合问题常见解题方法；
（4）进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力．
二、教学重点难点
重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用
难点：解题思路的分析．
三、教学过程
（一）预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性．（二）情景导入、展示目标
上一节，我们已经分别对排列组合的三类问题做了较深入的研究．排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口．因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题的解题方法得以快速准确求解．今天我们再解决以下几类综合问题．
（三）合作探究、精讲点拨
1．能排不能排问题（即特殊元素在特殊位置上有特别要求）
例1（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
（2）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
（3）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
（4）7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？
解析：解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法．解：（1）先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同
学，共种方法；
（2）先考虑甲、乙站在两端的排法有种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有种，共5522A A ⋅种方法；
（3）先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有种，再在余下的5个位置排另外5位同学排法有种，共5525A A ⋅种方法；本题也可考虑特殊位置优先，即两端的排法有，中间5个位置有种，共5522A A ⋅种方法；
（4）分两类乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有种，中间5个位置选1个安排乙的方法有，再在余下的5个位置排另外5位同学的排
法有，故共有⋅+1566A A 5515A A ⋅种方法；本题也可考虑间接法，总排法为，不符合
条件的甲在排头和乙站排尾的排法均为，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站
排尾的情况，故共有7657652A A A -+种．
点评：上述问题归结为能排不能排问题，从特殊元素和特殊位置入手解决，抓住了问题的本质，使问题清晰明了，解决起来顺畅自然．
变式训练1 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？
简答：对特殊元素—数学和体育进行分类解决
（1）数学、体育均不排在第一节和第六节，有种，其他有种，共有2444A A ⋅种；
（2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种，其他有种，共有种；
（3）数学排在第一节、体育不在第六节有种，其他有种，共有1444A A ⋅种；
（4）数学不排在第一节、体育排在第六节有种，其他有种，共有1444A A ⋅种；
所以符合条件的排法共有()214444442121504A A A A ++==种
本题也可采用间接排除法解决．
不考虑任何限制条件共有种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在
第六节有种；（2）体育排在第一节有种；考虑到这两种情况均包含了数学排在第
六节和体育排在第一节的情况种所以符合条件的排法共有6546
542504A A A -+=种．
变式训练2 （2005北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ）
A ．种
B ．种
C ．种
D ．种
简答：本题在解答时将五个不同的子项目理解为5个位置，五个工程队相当于5个不同的元素，这时问题可归结为能排不能排排列问题（即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题），先排甲工程队有，其它4个元素在4个位置上的排法为种，总方案为种．故选B ．
2．相邻不相邻问题（即某些元素不能相邻的问题）
例2 7位同学站成一排，
（1）甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
（3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？
解析：相邻排列组合问题一般采用大元素法，即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，也叫“捆绑法”．不相邻排列问题（即某两或某些元素不能相邻的排列问题）一般采用“插空法”．
解：（1）第一步、将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为种，
第二步、“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有种，所以共5353720A A ⨯=种；
（2）第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共种方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空挡中的任何3个都符合要求，排法有种，所以共有43451440A A ⋅=种；（3）先排甲、乙，有种排法，甲、乙两人中间插入的2人是从其余5人中选，有种排法，将已经排好的4人当作一个大元素作为“新人”参加下一轮4人组的排列，有种排法，所以总的排法共有224254960A A A ⋅⋅=种．
点评：相邻问题一般采用 “捆绑法”．不相邻问题（即某两或某些元素不能相邻的排列问题）一般采用“插空法”．
变式训练3 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．
相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
简答：第一步、将1和2“捆绑”成一个大元素，3和4“捆绑”成一个大元素，5和6“捆绑”成一个大元素，第二步、排列这三个大元素，第三步、在这三个大元素排好后产生的4个空挡中的任何2个排列7和8，第四步、“释放”每个大元素（即大元素内的每个小元素在“捆绑”成的大元素内部排列），所以
共有323
4222576A A ⨯⨯⨯⨯=个数． 3．多元限制问题
例3 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个？
解析：按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数．
解：法1 考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有3
25555C C A 种，其中0
居首位的有3
14544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314555544C C A C C A -＝11040个．
法2 按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8． 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的．
①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有3
25545C C A 个；
②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有1
4A 种排法，再选
三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有3
1415444C C A A 种排法．
综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有3
25545C C A ＋31415444C C A A ＝
11040个．
点评：对于受限元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和．
变式4．九张卡片分别写着0~8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？
简答：无6时有2738A A -个，有6时有2（221733
28A C A C -）个；共有（2738A A -）
+2（221733
28A C A C ）=602个． （四）反思总结，当堂检测
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测．
四、板书设计
排列组合综合问题
第二课时
一预习检查
2相邻不相邻问题．
3． 多元限制问题
二合作探究、精讲点拨
例2
例3
1．能排不能排问题
例1
三、小结
五、作业布置
1．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 多少个．
2．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 多少种．
3．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有多少个？。