广东金融学院金融工程课件第三章远期与期货定价

（二）复利 复利是一种将上期利息转为本金并一并计息的方法。假设金额A 以 利率r 投资了n 期，投资的终值是：
F A1rn
(1+r)n也称为复利终值系数。
例 假设某投资者将1000元存入银行，存期5年，年利率10％，按年 复利计息，5年后的终值是1000×(1+10％)5＝1610.51元。
（三）连续复利
• 令已知现金收益的现值为I ，对黄金、白
支付已知现金收益资产的远期价 值I
• 构建组合：
组合A ： 一份远期合约多头加上一
笔数Ke额r(Tt为)
的现金。
组合B ： 一单位标的证券加上利率 为无风险利率、期限为从现在到现金收益
派发日、本金为I 的负债。
• 远期合约到期时，两组合都等于一单位标 的资产： fKre(Tt)SI
资产
率，利率远期或外汇远期
(2)股票指数
无收益资产的远期价值I
•
无收益资产是指在远期到期前不产生
现金流的资产，如贴现债券。
•
构建组合：
组合A ： 一份远期合约多头加上一笔
数额K为er(Tt)
的现金（无风
险投资）
组合B ： 一单位标的资产。
无收益资产的远期价值II
• 远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产，因此 现值必须相等。
• 无收益资产的现货-远期平价定理：对于无 收益资产而言，远期价格等于其标的资产 现货价格的无风险终值。
S
Ser(T-t)
t
T
反证法
• 运用无套利原理对无收益资产的现货-远期 平价定理的反证
– KSre(Tt)? – KSre(Tt)?
案例3.1 I
• 6 个月期的无风险年利率为4.17% 。市场 上正在交易一份标的证券为一年期零息债、 剩余期限为6 个月的远期合约多头，其交 割价格为970 元，该债券的现价为960 元。 请问对于该远期合约的多头和空头来说， 远期价值分别是多少？
• Financial Engineering
阮坚 Email：
Tel： weibo：/jrjl
第三章 远期与期货定价
基础知识
一、利率有关问题 （一）单利
对利息不再计算利息，计算公式是：
I A n r F A 1 n r
式中，I为利息额，A为本金现值，r为每期利率，n为计息期数， F为本利和（终值）
• 因此在大多情况下，我们可以合理地假定
2. 远期合约定价
基本假设
• 没有交易费用和税收 • 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 • 远期合约没有违约风险 • 允许现货卖空行为
• 当•套利这机些会假出设现的时，含市义场是参：与者将参与套利活动，从而
使套利机会消失，其理论价格就是无套利机会下的均衡
• 期货价格被低估
• ②套利：
0时刻
T时刻
1.卖空现货：40
1.投资得本利和 ：40.50
2.按年利率r进行期限为T投资：-40 2.交割远期合约，支付：-39
3.购买远期合约：0
3.再用期货交割中所得的证券冲抵原 来的现货空头部位。
合计：0
合计：40.50-39=$1.50
远期价格的期限结构
• 远期价格的期限结构描述的是不同期限远 期价格之间的关系。
案例3.1 II
• 根据题意，有 S = 960; K = 970; r = 4.17%; T −
t = 0:5 • 该f 远 期S 合K 约e 多r ( T 头 t ) 的 9 远6 0 期 价9 7 值0 e f 4 . 为1 7 % ： 0 . 5 1 0 . 0 2
• 该远期合约空头的远期价值为
– 远期合约签订后，由于交割价格不再变化，多 空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化
• 远期价格（Forward Price）：
– 使得远期价值为零的交割价格（理论交割价格）
– 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交 割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等 于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对 于多空双方来说就都不为零 ，实际上隐含了套 利空间。
– 在远期合约签订以后，交割价格已经确定，远 期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定 等于交割价格。
• 期货价格（Futures Prices）
– 为使得期货合约价值为零的理论交割价格。
– 对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值” 这个概念。基于期货的交易机制，投资者持有期货 合约，其价值的变动来源于实际期货报价的变化。 由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此 期货合约价值在每日收盘后都归零。
（一）现值
按贴现率r 计算，n 期后得到的金额F 的现值计算公式为：
AF/(1r)n
1/(1 r)n 被称作现值系数。
（二）连续复利现值
在连续复利现值的情况下，按贴现率r 计算，n 年（期）后得到F 元
的现值计算公式为：
FA ern AF ern
1. 远期价格与期货价格
远期价值、远期价格与期货价格
• 由于使用的是I 的现值，所以支付一次和多 次现金收益的处理方法相同。
支付已知现金收益资产的现货－ 远期平价公式
• 根据F 的定义，可从上式求得：
fSIKre(Tt)
支付已知现金收益资产的远期价 值II
• 两种理解：
fSIKre(Tt)
– 支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于 标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与 交割价格现值之差。
– 一单位支付已知现金收I益K 资 产er(T的t)远期合约多头可 由一单位标的资产和 单位无风险负债构成。
• 套利的理论基础在于经济学中所谓“一价定律”，即忽 略交易费用的差异，同一商品只能有一个价格。
资产的分类
类型 1.无收益资产
典型代表
(1)贴现债券 (2)不支付股利的股票
2.支付已知现金收 (1)付息债券
益资产
(2)支付已知现金红利的股票
(3)贵金属
3.支付已知收益率 (1)货币：收益率为无风险利
价格。市场价格就是无套利机会时的价格。
• 期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味 着任何人无需成本就可取得远期和期货的多头和空头地 位。
主要符号
• T： 远期和期货合约的到期时刻，单位为年。 • t： 当前时刻，单位为年。T - t 代表远期
和期货合约中以年为单位的距离到期的剩余 时间。 • S： 远期（期货）标的资产在时间t 时的价 格。 • ST： 远期（期货）标的资产在时间T 时的价 格（在t 时刻此为未知变量）。
• K： 远期合约中的交割价格。
思考题
• 假设黄金现货价格为1000美元，市场普遍 认为1年后黄金现货价格会涨到2000美元， 请问：1年期黄金期货目前的价格应为1000 美元左右还是2000美元左右？
• 现货价格+持有成本
什么是套利？
• 套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒任 何损失风险且无需投资者自有资金的情况下有可能赚取利润的 交易策略（或行为）。
F
A1
R m
mn
有效利率
EAR
1
R m
m
பைடு நூலகம்
1
如果将计息次数m不断扩大，即计息频率不断提高，直到变为无穷大，
我们称之为连续复利(continuous compounding)：
mli mA1m Rmn AeRn
若A=100, R＝0.10, n＝1，以连续复利计终值为：100e0.1＝110.52 元。（与m＝365比较）。
− f = −10.02 元
• 例：期限为3个月的股票远期合约的价格为39美元。3个月后 到期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红 利。问：是否存在套利机会，如何套利？
• 已知：e0.053/121.012578
• ①判断： S e r ( T t) 4 0 e 0 .0 5 3 / 1 2 4 0 .5 0 3 9
f Ker(Tt) S
f SKer(Tt)
• 两种理解：
• 无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格
与交割价格现值的差额。
• 一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多
头和Ker(Tt)
无风险负债组成。
现货-远期平价定理
• 远期价格：
– F 就是使合约价值f 为零的交割价格K 。
FSer(Tt)
利率表示），则有：
AeRcn A(1Rm)mn m
所以
Rc
m ln 1
Rm m
Rm m e Rc / m 1
例： 某特定金额的年息为10%，每半年复利一次（半年计息一次）， 求一个等价的连续复利的利率。
根据题意已知，m=2，Rm＝0.10， Rc＝2ln（1+0.1/2）＝0.09758，即连续复利的年息应为9.758％
远期价格与期货价格的关系
• 当无风险利率恒定且对所有到期日都相同 时，其他条件相同的远期价格和期货价格 相等。
• 当标的资产价格与利率呈很强的正相关关 系时，期货价格高于远期价格
– 利率上升，标的资产价格上升时，期货价格通 常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结 算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率 将所获利润进行再投资。
– FSer(Tt)
– F*Sre*T(*t) – F *Fr*T e * ( t) r(T t)
• 案例3.3
已知现金收益的资产
• 已知现金收益的资产
– 在到期前会产生完全可预测的现金流的资产
• 例子
– 正现金收益的资产：附息债和支付已知现金红 利的股票
– 负现金收益的资产：黄金、白银（支付存储成 本）
我们通常所说的利率为年利率。但每期不一定恰好是一年，一年可分 为2期、4期等。此时，表示出的年利率为名义利率（每年复利m次 的年利率）。
一定期限内提高计复利的频率会对复利终值产生影响。若R为年利率， 则式
F A1Rn
说明一年复利一次的计算，其中A为投资额（本金现值）。
设一年内计m次复利，年利率为R，投资期限为n年，则终值为：
设本金A＝100元，年利率n＝10%，则年末终值如下表所示
复利频率
每年（m=1） 每半年（m＝2） 每季度（m=4） 每月（m＝12） 每周（m＝52） 每天（m＝365）
连续复利
100元在一年末的终值
110.00 110.25 110.38 110.47 110.51 110.52 110.52
例： 假设某债务人借款的利息为年息8％，按连续复利计息。而实际
上利息是一年支付一次。则一年计一次息（m＝1）的等价年利率为：
Rme0.0810.0833
即年利率为8.33％，这说明，对于1000元的借款，该债务人在年底 要支付83.3元的利息。
二、现值与贴现
现值的计算过程通常被称作贴现，所用的利率称为贴现率。
• 严格套利的三大特征：无风险/复制/零投资 • 在套利无法获取无风险超额收益的状态下，市场达到无套利均
衡，此时得到的价格即为无套利价格。
• 无套利分析法是衍生资产定价的基本思想和重要方法，也是金融学区 别于经济学“供给需求分析”的一个重要特征。
无套利定价原理(APT, Arbitrage
pricing theory)
• 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于 合约有效 期的长短。当有效期只有几个月 时，两者的差距通常很小。此外，税收、 交易费用、保证金的处理方式、违约风险、 流动性等方面的因素或差异都会导致远期 价格和期货价格的差异。
• 远期价格与期货价格的定价思想在本质上 是相同的，其差别主要体现在交易机制和 交易费用的差异上，在很多情况下常常可 以忽略，或进行调整。
因此，年利率10%（名义）保持不变，提高计复利的频率使100元的年 末终值增大。当m＝365时，终值F＝110.52元。 通常认为连续复利与每天计复利定价
（四）利率之间的转换
在计息利率（名义）相同时，以连续复利计息的终值最大；在终值相 同时，连续复利的计息利率最小。
如果Rc是连续复利的利率， Rm为与之等价每年计m次复利的利率（以年
• 无套利定价法的基本思路为：构建两种投资组合，
让其终值相等，则其现值一定相等；否则就可以进行套 利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资 组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。
• 众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价 格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机 会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根 据两种组合现值相等的关系求出远期价格。
• 交割价格（Delivery Price） • 远期价值（Forward Value）远期合约
本身的价值
– 多头或空头购买或出售合约本身给他们带来的 价值
– 签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合 约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合 约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值 在签署合约时等于零。