2013年广东省中学数学教育教学优秀论文--钱耀周

f Machine Input x Output f (x )
图1
关注问题实际背景 优化数学课堂教学
佛山市南海区南海中学钱耀周
摘要:新课标明确指出“高中数学课程应提供基本内容的实际背景,反映数学的应用价值,开展‘数学建模’的学习活动,设立体现数学某些重要应用的专题课程.高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学应用意识,提高实践能力.”作为一种导向,本文从“数学问题生活化,生活问题数学化”两方面入手,就培养学生应用意识的数学课堂教学的优化作一探讨. 关键词:数学生活化；生活数学化；数学应用意识；数学课堂
《普通高中数学课程标准(实验)》明确指出高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值,增强应用意识,形成解决简单实际问题的能力.新课程的基本理念第五点是发展学生的数学应用意识,指出高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系,促进学生逐步形成和发展数学的应用意识,提高实践能力. 事实上,自2004年广东实施新课程改革以来,历经八载,不管是理念、内容以及课堂教学的实施,抑或是高考试题的命制,无不荡漾着新课程的影子!然而,“如何更好将新课改的理念渗透到日常的教学活动中,使得学生具有一定的数学视野,能关注数学所体现出来的实际价值、文化价值”依然是一项艰巨长期的工作.笔者认为,除了打好数学基础之外,还应注意培养学生在解决问题之余探究数学问题实际背景的能力,从而有效优化数学课堂教学.本文拟从“数学问题生活化,生活问题数学化”两方面入手,就培养学生应用意识的数学课堂教学的优化作一探讨,供同行参考.
1.从困惑到解惑,尽在生活中
众所周知,函数概念是高中数学中一块难啃的骨头.如果我们在课堂上机械的照读教材的阐述,只关注如何从集合到集合进行元素对应,定会弄得学生晕头转向.倘若我们能关注到函数的英语表述 “Function ”,它是指功能,操作的意思,在教学中借助图1:把函数(不妨设()2f x x =)比喻成一台机器,这台机器接收了
一个输入x ,就会把进行平方,这样就制造出一
个输出结果()2f x x =.学生理解起来将不会觉
得枯燥无味,课堂教学也将充满趣味性以及有效性.事实上,把函数看成一台机器这种理解函数的思维在理解复合函数时的作用更加明显!
如图2:把复合函数看作“流水生产线”,把原材料x 输进第一台机器g ,出来的是半成品()g x ,这个半成品经流水线到第二台机器f ,经过第二台机器f 的加工处理,出来的是成品()()f g x .从这条“流水生产线”去解析复合函数的概念相对我们通常的讲授的方法,学生理解起来会轻松容易得多.
在函数概念的讲解方面,笔者有着深刻的体会,就是如果但是按照教材用集合的观点描述函数,学生对下面一类求解定义域的问题就会感到很难理解:
例1(1) 已知函数()y f x =的定义域为[]2,3,求函数()1y f x =+的定义域.
(2) 已知函数()1y f x =+的定义域为[]2,3,求函数()y f x =的定义域.
此类问题如果将函数看成一台“机器”的观点介绍给学生之后,他们解决上面那一类问题就感觉容易很多.因为把函数看成一台“机器”之后,第一次放进“机器”的原料“x ”和第二次放进同一台“机器”的原料“1x +”应该具有同样的适合那同一机器的能够处理的原料的范围,才能让那台机器安全顺利加工原料,生产出成品.然后再结合“函数的定义域就是函数自变量x 的取值范围”这个原则,就把上面一类“难题”解决了.由此可见,从困惑到解惑,尽在生活中.
2. 数学问题生活化，让数学走入生活
陶行知说:“教育只有通过生活才能产生作用并真正成为教育”.新课标提及:“数学是研究空间形式和数量关系的科学,是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具.数学科学是自然科学,技术科学等科学的基础,……,是人类文化的重要组成部分.”所以数学课堂的生活化是加强学生实践能力推进素质教育的必要途径.
2.1 一石激起千重浪
例2已知,,a b m R +∈,且a b >,求证:b b m a a m
+<+. 分析:这是一道源于教材的练习题,笔者把它放在课堂上作为一道典型例题处理.原因之一是因为这道练习题能浅显地说明不等式的基本证明方法,使得学生能比较容易系统性掌握不等式证明的思想方法,突出基础知识、基本技能以及基本学习活动经验.但是,这道题同时又是一道能很好地反映数学问题生活化的习题.下以课堂教学情境实录说明之.
课堂情景实录1:学生有意识地利用作差比较法、分析法、综合法证明了这道练习题,并且也有数学功底较好的学生利用了函数单调性的知识对该题作了证明.在学生的心里面,这似乎是一道再寻常不过的练习题而已.
课堂情景实录2:(探索之路!)看到全班的学生都抬起颇有成就感的头颅之时,我像往常一样报以赞赏的笑容,但此时的我并没有及时地转入另一道习题,而是随便问了一句:大家有没有分析过这个不等式的特征？结合题目中的条件和结论,你能否在现实生活中寻找到它所
依托的影子?
此时的教室,一片寂静,看上去,学生心中刚起伏的成就感刹那间似乎被这简短的问题彻底粉碎.不要小看这份寂静,课堂教学中问题底下难得的寂静往往意味着知识能量的膨胀,学生的思维在此刻高速地运转着,它是学生智慧的火花爆发前的信号.
不一会儿,“窃窃私语”像悠扬的旋律开始在教室里头由远至近传到我的耳边,这正是我在数学教学中一直以来所期盼的寂静过后能量的膨胀.我相信:此时的“窃窃私语”中必蕴涵有师生对知识的渴求点.于是，我开始鼓励我的学生大胆地说出自己的想法“大胆点,我们的想法没有对错、好坏之分.我们只求彼此对问题的认识能给我们全班同学带来极大的帮助,足亦！”
果然,一个平时成绩较好的同学大胆地站了起来,说出了自己的想法，“我分析了结论的结构,之前我猜想‘分数的分子和分母同时加上一个数则分数增大’,但经证明结论是错误的；后来我特别地注意到条件,于是猜想‘正真分数的分子分母同时加上一个正数,则该分数增大’；这是我从这道题的特征得到的表面结论.至于它在生活中的依托的影子,我觉得它与化学中的‘溶液中加溶质,则浓度增大’有关.（此时的课室开始有所躁动,不解的疑惑与茅塞顿开的赞赏之情如烟如雾地弥漫课堂.）
作为教师,看到这种情形,欢喜自然言溢于表,我肯定该同学的回答并鼓励他对问题的生活化影子作个较详尽的说明.
该同学似乎从课室情景及老师期盼的眼神中得到了更大的鼓舞,一口气说出了自己的看
法“我觉得结论左边的b
a
好比我们平时一杯糖水的浓度,如果我们在这杯糖水里面加些糖进去,
糖水必会变甜,这时的浓度就是结论的右边,而糖水的变甜也恰好反映了不等式的成立.
答声刚止,课室立刻像炸开了锅似的,学生的思维瞬间被大大激活！在这样的课堂上,同辈的认知介绍不但能激发学生学好数学的愿望,同时也能使得学生之间加强相互学习的能力.
课堂“喧闹”的气氛慢慢平息,下课铃声也将响起,该轮到我对问题作总结了:老师很欣喜地能够听到××同学把这道题精妙地生活化,同时通过这道题我们大家应该可以感觉到,生活中的数学问题与我们书上的数学问题其实有很大的关联,但却又不尽相同.一方面,我们要明白书本上的数学问题是从实际生活中的数学问题中作适当简单化、抽象出来的；另一方面,在我们运用我们所学的数学知识和技能解决实际问题时,要学会多考虑实际的情况,进行创造性的运用.同时,我相信定然还有同学对这道题的生活背景有其它的案例,希望这些同学能够把自己所想到的案例记在作业本上,明天的数学课我们将会对这些案例作一展览.
2.2 千树万树梨花开
生活本身是一个巨大的数学课堂.倘若教师能提供现实生活中的数学材料,创设接近学生生活实际的情景,这对培养学生从生活中收集数学信息,整理数学知识的能力必定大有裨益.这不,作业本上呈现出一派“千树万树梨花开”的可喜景象:
例题1的又一案例:建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好.我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积,那么住宅的条件变好.设地板面积为a 平方米,窗户面积为b 平方米,若窗户面积和地板面积同时增加相等的m 平方米,住宅的采光条件变好了,即有b b m a a m
+<+. 作业1 已知,,,,,b d a b c d R a c +∈<且试比较,,b d b d a c a c
++的大小,你能否把你的结论生活化? 结论:b b d d a a c c
+<<+； 生活化:两个不同浓度的溶液混合后,其浓度介于混合前两溶液的浓度之间！
作业2 ,a b R +∈,比较1
11a b a b ++与的大小,你能否把你的结论生活化？ 结论:1
11a b a b +>+；
生活化:将,a b 看作两电阻值,则a b +为串联电阻值,1
11a b +为并联电阻值,而物理学中已
知两电阻串联后电阻变大,并联后电阻变小.
作业3 试以例题1为依托,编写与该题目条件及结论相关的数学试题.
改编1 若0m >,试比较大小:
20042003与20042003m m ++. 改编2 求证:||||||1||||1||
a b a b a b a b ++≥++++ 改编3 b 克糖水中有a 克糖(0b a >>),若再添上m 克糖(0m >),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式 .
…… ……
看到同学们呈交的作业,我彷佛看到了这样的情景:“学生围绕着某一问题展开激烈的争辩,他们没有好坏之分,有的只是思维的自由翱翔……”,彷佛有一种声音不断在我耳边回荡:“数学与我有关,与实际生活有关,数学是有用的,我要用数学,我能用数学.”我在沉思:“这样的课堂效应难道不是我们的素质教育一直所追求的吗?这样的课堂难道不是优质课堂教学的一种模式吗?”
3.生活问题数学化，让生活走进数学
生活问题数学化,就是用数学的方法将一个表面上的非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题,其本质是建立合理的数学模型.
3.1 数学课堂中窥探生活
生活是数学问题永不枯竭的源泉.研究性学习是我国新世纪基础教育课程改革的一项新举措,从自然、社会和生活中选择有关专题进行研究并在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动.据此,教师应善于将生活中的事例构建成数学模型引进课堂,丰富课堂内容,使学生学有所思学有所用,让学生学会从生活中挖掘数学的源泉.
例2设某种汽车购买时费用为10万元,每年应缴保险费、养路费及汽油费共9千元,汽车的维修费为第一年2千元,以后每年比上一年增加2千元,则这种汽车使用多少年的年平均费用最少？
分析:年平均费用＝累计总费用÷累计年数.设使用n 年年平局费用最少,年平均费用为y ,则(1)100.9[0.20.2]1021()210n n n n n y n n
++++
⋅==++≥,等号当1010n n =,即10n =时成立. 应用题实际背景中隐含的知识点“若0,a >则12a a +
≥(等号当且仅当1a =时成立)；应用题在生活中的背景是:汽车的报废问题.通过该题把汽车的报废问题数学化,把学生熟知的生活事例引进数学课堂,学生从中可以看到,现实生活和数学知识却是息息相关,两者之间是一座相同的桥.通过这一过程的学习,学生觉得数学不是白学,学了即可用得上,是实实在在的知识,从而体会到数学本身的强大魅力,感觉到数学课堂充满着智慧和乐趣,大大激发了学生学习的积极性.
3.2 在数学活动中获得生活经验
趁着学生的乐趣犹存,教师不妨改变题目的实际背景,以此培养学生合乎数学理念的逻辑思维能力,如:
改编 甲乙两地相距5000米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度v 不得超过60千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分为
21500
v ⋅(千米/时)；固定部分为5元.为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行驶?
通过改编问题的实际背景,培养同学们合乎逻辑、准确地运用自己的数学思想和观点,其中尽管题目的背景不一样,但都是考查重要的基本不等式的应用.
新课标在“教学建议”中指出:“对不同的内容，可采用不同的教学和学习方式.例如,可采用收集资料、调查研究等方式,也可采用实践探索、自主探究、合作交流等方式,还可采用阅读理解、讨论交流、撰写论文等方式.”因此,教师要想方设法改变教学方式,联系生活实际,让学生在数学活动中获得生活经验,要寓数学知识于学生的喜闻乐见的活动之中,使抽象的数学知识以直观形象、丰富多彩的客观事物为载体,让学生体验到数学的内在价值,感到数学知识就在身边,生活中充满着丰富的数学问题. 4.“数学生活化，生活数学化”教学的再思考
有这么一个世人公认的事实:我国的学生(甚至包括大学生)的数学应用意识极其淡薄.其中,“课堂上的数学内容严重脱离实际”正是造就学生数学应用意识淡薄的重要原因之一.传统的数学课程的严重缺陷就是把数学设计成一套严密抽象的演绎体系.
从数学的本质看,新知是建立在旧知的基础上,如不考虑学生的生活经历,完全从抽象到抽象,时间一长学生就会感到数学太难了.实际上数学就在学生身边,所以,首先我们教师要善于把生活中的数学问题引入到我们的课堂,在这里,弗赖登塔尔给我们提供了一个很好的方法,他认为类比是建立数学内部与外部联系的一个极为有效的手段,因为通过对象之间的类比,可以由一个解释另一个,从而使学生产生兴趣,使人信服,并能形成抽象的想象能力.其次是我们教师要善于引导学生运用数学的眼光去观察和认识现实生活中的客观事物,在有关内容的教学中,应指导学生直接应用数学知识观察、分析、解决一些简单问题.例如,运用函数、数列、不等式、概率统计等知识直接解决生活中的实际问题.但是不管我们的教师怎样把生活中的数学问题经过改造后引入课堂,作为教育者的我们必须明白的是:学生学习哪些数学似乎是无关紧要的,只要它充满着联系.因为只有联系的,才是最具活力的；只有有活力的,课堂才是最有效的；只有有效的,才是教育所期待的.
参考文献
[1] 汪国华·数学应用意识培养，路在何方？·中学数学教学参考·2004(4)
[2] 廖英忠·让数学走入生活，让生活走进数学·高中数学教与学·2004(7)
[3] 余继光·高考数学命题改革的“六化”趋势·数学通讯·2004(13)
[4] 潘少华·数学教育中的“人做思维”与“机做思维”·数学通报·2010(8)。