2020年高考江苏版高考数学 13.4 直线、平面垂直的判定与性质

13.4 直线、平面垂直的判定与性质

挖命题

【考情探究】

分析解读空间的垂直问题是江苏高考的热点内容,几乎每年都考,主要考查面面垂直的判定与性质,偶尔涉及线面垂直的判定与性质,一般与平行关系综合在一起考查,一问线面,一问面面,在解答题的前两题中出现,属于简单题.在复习中,要注重表述的规范,逻辑的严谨以及定理、公理、定义使用的完备性,这是最近几年高考阅卷的重点.

破考点

【考点集训】

考点一直线与平面垂直的判定与性质

1.(2018江苏海安中学检测)设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,给出下列命题:

①若l⊥α,则l与α相交;

②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;

③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;

④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n.

其中正确命题的序号为.

答案①③④

2.(2018江苏苏州木渎中学期初)若α、β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为.(写出所有真命题的序号)

①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;

②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;

③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;

④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.

答案②④

3.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D为BC的中点.求证:AD⊥平面BB1C1C.

证明∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥AD.

∵AB=AC,且D为BC中点,∴AD⊥BC,

∵BC∩CC1=C,所以AD⊥平面BB1C1C.

考点二平面与平面垂直的判定与性质

1.(2017江苏无锡辅仁中学质检)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥平面ABCD,E为棱PA上一点.

(1)求证:BD⊥OE;

(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.

证明(1)因为平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,BD⊥AC,BD⊂平面ABCD,

所以BD⊥平面PAC,又因为OE⊂平面PAC,所以BD⊥OE.

(2)因为AB∥CD,AB=2CD,AC与BD交于点O,所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2,又因为AE=2EP,所以

CO∶OA=PE∶EA,所以EO∥PC,又因为PC⊂平面PBC,EO⊄平面PBC,所以EO∥平面PBC.

2.(2018江苏海门中学检测)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.证明:平面AEC⊥平面BED.

证明因为四边形ABCD为菱形,

所以AC⊥BD.

因为BE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,

所以AC⊥BE.又BE∩BD=B,

所以AC⊥平面BED.

又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.

炼技法

【方法集训】

方法一证明线面垂直的方法

1.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的条件.

答案必要不充分

2.(2018江苏通州中学期中)如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.

求证:PA⊥CD.

证明因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,

在Rt△ABC中,由AC=BC得,

∠ABC=30°,设AD=1,

由3AD=DB得,DB=3,则AB=4,则BC=2,

在△BDC中,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos 30°=3,所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AD.

因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,

所以PD⊥CD,由PD∩AD=D得,CD⊥平面PAB,

又PA⊂平面PAB,所以PA⊥CD.

方法二证明面面垂直的方法

1.(2018江苏如皋中学检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.

(1)求证:DC⊥平面PAC;

(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.

证明(1)因为PC⊥平面ABCD,

所以PC⊥DC.

又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,

所以DC⊥平面PAC.

(2)因为AB∥DC,DC⊥AC,

所以AB⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD,

所以PC⊥AB.

又AC∩PC=C,

所以AB⊥平面PAC.

又AB⊂平面PAB,

所以平面PAB⊥平面PAC.

2.如图,将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折,连接AC,FD,形成如图所示的多面体,且AC=.证明:平面ABEF⊥平面BCDE.

证明在正六边形ABCDEF中,连接AC,BE,设AC与BE的交点为G,易知AC⊥BE,且AG=CG=,

在多面体中,由AC=,知AG2+CG2=AC2,故AG⊥GC,

又GC∩BE=G,GC,BE⊂平面BCDE,

故AG⊥平面BCDE,

又AG⊂平面ABEF,

所以平面ABEF⊥平面BCDE.

过专题

【五年高考】

A组自主命题·江苏卷题组

1.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.

求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.

在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,

所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.

又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,

所以直线DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1⊂平面A1B1C1,

所以A1A⊥A1C1.

又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,