2018-2019学年高中新三维一轮复习数学浙江专版：课时

课时跟踪检测（五十七） 随机变量及其分布
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．若随机变量X 的分布列为
则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2]
D ．(1,2)
解析：选C 由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2]．
2．(2018·丽水一检)集装箱有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )
A.16625
B.96925
C.624625
D.4625
解析：选B 由题意知，获奖的概率为p ＝6C 26＝2
5
，记获奖的人数为ξ，ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，25， 所以4人中恰好有3人获奖的概率P (ξ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625
. 3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数为奇数”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )
A.5
12 B.12 C.712
D.34
解析：选D P (A )＝12，P (B )＝12，P (A )＝12，P (B )＝1
2
.
A ，
B 中至少有一件发生的概率为1－P (A )·P (B )＝1－12×12＝3
4，故选D.
4．已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，1
3，并且η＝2ξ＋3，则方差D (η)＝( ) A.32
9 B.89 C.439
D.599
解析：选A 由题意知，D (ξ)＝4×1
3×⎝⎛⎭⎫1－13＝89， ∵η＝2ξ＋3，∴D (η)＝4·D (ξ)＝4×89＝32
9.
5．设随机变量X 的概率分布列为
则m ＝________；P (|X －3|＝1)＝________. 解析：根据概率分布列的性质得出： 13＋m ＋14＋16＝1，得m ＝14， 随机变量X 的概率分布列为
所以P (|X －3|＝1)＝P (4)＋P (2)＝512.
答案：14 5
12
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·绍兴一模)已知p ＞0，q ＞0，随机变量ξ的分布列如下：
若E (ξ)＝4
9，则p 2＋q 2＝( )
A.49
B.12
C.59
D ．1
解析：选C ∵p ＞0，q ＞0，E (ξ)＝4
9
.
∴由随机变量ξ的分布列的性质得⎩⎪⎨⎪
⎧
q ＋p ＝1，pq ＋qp ＝4
9， ∴p 2＋q 2＝(q ＋p )2－2pq ＝1－49＝5
9
.
2．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )
A.35
B.34
C.1225
D.1425
解析：选D 由题意知甲中靶的概率为45，乙中靶的概率为7
10，两人打靶相互独立，同
时中靶的概率为45×710＝14
25
.
3．(2018·湖南十三校联考)甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为3
5和p ，且
甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为9
20.假设甲、乙两人射击互不影响，则p 的值
为( )
A.35
B.45
C.34
D.14
解析：选C 设：“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，
则P (A )＝35，P (A )＝1－35＝2
5，P (B )＝p ，P (B )＝1－p ，
依题意得35×(1－p )＋25×p ＝920，解得p ＝3
4
.
4．(2018·金华一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为1
3，乙、丙回老家过节的
概率分别为14，1
5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节
的概率为( )
A.5960
B.3
5 C.12 D.160
解析：选B “甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C )＝4
5
.
由题知A ，B ，C 为相互独立事件，
所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝23×34×45＝2
5，
所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝3
5
.
5．(2018·浙江重点中学适应性训练)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为1
3，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期
望E (X )为( )
A.24181
B.26681
C.27481
D.670243
解析：选B 依题意，知X 的所有可能值为2,4,6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝5
9. 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分， 此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有P (X ＝2)＝59，P (X ＝4)＝49×59＝20
81，P (X ＝6)＝⎝⎛⎭⎫492＝1681， 故E (X )＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681
.
6．(2018·湖州期末)甲、乙两人被随机分配到A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)，记分配到A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望E (X )＝______，方差D (X )＝________.
解析：∵X 的可能取值为0,1,2，∴P (X ＝0)＝
2×23×3＝4
9
， P (X ＝1)＝C 12×23×3＝4
9，P (X ＝2)＝C 223×3＝19
，
∴X 的分布列为
E (X )＝0×49＋1×49＋2×19＝2
3
，
D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－232×49＋⎝⎛⎭⎫1－232×49＋⎝⎛⎭⎫2－232×19＝49
.
答案：23 4
9
7．(2018·嘉兴一模)已知随机变量ξ的分布列如下：
则E (ξ)解析：由题意可得，b ＋a 2＋12－a
2＝1，
即b ＋a 2－a 2＝1
2
，b ∈[0,1]，a ∈[－1,1]．
E (ξ)＝0＋a 2＋2⎝⎛⎭⎫12－a 2＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34，当且仅当a ＝1
2时取等号， 故E (ξ)的最小值为3
4.
此时b ＝1
2.
答案：34 1
2
8．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B C )＝18，P (AB C )＝1
8，则P (B )＝
________，P (A B )＝________.
解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
P (A )·P (B )＝1
6
，
P (B )·P (C )＝1
8
，P (A )·P (B )·P (C )＝18
，
解得P (A )＝13，P (B )＝1
2，
∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝23×12＝1
3.
答案：12 1
3
9．有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入坐编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法．
(1)求n 的值．
(2)求随机变量X 的概率分布列． 解：(1)因为当X ＝2时，有C 2n 种坐法，
所以C 2n ＝6，即
n (n －1)
2
＝6， n 2－n －12＝0，解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4. (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意知X 的可能取值是0,2,3,4， 所以P (X ＝0)＝
1A 44＝1
24
， P (X ＝2)＝C 24×1
A 44＝624＝14，
P (X ＝3)＝C 34×2
A 44＝824＝13，
P (X ＝4)＝1－
124－14－13＝3
8
， 所以X 的概率分布列为：
10(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
(1)求甲以4比1获胜的概率．
(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率． (3)求比赛局数的分布列．
解：(1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是1
2.
记“甲以4比1获胜”为事件A ， 则P (A )＝C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫124－3·12＝18. 故甲以4比1获胜的概率为1
8
.
(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ， 乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫125－3·12＝532， 乙以4比3获胜的概率为P 2＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫126－3·12＝532， 所以P (B )＝P 1＋P 2＝
5
16
. 即乙获胜且比赛局数多于5局的概率为5
16.
(3)设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7.
P (X ＝4)＝2C 44⎝⎛⎭⎫124＝18
， P (X ＝5)＝2C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫124－3·12＝14， P (X ＝6)＝2C 35⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫125－3·12＝516， P (X ＝7)＝2C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫126－3·12＝516. 故比赛局数的分布列为：
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．某射击选手在射击比赛中，每次是否击中目标互不影响，击中目标的概率为4
5.该射
手可最多连续射击5次，当击中目标后停止射击，则该射手击中目标概率最大的射击次数为________．
解析：设射手在最多5次射击中击中目标的次数为X ， 则X ～B (5,0.8)，则恰好k 次击中击中目标的概率为
P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫45k ·⎝⎛⎭
⎫155－k ，k ＝0,1,2,3,4 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
P (X ＝k )≥P (X ＝k －1)
P (X ＝k )≥P (X ＝k ＋1)得⎩⎨
⎧
C k 5
⎝⎛⎭⎫45k ⎝⎛⎭⎫
1
55－k
≥C k －15
⎝⎛⎭⎫45k －1⎝⎛⎭⎫156－k ，
C k 5
⎝⎛⎭⎫45k
⎝⎛⎭
⎫155－k ≥C k ＋15
⎝⎛⎭⎫45k ＋1⎝⎛⎭⎫154－k
，
解得195≤k ≤24
5，∴k ＝4.
答案：4
2．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个 (n ＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．
(1)求X 的分布列、期望和方差；
(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．
解：(1)X 的取值为0,1,2,3,4，其分布列为
∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×1
5
＝1.5，
D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×1
5＝
2.75.
(2)由D (Y )＝a 2D (X )得2.75a 2＝11，得a ＝±2， 又E (Y )＝aE (X )＋b ，
∴当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝4.。