黑龙江省第一中学高考数学二轮复习专项备考讲义：六、数学“三选一”命题角度及解题技巧例析.doc

数学“三选一”命题角度及解题技巧例析
流星的永恒源于用生命划亮的光华，飞蛾的永恒源于用生命追求的光与热，人生的永 恒源于一次次“选择”，人生的转折点高考数学中也存在着这样的选择“三选一”。

选考部分实行超量命题，限量做题，rh 选修系列4的“几何证明选讲”、“坐标系与参数 方程”、“不等式选讲”各命制1个解答题，考生从3题中任选1题作答，若全选则按所做的 第一个题给分，
随着新课程的改革，大部分省份高考数学试题中出现了“三选一”试题，主要考察“几 何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”这三方面的内容，每一个内容都是独立 的，试题的难度由一开始的简单到现在很多同学也很难拿到满分io,既然是三选一所以我 们在讲课时也可以重点讲解哪部分，使学生选择的时候也有个先后，因此我们重点讲解了“坐 标系与参数方程”、“不等式选讲”，“坐标系与参数方程”这部分内容的学习可以让学生了解 极坐标系与直角坐标系的联系，以及我们用参数方程可以解决解析儿何屮很多最值的问题, “不等式选讲”涉及到不等式的性质，主要考察绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数 学思想，还有就是利用性质证明不等式。

命题角度一：坐标系与参数方程
【例1］ （2015新课标2卷）
工一I cos a （f 为参数，/工0）,其中0<a<7r.在以0 y = t sin a 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:p = 2siC 3:p = 2V3cos^
（I ）求C?与C3的交点的直角坐标；
（II ）若G 与C?相交于点A, 与C3相交于点3,求的最大值.
［答案］（I ）（0,0）和（近,色） （II ）当a 二迴时，AB 取得最大值，最大值为4. 2 2 6
【解析】（I ）曲线C?的直角坐标方程为/ +尸一2〉, = 0, 曲线G 的直角坐标方程为x 2 + y 2- 2屈 =0, V3
2
3 2
所以C?与G 的交点的直角坐标（°，。

）和（#，扌）
（II ）曲线G 的极坐标方程为& = a （pw /?,“工0）,英屮0 <a</r
因此力的极坐标为（2sina,a ）, B 的极坐标为（2^3 cos a ）
｛
：+ ；一2罕0 ,解得《
x +— 2 J 3x = 0 联立
2 sin © - 2A /
3 COS a =
4 sin （a ---- ）
、兀
当a = d 时，|AB |収得最大值，最大值为4.
6
【命题立意】本类问题主要考察学生在掌握了基本的参数方程的知识之后，对直角坐标与极 坐标的互化；极坐标方程-一直角坐标方程一一参数方程互化；直线参数方程中参数f 的 几何意义：14是直线上动点到定点的距离；利用参数方程求解最值问题；
【例2】(2015陕西卷)
的止半轴为极轴的建立极坐标系中，圆C 的极坐标方程为p = 2V3sin 3 (I )写出圆C 的直角坐标方程；
(II) P 为直线/上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.
［答案］(I ) x 2+(y-V3)2=3. (II) (3,0)
【解析】 解：(I )由p = 2^/3sin0得p? =2尽si n&
从而有x 2 + y 2=2V3y,所以x 2+(y-V3)2=3
i 斤
5)设阳+产亍，又C(。

")
则 PC = J （3 + 丄/）2 +（匣/_巧）2 =存+12 V 2 2
当/ = 0时，PC 収得最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0)
命题角度二：不等式选讲
【例1】(2015新课标1)
已知函数 /(x) = |x +1|-2|x -c\.a > 0
(I )当G = 1时，求不等式f(x) > 1的解集；
(II)若/•(*)的图象与兀轴围成的三角形面积大于6,求d 的取值范围. 【解析】 解：(I )当d = l 时,/(x)> 1化为卜+ 1| —2卜—1卜1>0
当x<-1时，不等式化为x-4>0,无解
2
当一lvxv 1时，不等式化为3x-2>0,解得一VXV1； 3
当xhl 时，不等式化为一x + 2>0,解得15xv2；
所以/(x) > 1的解集为jx||<x<2l
(II )由题设可得 f\x) = ]3兀+1 — 2⑦一1 <x<a,
-x + \ + 2a,x> a
2a — 1
所以函数/“)的图象与兀轴围成的三角形的三个顶点分别为A (丝上,0)
所以AB = 在直角坐标系兀Oy 中，直线/的参数方程为< x=3+-t
2
a 为参数)，以原点为极点，兀轴
2 .
B(2a +1,0), C(a9G +1), \ABC的面积为—(G +1)2,
2
由题设得彳(d + l)2>6,故a>2
所以d的取值范围(2,+oo).
【例2】(2015新课标2)
设a,b,c,d均为正数，且a + b = c + d,证明：
(I )若ab > cd ,则J~a -\-4b > Vc + 4d；
(II) y[ci + 4b > + 是|«-/?|<|c-J| 的充要条件.
〃+2A/Z^
【解析】解：(I)因为(需 +丽)2 二a + b + 2V^,(V^ +丽)2 二 C +
由题设a + b = c + d.ab>cd ,得(需 +丽)2>(& + J7)2 因此+ "J~b > yj~c + y[d (II) (i)若\a-b\<\c-d\则(a —疔v(c —MF
BP (a + b)2 - 4ab v (c + d)2一4cd
因为a + b = c + d ,所以ab > cd
由(I )知y[ci + y[b > -J~c + y[d
(II)若V^+。

贝y (V^+V^)2 > (yfc+V^)2
即a + b + 14ab > c-}-d + 2^/cd ,因为Q + b = c + 〃所以 ab > cd
于是(a-b)2 = (a + b)2 -4ab < (c + d)2 -4cd = (c-d)2 因此\a-b\<\c-d\,
综上y[ci + yfb > y[c + ^[d是ci — b < c—d的充要条件.
【命题立意】：根据学生常握的知识点重点考察1、绝对值三角不等式的解法……利用分类讨论思想；2、数形结合求最值问题；3、考察恒成立问题…••求参数的取值范围；
4、利用不等式性质，柯西不等式等证明不等式.
[点评]
数学高考屮的三选一这个大题给学生选择的空间，使学生根据自己所掌握的知识去选择自己最有把握的题去解，题的设置都是第一问基础知识的考察，第二问都是能力的考察，体现了运算求解能力，考查分类讨论的思想，数形结合思想、化归与转化思想.
不等式恒成立问题命题角度及解题技巧例析
高二数学备课组阎树森
不等式恒成立问题在高考屮具有重要的地位，这个问题历来是高考考查的一个热点，也是高屮学习的一个难点。

尤其含参不等式恒成立问题。

破解的关键在于将他们等价转化为基本的问题。

本文通过常见问题归类剖析，帮助同学们进一步对有关基本知识点的准确理解, 从而找到有效方法。

命题角度一:基本方法
1. 判别式法
典例：当XG R时，不等式x2-ox + l> 0恒成立，求臼的取值范围。

【解析】因为xeR,不等式x2-or + l>0恒成立.
所以△ = Q2—4<o,即一2<a<2.
变式1：当R时，不等式ax2-ax + l> 0恒成立，求曰的取值范臥
因为XG /?,不等式ax2 -ax + l>0恒成立.
当d=0吋，原不等式变为1>0,显然对任意xe R恒成立，所以d = 0适合题意；
[a > 0
当dHO时，应使彳9,即0Vd<2
[A = a2-4<0
2. 数形结合
从图彖入手，可以直观形彖的解决问题；
"/(X)< g(x)恒成立“等价于” /(兀)的图像在gd)的图像下方” "/(X)> g(x)恒成立“等价于” /(兀)的图像在g(x)的图像上方”
1 9
变式2：若0<兀5 —，恒有JT・Zog(M + lvO,求实数a的取值范围。

【解析】令/(x) = %2 + 1, g(x) = log“x,贝|J 1 < /(x) < ,
1 °
因为0 vxS —,恒有对+ lvlog“x,所以/(兀)的图像在g(x)的图像下方。

当。

>1时，因为0<x< — ,得g(x) = log“xvO,不满足题意；
2
当0 VdV 1时，/(兀)是增函数，g(x)是减函数，
当0<x<丄时，!</(%)<-
2 4
9 1 1 1
要使兀一・log a x^\< 0在0 v X 5 —时恒成立，应有g(—) > /(-)
2 2 2
即log “丄 >),解得d>(l)5,所以实数0的取值范圉是((丄)5,1)。

2 4 2 2
3.分离变量法
变式3：当XG R 时，不等式x 2-aVx 2+l+l> 0恒成立，求臼的取值范围。

解析：x 2 ・ + 1 +1 > 0 => d v : + = 2 + 1 + /
恒成立,
Vx 2+1 Vx 2 + 1 又Vx 2+1 >1，设Vx 2 + 1 =r,r> 1且易知函数于⑴= / + 】,虫[l,+oo)上单调递增,
t
故QV 2
5. 变换主元
变式4：当-l<a<4时，不等式x 2
^ax + l>0恒成立，求x 的取值范围。

解析：设f(a) = -ax + X 2
+ 1,・1,则.f (a)为一个以d 为自变量的一次函数, 由题意可知，当-l<a <4时，/(a)的图像应为在x 轴下方的线段， 6. 学以致用
练题：己知函数 /(x) = xIn x, g(x) = -x 2
+ ax - 6 ,如果对一切 XG (l,e), 都有/(x)vg(x)恒成立，求实数a 的取值范围。

【解析】由题设可知/(x) < g(x)恒成立，即a > lnx + x +仝恒成立. X
_ . z 、 . 6 nilra o . x 1 . 6 x + x-6 (x-2)(x + 3) 口 设 /z(x) = In x + xH —, 则因为 (x) = — 1 ---------- = --------- 3 --- -- ------- -------- 、且
X X 2 JT X
x > 0 h (x) > 0 ,得兀>2；令/i(x) < 0 ,得0 <兀<2，所以函数力(兀)在(1，2) 上单调递减，在(2, e)上单调递增.又因力(1) = 7, //(%) = 1 + ^ + -|,知
h(l) > h(e),所以函数加兀)在xE(l,e)±无最大值,存在临界最大值7。

所 以a>l 命题角度二：高考题再现
(2013四川卷10)设函数/(x) = yje x
+ x-a (aw/?, £为自然对数的底数).若曲线 y = sin 兀上存在(％,)；))使得/(/(丁0))=)‘0，则。

的取值范围是( )
(A) [l,e] (B) [e _,,l] (C) [1,1 +可 (D)[厂,幺+ 1]
【解析】・••曲线y = sinx 上存在点(x 。

,％)使得/(/(y 0)=北，二存在％)w [0,1],使 /(>()) = 3;()成立，
所以 /(-1)<0 /(4) < 0 /(-l) = x 2 + x + l<0 /(4) = -4.r + x 2 + l<0 即 2-V3<x<2 + V3
即fM =兀在［O,1J上有解，即e x +x-x2 = a在［0,1］上有解.
令g(x) = e x +x-x2,则a为g(x)在［0,1］上的值域
・••当XG［0,1］时，g'(x)=『+1 — 2兀〉0,故函数g(x)在［0,1］上是增函数，
故g(0)Wg(QWg(l),即1 WqWs
因此,本题正确答案是:［1,可.
【方法技巧】根据题意可得存在y° e ［0,1］，使f(y Q)=儿成立,即/(x) = x在［0,1］上有解，即e x+ x-x2=a t xe［0,1］.利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围.
综上，不等式恒成立问题，方法多种多样，也是高考的重点与热点，这需要我们不断地去体会、感悟、总结。