2019-2020学年人教A版数学必修三练习：综合学业质量标准检测

综合学业质量标准检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是( D )
A ．分层抽样
B ．抽签抽样
C ．随机抽样
D ．系统抽样
[详细分析] 号码顺序以一定的间隔抽取，这样的抽样是系统抽样． 2．下列程序的含义是( B )
A ．求方程x 3＋3x 2－24x ＋30＝0的根
B ．求输入x 后，输出y ＝x 3＋3x 2－24x ＋30的值
C ．求一般三次多项式函数的程序
D ．作y ＝x 3＋3x 2－24x ＋30的框图程序
[详细分析] 由程序知，输入x 后，输出y ＝x 3＋3x 2－24x ＋30的值，应选B ．
3．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝－10x ＋200，则下列结论正确的是( D )
A ．y 与x 成正线性相关关系
B ．当商品销售价格提高1元时，商品的销售量减少200件
C ．当销售价格为10元/件时，销售量为100件
D ．当销售价格为10元/件时，销售量为100件左右
[详细分析] 由y ^
＝－10x ＋200，知y 与x 成负线性相关关系，所以A 项错误；当商品销售价格提高1元时，商品的销售量约减少10件，所以B 项错误；当销售价格为10元/件时，销售量在100件左右，因此C 项错误，D 项正确．
4．如图所示，先将100粒豆子随机撒入正方形中，恰有60粒豆子落在阴影区域内，已知正方形的边长为2，这时阴影区域的面积为( A )
A ．12
5
B ．65
C ．3
5
D ．无法计算
[详细分析] 根据几何概型概率的计算公式知，所求概率P 等于面积的比，即60100＝S 阴
S 正
，
所以S 阴＝35×4＝12
5
.故选A ．
5．为了倡导人民群众健康的生活方式，某社区服务中心通过网站对20～60岁的社区居民随机抽取n 人进行了调查，得到如下的各年龄段人数频率分布直方图，若该公司决定在各年龄段用分层抽样抽取50名观众进行奖励，则年龄段[50,60]的获奖人数为 ( C )
A ．10
B ．12
C ．15
D ．18
[详细分析] 年龄段[50,60]的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3， 所以年龄段[50,60]的获奖人数为50×0.3＝15.
6．某学校举行“祖国颂”文艺汇演，高三(1)班选送的歌舞、朗诵、小品三人节目均被学校选中．学校在安排这三个节目演出顺序时，歌舞节目被安排在小品节目之前的概率为( C )
A ．1
6
B ．1
3
C ．1
2
D ．23
[详细分析] 由题意，三个节目任意排列时，有6种排法，而符合要求的只有三种排法，故所求概率为P ＝36＝1
2
.
7．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入x 的值为7，第二次输入x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( D )
A ．0,0
B ．1,1
C ．0,1
D ．1,0
[详细分析] 当x ＝7时，∵b ＝2，∴b 2＝4<7＝x . 又7不能被2整除，∴b ＝2＋1＝3. 此时b 2＝9>7＝x ，∴退出循环，a ＝1， ∴输出a ＝1.
当x ＝9时，∵b ＝2，∴b 2＝4<9＝x . 又9不能被2整除，∴b ＝2＋1＝3. 此时b 2＝9＝x ，又9能被3整除， ∴退出循环，a ＝0. ∴输出a ＝0.
8．已知回归直线y ^＝b ^x ＋a ^
斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，当x ＝2时，估计y 的值为( C )
A ．6.46
B ．7.46
C ．2.54
D ．1.39
[详细分析] 由题意知b ^
＝1.23，x ＝4，y ＝5，则5＝4×1.23＋a ^，即a ^
＝0.08.于是回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08，当x ＝2时，y ^
＝2.54.
9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 s 与19 s 之间，将测试结果分成如下六组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18)，[18,19]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17 s 的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩在[15,17)中的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为( A )
A．90%,35B．90%,45
C．10%,35D．10%,45
[详细分析]易知成绩小于17 s的学生人数占全班人数的百分比为[1－(0.04＋0.06)×1]×100%＝90%，成绩在[15,17)中的学生的频率为(0.36＋0.34)×1＝0.7，人数为50×0.7＝35人．
10．已知集合X＝{－9，－8，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合X中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为(C)
A．P(A)>P(B)B．P(A)<P(B)
C．P(A)＝P(B)D．无法确定
[详细分析]∵横坐标为0与纵坐标为0的可能性是一样的，∴P(A)＝P(B)，故选C．11．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(C)
A．1% B．2%
C．3% D．5%
[详细分析]由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食
品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.
12．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，1
2
]上为减函数的概率是( D )
A ．1
4
B ．3
4
C ．1
6
D ．56
[详细分析] 由题意，函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，1
2
]上为减函数满足条件⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0
b a ≥1
2.
∵第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，
∴a 取1,2时，b 可取1,2,3,4,5,6；a 取3,4时，b 可取2,3,4,5,6；a 取5,6时，b 可取3,4,5,6，共30种．
∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6×6＝36种等可能发生的结果， ∴所求概率为3036＝5
6
.故选D ．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3︰3︰4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取__15__名学生．
[详细分析] 由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为3
10
×50＝15.
14．在正方形围栏内均匀散布着米粒，一只小鸡在其中随意啄食，则此刻小鸡正在正方形的内切圆中啄食的概率为__π
4
__.
[详细分析] 设正方形的边长为1，则其内切圆的半径r ＝12，∴S 正方形＝1，S 内切圆＝πr 2＝π
4，
∴所求概率P ＝S 内切圆S 正方形＝π
41＝π
4
.
15．已知一个5次多项式为f (x )＝4x 5－3x 3＋2x 2＋5x ＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x ＝3时的值为__925__.
[详细分析] 由f (x )＝((((4x ＋0)x －3)x ＋2)x ＋5)x ＋1， ∴v 0＝4，
v 1＝4×3＋0＝12，
v 2＝12×3－3＝33， v 3＝33×3＋2＝101， v 4＝101×3＋5＝308， v 5＝308×3＋1＝925，
故这个多项式当x ＝3时的值为925.
16．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
下图是统计该应填__i ≤6？(i <7？)__，输出的s ＝__a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6__.
[详细分析] 由题意可知，程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知，判断框应填i ≤6？，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6名队员投进的三分球数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，故输出的s ＝a 1＋a 2＋…＋a 6.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
(1)(2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法． [详细分析] (1)x
甲＝
1
10
(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113)＝89.
s 2甲＝
1
10
[(65－89)2＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(91－89)2＋(94－89)2＋(107－89)2＋(113－89)2]＝199.2，
所以s 甲≈14.1. x
乙＝
1
10
(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94. s 2乙＝
1
10
[(79－94)2＋(86－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2＋(99－94)2＋(98－94)2＋(98－94)2＋(102－94)2＋(114－94)2]＝96.8.
∴s 乙≈9.8. (2)由(1)知，x
甲<
x 乙且s 甲>s 乙．
所以乙同学的平均成绩较高且标准差较小． 说明乙同学比甲同学的成绩扎实、稳定．
18．(本小题满分12分)为了了解某地区高二年级男生的身高情况，从该地区中的一所高级中学里选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．
[详细分析] (1)因为m
60＝0.1，即m ＝6，又∵a ＝60－6－21－660＝2760＝0.45，所以a ＝0.45，
m ＝6.
(2)身高在151.5～158.5的频率为660＝1
10＝0.1，
身高在158.5～165.5的频率为2160＝7
20＝0.35.
根据频率分布表画出频率分布直方图和折线图如图．
19．(本小题满分12分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之
间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
(1)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ； (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？
[详细分析] (1)∵x －＝12，y －
＝27，
∑i ＝2
4x i y i ＝977，∑i ＝2
4
x 2i ＝434，
∴b ^
＝
∑i ＝2
4
x i y i －3x y ∑i ＝2
4
x 2i －3x
2
＝977－3×12×27434－3×122
＝5
2，
∴a ^
＝y －b ^
x ＝27－52
×12＝－3.
故所求的线性回归方程为y ＝5
2x －3.
(2)当x ＝10时，y ＝5
2×10－3＝22；
当x ＝8时，y ＝5
2
×8－3＝17，
与检验数据的误差都是1，满足题意，被认为(1)中所得的线性回归方程是可靠的． 20．(本小题满分12分)(2017·山东文，16)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3
和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A 1，但不包括B 1的概率． [详细分析] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝315＝15
.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，
{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．
包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，则所求事件的概率为P ＝2
9
.
21．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2最大时，写出a 、b 、c 的值(结论不要求证明)，并求出此时s 2的值．
[详细分析] (1)厨余垃圾投放正确的概率为
P ＝“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23
.
(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )＝400＋240＋601 000＝7
10
，
所以P (A )＝1－P (A )＝1－710＝3
10
.
(3)当a ＝600，b ＝0，c ＝0时，方差s 2取得最大值． 因为x ＝1
3
(a ＋b ＋c )＝200，
所以s 2＝1
3[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]
＝80 000.
22．(本小题满分12分)(2019·山东潍坊高一期末测试)为了治疗某种疾病，某药厂研究所研制了甲，乙两种新药，为测试新药效果，为此进行的动物实验，实验方案如下：每种新药各选4只小白鼠分别进行试药实验，它们服用药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
甲药：20,22,24,26 乙药：20,18，m,22
因为某种原因，导致乙药实验对象丢失一个数据m .假设所有小白鼠的康复时间相互没有影响，从两实验对象中随机各选一个，甲药组选出的小白鼠记为A ，乙药组选出的小白鼠记为B .
(1)求A 的康复时间不少于24天的概率；
(2)如果m ＝32，求A 的康复时间比B 的康复时间短的概率； (3)当m 为何值时，甲、乙两药实验对象康复时间的方差相等？
[详细分析] 用(x ，y )表示实验结果，其中x 为甲药实验结果，y 为乙药组实验结果． (1)记事件C ：A 的康复时间不少于24天； 则P (C )＝24＝12
.
(2)记事件D ：A 的康复时间比B 的康复时间长．
基本事件空间Ω＝{(20,20)，(20,18)，(20,32)，(20,22)，(22,20)，(22,18)，(22,32)，(22,22)，(24,20)，(24,18)，(24,32)，(24,22)，(26,20)，(26,18)，(26,32)，(26,22)}共有16个基本事件组成，
D ＝{(20,32)，(20,22)，(22,32)，(24,32)，(26,32)}共5个基本事件组成， 所以P (D )＝5
16
.
(3)甲药组平均数x ＝23，
方差s 2＝1
4[(20－23)2＋(22－23)2＋(24－23)2＋(26－23)2]＝5，
而y ＝20＋18＋22＋m 4＝60＋m
4
，
所以1
4[(20－60＋m 4)2＋(18－60＋m 4)2＋(22－60＋m 4)2＋(m －60＋m 4)2]＝5，
整理得m 2－40m ＋384＝0，解得m ＝16或24，
所以当m ＝16或24时，甲乙两药实验对象康复时间的方差相等．
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