【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第一讲 集合、

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第一讲集合、常用逻辑用语（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "
一、选择题
1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：选C 由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5,6,7,8}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.
2．(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．∅
解析：选A 由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．
3．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A “x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．
4．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 若已知a1<a2<a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p及其逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．
5．(2013·武汉模拟)命题“若x 2＋y 2
＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2
＋y 2
＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2
＋y 2
≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2
＋y 2
≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2
＋y 2
＝0，则x ，y 都不为0
解析：选B 根据否命题与原命题的关系求解．命题“若x 2
＋y 2
＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是“若x 2
＋y 2
≠0，则x ≠0或y ≠0”．
6．下列命题错误的是( )
A ．命题“若x 2
－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2
－3x ＋2≠0” B ．直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件
解析：选C 对于A ，命题“若x 2
－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则
x 2－3x ＋2≠0”，因此选项A 正确；对于B ，直线与双曲线相切只有一个交点，但只有一个
交点并不一定相切，故B 正确；对于C ，由p ∧q 为假命题只能得知p ，q 不能同是真命题，因此选项C 错误；对于D ，注意到由x >2得x 2
－3x ＋2＝(x －1)(x －2)>0；反过来，由x 2
－3x ＋2>0不能得知x >2，如取x ＝0时，x 2
－3x ＋2>0，但此时0<2，因此选项D 正确．
7．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：2＞3.下列选项中为真命题的是( )
A ．綈p
B ．(綈q )∧p
C ．(綈p )∨q
D ．q
解析：选B 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，(綈q )∧p 是真命题，(綈p )∨q 是假命题．
8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
9．设a ∈R ，则“
a －1
a －a ＋1
<0”是“|a |<1”成立的( )
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既非充分也非必要条件
解析：选C 因为a 2
－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34
>0，
所以由
a －1a 2－a ＋1<0得a <1，不能得知|a |<1；反过来，由|a |<1得－1<a <1，所以
a －1
a 2－a ＋1<0.因此，“
a －1
a 2
－a ＋1
<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件．
10．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2
－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于
x 的函数y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范
围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，23
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 解析：选C 由题知命题p 等价于3a 2≤1，即3a ≤2，解得a ≤2
3.对于命题q ，由函数y
＝(2a －1)x
在[1，＋∞)上为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所
以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤2
3
.
二、填空题
11．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意，log 2(a ＋3)＝2，得a ＝1， 所以b ＝2，从而A ∪B ＝{1,2,5}． 答案：{1,2,5}
12．(2013·沈阳六校联考)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x
在R 上递减；q ：函数
f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c
的取值范围为________．
解析：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤1
2
.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”．当
“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫c ⎪⎪⎪
1
2<c <1
；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫c ⎪⎪⎪
1
2<c <1
. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
13．设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是________．
解析：在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，如图所示，可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a <－1，
a ＋8>5，解得－3<a <
－1.
答案：(－3，－1)
14．已知函数y ＝lg(4－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．
解析：A ＝{x |x <4}，由图易得a >4.
答案：(4，＋∞)
15．(2013·海淀模拟)已知下列命题： ①函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π
2
；
②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；
④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________．
解析：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，而不是π
2，故①错；“p ∨q ”为假命题说
明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．
答案：②
16．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2
∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2
)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 的个数为________．
解析：由题意，知S 为函数y ＝lg(36－x 2
)的定义域内的自然数集，由36－x 2
>0，解得－6<x <6，又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．
依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2
与k 都不属于集合M .显然当k ＝0时，
k 2＝k ＝0；当k ＝1时，k 2＝k ＝1.所以0,1都不是“酷元”．
若k ＝2，则k 2
＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不能同时在集合M 中，才能称为“酷元”．
显然3与5都是集合S 中的“酷元”．
综上，若集合M中所含两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：
(1)只选3与5，即M＝{3,5}；
(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．
答案：5。