概率论与数理统计统计课后习题答案

第二章习题解答
1. 设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ).
A . 52,53-==
b a
B . 32
,32==b a C . 23,21=-=b a D . 2
3
,21-==b a
2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数}
X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4.
且401554
2091
{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455
{1}0.4696969C C P X C ===≈；
221554
2070
{2}0.2167323C C P X C ===≈； 1315542010
{3}0.0310323C C P X C ===≈；
041554
201
{4}0.0010969
C C P X C ===≈.
3．
解：设{1}P x p ==，则{0}1P x p ==-. 由已知，
2(1)p p =-，所以2
3
p =
X 当0x <时，(){}0F x P X x =≤=；
当01x ≤<时，1(){}{0}3
F x P X x P X =≤===
； 当1x ≥时，(){}{0}{1}1F x P X x P X P X =≤==+==.
X 的分布函数为：00()1/3
0111
x F x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
. 4. 解：设X ={在取出合格品以前，已取出不合格品数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3.
7{0}10
P x ==
； 377
{1}10930P x ==⋅=；
3277
{2}1098120P x ==⋅⋅=
； 32171
{3}10987120P x ==⋅⋅⋅=
. 所以X 的概率分布为：
5.
解：设X ＝{其中黑桃张数}.
则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.
0513395
522109
{0}0.22159520C C P x C ===≈； 1413395
5227417
{1}0.411466640C C P x C ===≈； 2313395
5227417
{2}0.274399960C C P x C ===≈； 3213395
5216302
{3}0.0815199920C C P x C ===≈； 4113395
52429
{4}0.010739984C C P x C ===≈； 5013395
5233
{5}0.000566640
C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为：
6.
解：由已知，()X
G p
所以()(1),0,1,2i
P X i p p i ==-=.
7.
解：X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 且1{0}2P X ==
； 111
{1}224P X ==⨯=；
1111
{2}2228P X ==⨯⨯=；
1111
{3}2228
P X ==⨯⨯=；
8. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求：
（1）恰有6个人不能完成培训的概率； （2）不多于4个的概率. 解：设X ＝{不能完成培训的人数}.则(100,0.04)X
B ，
（1）6694
100{6}0.040.960.1052P X C ==⋅=;
（2）4
100100
{4}0.040.960.629k k k k P X C
-=≤=
⋅=∑.
9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p 接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过05.0=p ，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06）.
解：设X ＝{100个产品中的次品数}，则(100,0.06)X B ，
所求概率为100100
3
{3}(0.06)(0.94)0.1430k k k k P X C
-≤≤=
=∑.
10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.
解：设甲X ＝{投掷一次后甲的赌本}，乙X ＝{投掷一次后乙的赌本}. 则甲X 的取值为20，40，且
1{20}{40}2P X P X ====
甲甲，1{10}{30}2
P X P X ====乙乙，
所以甲X 与乙X 的分布律分别为：
0,201,204021,40X x F x x x <⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪≥⎪⎩甲
（）, 0,
101,10302
1,
30
X x F x x x <⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪≥⎪⎩乙
（） 11. 设离散型随机变量X 的概率分布为：（1）{}2,1,2,,100k P X k a k ===；
（2）{}2,1,2,
k P X k a k -===，分别求（1）、（2）中常数a 的值.
解：（1）因为
{}100
100
1
1
2
1,k
k k P X k a =====∑∑
即 1002(12)
112a -⋅=-，所以)
12(21100
-=a . (2) 因为
{}1
1
2
1,k
k k P X k a ∞∞
-=====∑∑
即1
21112
a ⋅=-，所以 1=a .
12. 已知一电话交换台服从4=λ的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率.
解：设X ＝{每分钟接到的传唤次数}，则()X
P λ，查泊松分布表得
（1）{8}{8}{9}0.05110.02140.0297P X P X P X ==≥-≥=-=； （2）{8}0.02136P X ≥=.
13. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出X 的概率分布.
解：X 的所有可能的取值为1，2，3.
243563
{1}105
C P x C ====；
23353
{2}10
C P x C ===；
22351
{3}10
C P x C ===.
所以X 的概率分布为：
14. 已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)λλ>的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)p p <<，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X 的概率分布.
解：设Y ={每天去图书馆的人数},则()Y
P λ，
{},0,1,2,
!
i
P Y i e i i λλ-==
=
当{}Y i =时，(,)X
B i p ，
{}{}(1)k k i k i i k
P X k P Y i C p p +∞
-====⋅-∑
!
(1)
(1)!
!
!()!
i
i
k k i k
k i k i
i k i k
i e C p p e p p i i k i k λ
λ
λλ+∞
+∞
----===⋅-=-⋅-∑
∑
!(1)(1)!
!()!!()!
i
k k i k k i k
i k i k
i k i p e
p p e p i k i k k i k λ
λλλλ-+∞
+∞----===-=-⋅--∑
∑
(1)
()(1)
e !
()!!
!
k k
i k
k k
k i k
p p
i k
p p p e
p e e
k i k k k λ
λλλλλλλ-+∞
-----==
-=
⋅=-∑
即X 的概率分布为(){}e ,0,1,2,!
k p
p P X k k k λλ-==
=.
15. 设随机变量X 的密度函数为 ,01
0,⎩
⎨
⎧<<+= x b ax f(x)其它， 且⎭⎬⎫⎩
⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
<
3131X P X P ，试求常数a 和b . 解：1
301()3183a b P X ax b dx ⎧
⎫<=+=
+⎨⎬⎩⎭
⎰； 113142()393a b P X ax b dx ⎧
⎫>=+=+⎨⎬⎩
⎭⎰，
由
421183932a b a b +=+=得，71.5,.4
a b =-= 16. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B x arctan , 求常数A , B ;
{1}P X <以及概率密度f (x ).
解：由()lim (arctan )02
()lim (arctan )12x x F A B x A B F A B x A B ππ→-∞→+∞⎧
-∞=+=-=⎪⎪⎨⎪+∞=+=+=⎪⎩得121A B π⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
.
所以11
()arctan 2F x x π
=
+； {1}{11}(1)(1)0.5P X P x F F <=-<<=--=； 2
1
1
()'()1f x F x x π==
⋅
+.
17. 设连续型随机变量X 的分布函数为
20,0(),
011,1
x F x Ax x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
求：（1）常数A 的值；（2）X 的概率密度函数)(x f ；（3）{}2≤X P .
解：（1）由()F x 的连续性得(10)(10)(1)1F F F -=+==
即2
1lim 1x Ax -
→=，所以1A =，20,0
(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
；
（2）2,01
()'()0,
x x f x F x <<⎧==⎨
⎩其他；
（3）{2}(2)1P X F ≤==.
18. 设随机变量X 的分布密度函数为 , 01 , 1)(2
⎪⎩
⎪⎨⎧<-=其它当x x
A
x f 试求：（1）系数A ；（2）⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧<<221X P ；（3）X 的分布函数)(x F . 解：（1
）因为1
1
11()arcsin f x dx A x A π+∞
--∞
-=
===⎰
⎰
所以1A π=
，1() 0 ,
x f x <=⎩
其它； （2
）1
2
11122
1112()arcsin 23P X f x dx x π⎧⎫<<====⎨⎬⎩⎭⎰；
(3) 当1x <-时，(){}0f x P X x =≤=， 当01x ≤<
时，1
1
(){}arcsin 2
x
f x P X x x π-=≤=
=
+⎰
， 当1x ≥
时，1
(){}1f x P X x -=≤=
=⎰
，
所以 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1
,
111,
arcsin 1211,
0x x x x x F π）（ 19. 假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 min 你正好到达10层电梯口，
已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min 之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s ，从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？
解：设X ={在任意一层等待电梯的时间},则(0,10)X
U ，
由题意，若能准时到达会场，则在10等电梯的时间不能超过4.5 min ， 所求概率为 4.50
{ 4.5}0.45100
P X -≤=
=-.
20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （min ）服从5
1
=
λ的指数分布. 某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开. 若他一个月到银行5次，求： (1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y 的分布； (2) 求{}1≥Y P . 解：（1）由已知，1
(),(5,)5
X
E Y B p
其中10
{10}1{10}1()p P X P X f x dx -∞
=>=-≤=-⎰
1
10
250
115
e dx e --=-=⎰
所以Y 的分布为
55{}(1)k k k P Y k C p p -==-2255()(1),(0,1,2,3,4,5)k k k C e e k ---=-=；
（2）{}0
20
25
511{0}1()(1)0.5167P Y P Y C e e --≥=-==--=.
21. 设随机变量)4,5(~N X ，求α使：
（1）{}903.0=<αX P ；（2）{}
01.05=>-αX P .
解：由)4,5(~N X 得5
~(0,1)2
X N - （1）{}555(
)0.9032
22X P X P ααα---⎧⎫
<=<=Φ=⎨
⎬⎩⎭ 查标准正态分布表得：
5
1.32
α-=，所以6.7=α；
（2）由{}
01.05=>-αX P 得，{}50.99P X α-<=
所以{}{}55P
X P X ααα-<=-<-<
5()()2()10.992
22222X P ααααα-⎧⎫
=-<<=Φ-Φ=Φ-=⎨⎬⎩⎭
即()0.9952
αΦ=，查标准正态分布表得
2.582
α
=，所以16.5=α
22. 设)2,10(~2N X ，求{}{}
210 , 1310<-<<X P X P . 解：由)2,10(~2N X 得
10
~(0,1)2
X N - {}101013=P 0 1.5(1.5)(0)0.99320.50.49322X P X -⎧⎫
<<<<=Φ-Φ=-=⎨⎬⎩⎭
；
{}102{2102}P X P X -<=-<-< 10
{11}(1)(1)2(1)120.841310.68262
X P -=-<
<=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=. 23. 某地8月份的降水量服从185mm,28mm μσ==的正态分布，求该地区8月份降水量超过250 mm 的概率.
解：设随机变量X ＝{该地8月份的降水量}， 则2(185,28)X
N ，从而
185(0,1)28
X N -
所求概率为
185250185
{250}{
}1(2.32)10.98980.01022828
X P X P --≥=>=-Φ=-= 24. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差(cm)X 服从正态分布)400,0(N ，求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm 的概率.
解：由(0,400)X N 得
(0,1)20
X N
设Y ＝{在3次测量中误差的绝对值不超过30 cm 的次数}，则(3,)Y B p
其中{30}{3030}{1.5 1.5}p P X P X P X =<=-<<=-<<
(1.5)( 1.5)2(1.5)120.933210.8664=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=
所以P {3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm }={1}P Y ≥
00331{0}10.86640.13320.9976P Y C =-==-⋅=
25. 已知测量误差2
~(7.5,10)X N ，X 的单位是mm ，问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.
解：设必须进行n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.
由已知2
~(7.5,10)X N ，
7.5
~(0,1)10
X N - 设Y ＝{n 次测量中，绝对误差不超过10mm 的次数}，则(,)Y B n p
其中7.5
{10}{
0.25}(0.25)0.598710
X p P X P -=≤=≤=Φ= 所求概率为{1}0.9P Y ≥>，即{0}0.1P Y =≤
000.59870.40130.1n n C ⋅≤，解之得，3n ≥
必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9. 26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分
)(~2σμ，N X ，某教授根据得分X 将学生分成五个等级：A 级：得分)(σμ+≥X ；B 级：)(σμμ+<≤X ；C 级：μσμ<≤-X )(；D 级：)()2(σμσμ-<≤-X ；F 级：)2(σμ-<X . 已知A 级和C 级的最低得分分别为448分和352分，则： （1）μ和σ是多少？（2）多少个学生得B 级？
解：（1）由已知，448352μσμσ+=⎧⎨
-=⎩，解之得400
48μσ=⎧⎨=⎩
（2）{}{01}X P X P μ
μμσσ
-≤<+=≤
<
(1)(0)0.84130.50.3413=Φ-Φ=-=
由于0.3413×380=129.66，故应有130名学生得B 级。

27. 已知随机变量X 的概率分布如下， X -1 0 1 2
P 0. 2 0. 25 0. 30 0. 25
求13+-=X Y 及12+=X Z 的概率分布.
解：13+-=X Y 的所有可能的取值为4，1，-2，-5. 且{4}{1}0.2P Y P X ===-=；
{1}{0}0.25P Y P X ====； {2}{1}0.3P Y P X =-===； {5}{2}0.25P Y P X =-===.
所以13+-=X Y 的分布律为
12+=X Z 的所有可能的取值为1，2，5
且{1}{0}0.25P Z P X ====；
{2}{1}{1}0.5P Z P X P X ===-+==； {5}{2}0.25P Z P X ====.
所以12
+=X Z 的分布律为
28. 设随机变量)1,0(~N X ，求X Y 21-=的密度函数.
解：由X ～N (0,1)，得2
2
21)(x X e
x p -
=
π
，设X Y 21-=的分布函数为F Y (y )，则
}.2
1{}21{}{)(y
X P y X P y Y P y F Y -≥
=≤-=≤= 当y ≥1时，
1}{}2
1{}{)(=Ω=-≥
=≤=P y
X P y Y P y F Y ； 当y<1时，
}2
1{}{)(y
X P y Y P y F Y -≥
=≤=
10
图1
}21{1y
X P -≤
-= }2121{1y
X y P -≤≤---=
)]2
1()21([1y
F y F X X -----=.
即 ⎪⎩⎪⎨⎧
≥<-----=.
1,
0,1)],2
1()21(
[1)(y y y F y F y F X X Y
)()(y F y p Y Y '
=
⎪⎩⎪⎨⎧≥<--+-=.
1,
0,1),2
1(21)21(
21
y y y p y p X X
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<=--.
1,0,1,218)
1(2
y y e y π
29. 随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧
≤>+=0,
00,)1(2)(2x x x x f π
求X Y ln =的密度函数.
解：由于y =ln x 是一个单调函数，其反函数为y
e x =，
.
)}(),00(max {,
)}(),00(min{+∞=+∞+=-∞=+∞+=f f f f βα
利用公式得Y =ln X 的密度函数为
)()()('⋅=y
y
X Y e e p y p
).(,1
2
2+∞<<-∞+=
y e e y y
π 30. 设通过点)1,0(的直线与x 轴的交角θ在],0[π上服从均匀分布，求这直线在x 轴上截距X 的密度函数.
解：以α表示过（0，1）点的直线与x 轴的交角， 见图1。

由题意知：随机变量α在(0,π)内服从均匀分 布，故得α的概率密度为
11
⎪⎩⎪⎨⎧<<=.
,
0,0,
1)(其它ππ
x x p a
设随机变量X 表示直线在x 轴上的截矩，易知
αctg X =-，即αctg X -=，其分布函数为：
}{}{}{)(x ctg P x ctg P x X P x F X -≥=≤-=≤=αα )]([)}({x arcctg F x arcctg P -=-≤=α。

其密度函数为
})]([{)()('-='
=x arcctg F x F x p X X ).(,
)
1(1
+∞<<-∞+=x x π。