冀教版数学九年级上册 一元二次方程

一元二次方程的概念 只含有一个未知数 ，并且未知数的最高次数是 2
的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式为 ax2 + bx + c = 0 (a≠0).
ax2 二次项， a 二次项系数 bx 一次项， b 一次项系数 c
常数项.
想一想：为什么一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a≠0？b，c 可以为 0 吗？
含两个未知数
B. 3x2 5xy y2 0
x2 不是整式方程
C. (x 1)(x 2) 0
D. 4x2 1 (2x 3)2
化简为 x2 - 3x + 2 = 0 化简为 4x2 -1 = 4x2 + 12x + 9
总结 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；若是则进一步化简整理再做判断.
2020
2021
2022
2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，
2020 年的产量为 a，那么 2021 年无公害蔬菜产量
为 a + ax = a(1 + x)，2022年无公害蔬菜产量
为 a(1 + x) + a(1 + x)x = a(1 + x)2 .
3.你能根据题意，列出方程吗？ a(1 + x)2 = 2a
20
思考：1. 若设小路的宽是 x m， 则横向小路的面积是_3_2_x__m2， 纵向小路的面积是 2×20x m2， 两者重叠的面积是 2x2 m2.
32 2. 由于花坛的总面积是 570 m2. 你能根据题意，列出
方程吗？ 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2 = 570，
整理以上方程，可得 x2－36x＋35 = 0.
注意：未限定 a≠0
二 一元二次方程的根 问题1 判断未知数的值 x = -1，x = 0，x = 2 是不是方程 x2 - 2 = x 的根.
能使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫一 元二次方程的解(或根).
x = -1，x = 2 是方程的根.
问题2 判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根： x2 - 3x + 2 = 0 (x1 = 1，x2 = 2， x3 = 3)
当 a = 0 时，
bx＋c = 0，不符合定义；
当 a≠0，b = 0 时，
ax2＋c = 0，符合定义；
当 a≠0，c = 0 时，
ax2＋bx = 0，符合定义；
当 a≠0，b = c = 0 时，
ax2 = 0，符合定义．
总结：只要满足 a≠0 即可，b，c 可以为任意实数.
拓广探索 通过以上思考，你认为在确定一元二次方程的各项
想一想： 还有其它的列法吗？ 试说明理由. (20－x)(32－2x) = 570. 整理以上方程，可得
x2－36x＋35 = 0.
20-x
20
32-2x
32
当堂练习
1.下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？
x + 2 = 5x - 3
不是，最高项次数为 1
x2 = 4
是
2x2 - 4 = (x + 2)2
是
1 -10x - 900 = 0 x2
不是，是分式方程
2.方程(2a - 4)x2 - 2bx + a = 0 在什么条件下为一元二次
方程？ 解：由题可知 2a - 4 ≠ 0，即当 a ≠ 2 时，方程 (2a - 4)x2 - 2bx + a = 0 是一元二次方程.
3. (1) 已知方程 5x²+ mx − 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的 值为___327__；
如果方程中只含有一个未知数(也称元)，并且含 未知数的项的次数是 1，我们把这样的方程叫做一元 一次方程．一般形式：ax + b = 0 (a≠0)
3.我们知道利用一元一次方程可以解决生活中的一 些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际 问题的步骤吗？
◆1.审；2.设；3.列；4.解；5.验；6.答.
讲授新课
一 一元二次方程的定义及一般形式
请观察下面 + 35 = 0
(1)它们是一元一次方程吗？ (2)与一元一次方程有何异同？ (3)通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？
1.等号两边都是整式；2.只含有一个未知数；3.未 知数的最高次数是 2. (4)通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取 个合理的名字吗？
解：由题意得 a 12 b 1 c 0，即 a b c 0.
思考：(1) 若 a + b + c = 0，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗？ 解：由题意得 a b c 0，即 a 12 b 1 c 0.
∴ 方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 必有一个根是 1. (2) 若 a - b + c = 0，且 4a + 2b + c = 0，你能通过观察， 写出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根吗？x1 = -1，x2 = 2.
第二十四章 解一元二次方程
24.1 一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的相关概念. 2.了解一元二次方程解的含义并会运用其解题. (重点) 3.能够根据实际问题列出一元二次方程.（难点）
导入新课
回顾与思考 1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
含有未知数的等式叫做方程.能使方程等号左右两边 相等的未知数的值叫做方程的解. 2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
课堂小结
一元二 次方程
概念
只含有一个未知数 ，并且未
知数的最高次数是 2 的整式方 程.
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
根(解)
使方程左右两边相等的未知数 的值
建立一元二 次方程模型
审→设→找→列
判断下列方程是否为一元二次方程：
(1) x2 + x = 36；
× (2) x3 + x2 = 36；
× × (3) x + 3y = 36；
1 (4) x2
2 x
0；
× (5) x + 1 = 0； × × (7)ax2 bx c 0；
(6) x2 = 6； 3
2
(8) x 2 x 6 = 0.
把以上方程整理得： x2 + 2x - 1 = 0
.
典例精析 问题 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑三 条宽相等的小路 (两条纵向，一条横向，纵向与横向垂 直)，把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 如图，要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应为多少 呢？
32
20
x
32 + 3a + a = 0.
∴a 9 . 4
三 列一元二次方程 问题1 某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结
构，计划 2022 年无公害蔬菜的产量比 2020 年翻一番，
要实现这一目标，2021 年和 2022 年无公害蔬菜产量的
年平均增长率应是多少？ 思考：
方程
1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际 问题？
x1 = 1，x2 = 2 是方程的根； x3 = 3 不是方程的根. 问题3 构造一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（2）有一根为 2.
x2 - 2x = 0 （答案不唯一）.
典例精析 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根 是 3，求 a 的值. 解：由题意知 把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0 得，
系数及常数项的时候，需要注意哪些？ (1)在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数
和常数项时必须把方程化为一般形式. (2)二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它
前面的符号一起. (3)二次项系数 a≠0.
典例精析
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ C ）
A.x2 1 0
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 =
0 有一个根为 0，求 m 的值.
解：将 x = 0 代入方程得 m2 − 4 = 0， 解得 m = ±2.
∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ −2. 综上可知 m = 2.
二次项系数不 为零不容忽视
拓广探索：4. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根为 1，求 a + b + c 的值.