冀教版八年级数学上册教案《等腰三角形》
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《等腰三角形》
在前面的学习中,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,获得了一些基本的证明方法和基本规范,
积累了一定的证明经验;学生也已经探索得到了有关三角形全等等有关命题,这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。
本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理,并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理,由于具备了上面所说的活动经验和认知基础,为此,本节可以让学生在回顾的基础上,自主地寻求命题的证明。
【知识与能力目标】
1.等腰三角形是轴对称图形。
2.利用轴对称的性质探索等腰三角形的性质。
3.等边三角形的轴对称性及性质。
【过程与方法目标】
4.经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
5.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质.
【情感态度价值观目标】
通过学生的操作和思考,使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质,发展合情推理与说理相结合,渗透演绎推理。
【教学重点】
等腰三角形的轴对称性及其有关性质。
【教学难点】
等腰三角形的“三线合一”的性质。
多媒体课件、直尺、三角板。
一、复习引入
在我们的身边,许多物体的形状是两边相等的三角形。
展示3个等腰三角形图片。
1.问题:同学们能举出生活中这种形状的三角形的例子吗?
2.问题:你知道这种形状的三角形的名称吗?
3.出示课题:等腰三角形。
板书课题:等腰三角形)。
4.什么叫做等腰三角形?等腰三角形各部分的名称分别是什么呢?
5.导语:这节课我们就一起来学习等腰三角形。
二、探究新知
(一)认识等腰三角形
1、概念:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
(课件出示)
2、进一步认识等腰三角形各部分的名称。
在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。
3.应用:如图,在△ABC中,AB=AC。
问题: AB和AC是(),BC是(),
()是顶角,()和()是底角。
4.顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
5.三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
等边三角形是等腰三角形的特例。
(二)等腰三角形的性质定理(发现)
如图,在△ABC中,AB=AC。
问题:我们知道,线段BC是轴对称图形,它的对称轴是什么?由AB=AC,可知到点A 在哪里?△ABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?动手折一折。
问题:∠A和∠B有怎样的关系?
问题:底边BC上的高、中线、及∠A的平分线有怎样的关系?
问题:你发现了什么?
(二)等腰三角形的性质定理(验证)
发现1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)。
发现2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(通常说成等腰三角形的“三线合一”)
你能用学过的知识验证你的发现吗?学生讨论、交流,然后给出规范的证明过程。
1.求证:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)。
已知:△ABC 中,AB=AC。
求证:∠B=∠C
证明:证法1:作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中:AB=AC(已知),
BD=DC(作图),
AD=AD(公共边),
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).
应用格式:∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
证法二:作顶角∠BAC的平分线AD。
则∠1=∠2
在△ABD与△ACD中
AB=AC(已知)
∠1=∠2(已证)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD(SAS)
∴∠B=∠C
证法三:作底边BC的高AD。
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD与Rt△ACD中
AB=AC(已知)
AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD(HL)
∴∠B=∠C
2. 在△ABC 中,AB=AC,沿着AD折叠,可以得到哪些相等的线段和相等的角呢?性质2:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合
(简称“三线合一”)。
性质2可分解成下面三个应用格式。
(1)∵AB=AC,∠1=∠2(已知)
∴BD=DC,AD⊥BC(三线合一)
(2)∵AB=AC,BD=DC(已知)
∴AD⊥BC,∠1=∠2(三线合一)
(3)∵AB=AC,AD⊥BC(已知)
∴BD=DC,∠1=∠2(三线合一)
(三)等边三角形的性质定理
做一做:
已知:如图,在△ABC中,AB=BC=AC.
求证:∠A=∠B=∠C.
1.请同学们自己证明。
2.你能得出等边三角形的性质吗?请同学们交流总结。
3.等边三角形是轴对称图形吗?它有几条对称轴?
等边三角形的性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°。
三、巩固练习提升认识
例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
求△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
∴∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 °,
解得x=36 °,
在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
四.生活中的数学
如图,是西安半坡博物馆屋顶的截面图,已经知道它的两边AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:①工人师傅在测量了∠B为37°以后,并没有测量∠C,就说∠C 的度数也是37°;②工人师傅要加固屋顶,他们通过测量找到了横梁BC的中点D,然后在AD两点之间钉上一根木桩,他们认为木桩是垂直横梁的.
请同学们想想,工人师傅的说法对吗?请说明理由.
工人师傅的说法是对的,△ABC是等腰三角形,根据等腰三角形的性质可以得出这样的结论.
四、课堂小结
1、总结:这节课我们一起认识了“等腰三角形”,你有哪些收获?
2、思考:在生活中,等腰三角形及性质有哪些应用?
略。