(江苏专用)2020高考数学二轮复习专项强化练(十二)椭圆、双曲线和抛物线

专项强化练(十二) 椭圆、双曲线和抛物线
A 组——题型分类练
题型一 椭圆的定义及标准方程
1．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 2
24
＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝4∶3，则△
PF 1F 2的面积为________．
解析：因为PF 1＋PF 2＝14， 又PF 1∶PF 2＝4∶3， 所以PF 1＝8，PF 2＝6. 因为F 1F 2＝10，所以PF 1⊥PF 2.
所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝1
2×8×6＝24.
答案：24
2．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，
F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆方程为________________．
解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上，知4a 2＋3
b
2＝1.
①
又PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，即2×2c ＝2a ，c a ＝1
2
，②
又c 2
＝a 2
－b 2
，③
联立①②③得a 2
＝8，b 2
＝6. 故椭圆方程为x 28＋y 2
6＝1.
答案：x 28＋y 2
6＝1
[临门一脚]
1．求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)．如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：Ax 2
＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0且A ≠B )；若A ＜B ，则焦点在x 轴上；若A ＞B ，则焦点在y 轴上．
2．椭圆的定义中一定满足“PF 1＋PF 2＝2a ，且a ＞c ”，用椭圆的定义求解a ，b ，c 有时比用方程简便．
题型二 椭圆的几何性质
1．椭圆x 29＋y 2
4
＝1的离心率是________．
解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2
＝5， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53
. 答案：
53
2．椭圆x 2
＋my 2
＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________. 解析：由题意可得， 1
m ＝1
2
，所以m ＝4. 答案：4
3．已知圆C 1：x 2
＋2cx ＋y 2
＝0，圆C 2：x 2
－2cx ＋y 2
＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，若
圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．
解析：圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， ∴只需⎩⎪⎨⎪⎧
2c ≤a ，c 2a 2＋c
2
b 2≤1⇒0<
c a ≤12
.
答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的
圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为________．
解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2
＋y 2
＝a 2
，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝
2ab
b 2＋a 2
＝a ，得a 2
＝3b 2
，所以C 的离心率e ＝
1－b 2a 2＝6
3
. 答案：
6
3
[临门一脚]
1．弄清楚a ，b ，c ，e 的几何意义，以及相关的点坐标、线的方程的表示． 2．求解几何性质之前方程应先化为标准式，否则会混淆a ，b .
3．离心率求解主要是根据几何条件建立关于a ，b ，c 的方程或不等式． 题型三 双曲线的定义及标准方程
1．F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29－y 2
7＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|
＝8，则△PF 1F 2的周长为________．
解析：由双曲线的方程可知a ＝3，b ＝7，所以c ＝4，则|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝2，|F 1F 2|＝2c ＝8，据此可知△PF 1F 2的周长为8＋2＋8＝18.
答案：18
2．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝1
2x ，则该双曲线的标准方程
为________________．
解析：设双曲线的方程为x 2
4－y 2
＝λ(λ≠0)，则
22
2
4
－12
＝λ，解得λ＝1，故双
曲线的标准方程为x 2
4
－y 2
＝1.
答案：x 2
4
－y 2
＝1
3．(2018·柳州模拟)设双曲线x 29－y 2
6＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交
双曲线左支于A ，B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|的最小值为________．
解析：|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋|AF 1|＋2a ＋|BF 1|＝4a ＋|AB |≥4a ＋2b 2
a ＝4×3＋2×6
3＝16.
答案：16
4．设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为
(15，4)，则此双曲线的标准方程是____________．
解析：法一：椭圆x 227＋y 2
36＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，
b >0)，根据双曲线的定义知2a ＝|
15－0
2
＋4－3
2
－15－0
2
＋4＋3
2
|
＝4，故a ＝2.又b 2
＝32
－a 2
＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 2
5
＝1.
法二：椭圆x 227＋y 2
36＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
则a 2
＋b 2
＝9，①
又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15
b
2＝1，②
联立①②解得a 2＝4，b 2
＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 2
5＝1.
法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 2
36－λ
＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故
1527－λ＋16
36－λ
＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，经检验λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合题意，应舍去，所以λ＝32.
故所求双曲线的方程为y 24－x 2
5
＝1.
答案：y 24－x 2
5＝1
[临门一脚]
1．先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2
，b 2
的值，
即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2
n
2＝λ(λ≠0)，
再根据条件求λ的值．
2．双曲线的定义运用时，首先要分清楚点在双曲线的哪一支上或可能在两支上，否则会出错．
题型四 双曲线的几何性质
1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2
6＝1的离心率为________．
解析：由已知得，a ＝3，b ＝6，则c ＝a 2
＋b 2
＝3，所以e ＝c a
＝ 3. 答案： 3
2．(2019·常州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，直线x ＋y ＋2
＝0经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________．
解析：由题意可得直线x ＋y ＋2＝0与x 轴的交点(－2,0)为双曲线C 的焦点，所以c ＝2，又双曲线C 的离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2
－a 2
＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为
y ＝±b
a
x ＝±3x .
答案：y ＝±3x
3．(2018·南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的
一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为________．
解析：由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a 得b ＝2a ，则该双曲线的离心率e ＝c a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝ 5.
答案： 5
4．已知F 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F
且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．
解析：由题意得E (a,0)，不妨设A ⎝
⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2
a ，显然△ABE 是等腰三角形，
故当△ABE 是锐角三角形时，∠AEB ＜90°，从而b 2a
＜a ＋c ，化简得c 2－ac －2a 2＜0，即e
2
－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2.
答案：(1,2) [临门一脚]
1．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．根据渐近线方程求离心率时要注意有两解．
2．在解析几何中，解决求范围问题，一般可从以下几个方面考虑： (1)与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成； (2)通过一元二次方程的根的判别式Δ的符号建立不等关系； (3)利用点在曲线内部建立不等式关系；
(4)利用解析式的结构特点，如a 2
，|a |，a 等的非负性来完成范围的求解． 题型五 抛物线
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2
＝4x 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是________．
解析：因为抛物线方程为y 2
＝4x ，所以焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，设PA ⊥
l ，A 为垂足，
所以PF ＝PA ＝x P －(－1)＝3， 所以点P 的横坐标是2. 答案：2
2．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．
解析：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2
＝12y .
答案：x 2
＝12y
3．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2
＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°. 直线OA 的方程y ＝
3
3
x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝6.即得A 的坐标为(6,23)，所以AB ＝4 3.故正三角形OAB 的面积为
1
2×43×6＝12 3.
答案：12 3
4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2
＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，
PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．
解析：∵抛物线方程为y 2
＝6x ，
∴焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线l 的方程为x ＝－32.
∵直线AF 的斜率为－3，
∴直线AF 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －32，当x ＝－32时，y ＝33，由此可得A 点坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，33.
∵PA ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为33，代入抛物线方程，得P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，33，
∴PF ＝PA ＝92－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32＝6.
答案：6 [临门一脚]
1．一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．
2．抛物线标准方程形式要记清楚，求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置和开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
3．求解几何性质时，首先要把方程化为标准方程，其次抛物线方程的p 几何意义要明确．
B 组——高考提速练
1．(2019·扬州期末)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，
则该双曲线的离心率为________．
解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b
a
，又该双曲线的一条渐近线
方程为x －2y ＝0，即y ＝12x ，所以b a ＝12，a ＝2b ，则c ＝a 2＋b 2
＝5b ，则该双曲线的离心
率e ＝c
a ＝
5b 2b ＝52. 答案：
5
2
2．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为________．
解析：依题意得AC ＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝AB ＝4，长轴长2a ＝AC ＋BC ＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2
－c 2
＝216－4＝4 3.
答案：4 3
3．抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线截圆x 2
＋y 2
－2y －1＝0所得的弦长为2，则p ＝________. 解析：抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p
2
，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)
2
＝2，圆心坐标为(0,1)，半径为2，圆心到准线的距离为p
2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22
＋1＝(2)2
，解得p
＝2.
答案：2
4．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)上的一点，若PF ―→1·PF ―→
2＝0，tan
∠PF 1F 2＝1
2
，则此椭圆的离心率为________．
解析：因为PF ―→1·PF ―→2＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，所以PF ―→1⊥PF ―→
2，sin ∠PF 1F 2＝55，cos
∠PF 1F 2＝255.所以PF 1＝455c ，PF 2＝255c ，则PF 1＋PF 2＝655c ＝2a ，所以e ＝c a ＝5
3
.
答案：
5
3
5．(2019·海门中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F 2，过F 2且与x
轴垂直的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，T 是双曲线的左顶点，若△TMN 为直角三角形，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：由题意可得△TMN 为等腰直角三角形，且∠MTN 为直角，故MF 2＝TF 2.由c 2a 2－y 2
b 2＝1，
解得y ＝±b 2a ，所以MF 2＝b 2a .因为TF 2＝a ＋c ，所以b 2a
＝a ＋c ，得b 2＝a 2＋ac ，即c 2－a 2＝a
2
＋ac ，得c ＝2a ，所以b ＝3a ，所以该双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.
答案：3x ±y ＝0
6．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N
与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为____________．
解析：由△FMN 为正三角形，得c ＝OF ＝32MN ＝32×2
3
b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋
c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
答案：x 24＋y 2
3
＝1
7．(2019·如皋中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
且两条渐近线的夹角为60°，过点F 1作x 轴的垂线，交双曲线C 的左支于M ，N 两点，若△
MNF 2的面积为43，则双曲线C 的方程为________．
解析：因为双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，a >b >0，所以b a ＝
3
3
①.易知F 1(－c,0)，所以直线MN 的方程为x ＝－c ，代入双曲线的方程得y ＝±b 2a ，所以MN ＝2b
2
a
，所以△
MNF 2的面积S ＝12F 1F 2·MN ＝12×2c ×2b 2a ＝2b 2
c a
＝4 3 ②，又a 2＋b 2＝c 2
③，
所以由①②③得a ＝3，b ＝3，c ＝23，故双曲线C 的方程为x 29－y 2
3＝1.
答案：x 29－y 2
3
＝1
8．(2018·镇江高三期末)已知双曲线x 2a
2－y 2＝1的左焦点与抛物线y 2
＝－12x 的焦点重
合，则双曲线的右准线方程为________．
解析：由题意知双曲线x 2a
2－y 2＝1的左焦点为(－3,0)，所以a 2
＝8，因此双曲线的右准
线方程为x ＝8
3
.
答案：x ＝8
3
9．(2019·常州期初)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2
在第一象限有公共点
P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1
k 2
的取值范围为
________．
解析：由于椭圆M ：x 2a
2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2
在第一象限有公共点P ，所以
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＞6－a 2
，6－a 2
＞1，解得3＜a 2
＜5.设椭圆M ：x 2a
2＋y 2＝1与圆C ∶x 2＋y 2＝6－a 2
在第一象限的公
共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0x
a 2
＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2
，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－
x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1
k 2
∈(3,5)．
答案：(3,5)
10．已知抛物线x 2
＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，若P ，
Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．
解析：设点P 在第一象限，由题意，p ＝2c ，P (2pc ，c )，即P (2c ，c )，代入椭圆方程，
可得c 2a 2＋4c 2b
2＝1，整理可得e 4－6e 2
＋1＝0，∵0＜e ＜1，∴e ＝2－1.
答案：2－1
11.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，
以坐标原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
解析：连结AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，AF 1＝c ，AF 2＝3
c ，因此该双曲线的离心率e ＝F 1F 2AF 2－AF 1＝2c 3c －c
＝3＋1.
答案：3＋1
12.如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l
交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ ―→＝2QA ―→
，则椭圆的离心率为________．
解析：法一：因为△AOP 是等腰三角形，所以OA ＝OP ，故A (－a,0)，P (0，a )，又PQ ―→
＝
2QA ―→，所以Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2a 3，a 3，由点Q 在椭圆上得49＋a 2
9b 2＝1，解得b 2a 2＝15，故离心率e ＝
1－b 2
a
2＝
1－15＝255
. 法二：因为△AOP 是等腰三角形，所以OA ＝OP ，故直线AP 的方程为y ＝x ＋a ，与椭圆
方程联立并消去y 得(a 2
＋b 2
)x 2
＋2a 3
x ＋a 2c 2
＝0，从而(－a )x Q ＝a 2c 2a 2＋b 2，即x Q ＝－ac 2
a 2＋b
2，又
由A (－a,0)，P (0，a )，PQ ―→＝2QA ―→，得x Q ＝－2a 3，故－ac 2
a 2＋
b 2＝－2a 3，即5
c 2＝4a 2，e 2
＝45，
故e ＝25
5
.
答案：255
13．(2018·南京四校联考)已知右焦点为F 的双曲线的离心率为2，过点F 且与一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线交于点A ，AF ＝2，则该双曲线的标准方程为____________．
解析：法一：由e ＝2知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，不妨设直线l ：y ＝x －c ，
联立得⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x －c ，y ＝－x ，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2
，－c
2，
AF ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫c －c 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫0＋c 22＝2，
解得c 2
＝8，又由e ＝2知，a 2
＝b 2
＝4， 故双曲线的标准方程为x 24－y 2
4
＝1.
法二：由e ＝2知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，且两条渐近线互相垂直，此时AF ＝2＝b ＝a ，故双曲线的标准方程为x 24－y 2
4
＝1.
答案：x 24－y 2
4＝1
14.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上
顶点为A ，离心率为1
2，点P 为椭圆在第一象限内的一点．若S △PF 1A ∶S
△PF 1F 2＝2∶1，则直线PF 1的斜率为________．
解析：由题意知c a ＝1
2，即a ＝2c ，则A (0，b )，F 2(c,0)，设直线PF 1的方程为y ＝k (x ＋
c )(k ＞0)，因为S △PF 1A ∶S △PF 1F 2＝2∶1，即S △PF 1A ＝2S △PF 1F 2，即1
2
|PF 1|·
|kc －b |k 2＋1
＝2×
1
2|PF 1|
|2kc |
k 2
＋1
，所以|kc －b |＝4|kc |，解得b ＝－3kc (舍去)或b ＝5kc ，又a 2
＝b 2
＋c 2
，即a
2
＝25k 2c 2＋c 2，所以4c 2＝25k 2c 2＋c 2，解得k 2
＝325，∴k ＝35
.
答案：
3
5
11。