第15讲 椭圆(教师版)

第15讲 椭圆

（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）

（不用添加内容，也不做修改）

1．定义：

①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数等于2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )．

②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e ，e ∈ ，则P 点的轨迹是椭圆。定点叫做双曲线的 ，定直线l 叫做双曲线的 。

③,,a b c 之间的关系 。

2．标准方程及几何性质：

（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。

（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。

3.椭圆参数的几何意义（如图）：

（1）12PF PF += ， （2）12PM PM += ，

（3

）

1212||||

||||

PF PF PM PM == ；（4）1122A F A F == ；

（5

）1221A F A F == ；

（6） 1PF ≤≤ ； （7）12BF BF == ，12OF OF == ；12OB OB == ； （8）21F PF ∆中结合定义122PF PF a +=与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段

1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，设122

F PF θ

∠=

，则12

PF F S ∆=

（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）

例1 已知椭圆0632

2

=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

例2 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．

例3 已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P

是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积

例4 已知动圆P 过定点()03，

-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

例5 已知椭圆142

2

=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2，求直线的方程．

例6已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩

⎪

⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．

∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ． 说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨

⎧<-<-,

03,

05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．

例7 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹． 分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．

解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2

x x =

，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12

02

0=+y x ．

将x x 20=，y y =0代入方程12

020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，

设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，

从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．

例8已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．

分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212

212

212

x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，

所以33=c ．因为焦点在x 轴上，

所以椭圆方程为

19

362

2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132

=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以

13

37221-

=+x x ，

13

83621⨯=

x x ，

3

=k ， 从而

13

48]4))[(1(1212212212=

-++=-+=x x x x k x x k AB ．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求