《线代期中试题C》word版

线性代数期中考试试卷
C
班级 学号 姓名 成绩
一、填空题(每小题3分共15分)
1. 行列式：11111230
13001000
D =
= 2. k 满足什么条件 时，方程组123123123
0020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=⎩有非零解。

3 .设011101110A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，||0A xI -=的根为 。

4.
=-=A A A A T ，则阶矩阵，且满足为2003
5. ()=-1
**A A n A 为其伴随矩阵，则　
阶矩阵且可逆，为已知 二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母。

每小题3分共15分）
1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

（A ）001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B) 100000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 100012001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭。

2．设A 为n 阶方阵，且2
50A A I +-=。

则1
(2)A I -+=（ ）
(A) A I -； (B)I A +； (C) 1()3A I - (D) 1()3
A I +。

3．设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，212223111213313233a a a B a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
且A 是可逆阵，则1
B -=( )。

(A) 1(1,2)P A -； (B) 1
(1,2)A P -； (C) (1,2)P A ； (D) (1,2)AP 。

4．设,,A B C 均为n 阶方阵，I 是n 阶单位阵，若ABC I =，则下列等式中不成立的是
( )。

(A) CAB I =； (B) BCA I =； (C)1
1
1
B A
C I ---= ； (D)ACB I =。

5、四阶行列式
1122334
4
0000000
a b a b b a b a
的值等于( )。

(A) 12341234a a a a bb b b -； (B) 12341234
a a a a b
b b b +； (C) 12123434()()a a bb a a b b --； (D) 23231414
()()a a b b a a bb --。

三、计算题(每小题10分共50分) 1．求行列式31125134
20111533
------的值。

2．计算n 阶行列式1234112311
1221
13121
1
n n x n D x x n x x x x
x
x
--=-。

3．利用矩阵的初等变换化矩阵23
137120243283023
743A --⎛⎫
⎪
-- ⎪
=
⎪
-
⎪
-⎝⎭
为阶梯形、最简阶梯形和标
准型。

4．已知A+B=AB ，且121342122A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵B 。

5．解矩阵方程XA B =，其中211210111A -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪
-⎝⎭
，113432B -⎛⎫= ⎪⎝⎭求X 。

四、证明题(每小题10分共20分) ：
1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结论。

2．设A 为n 可逆阵，证明：1**1()()A A --=。

C 卷答案
一、判断题(每小题3分共15分)
1、 9；
2、-1或4；
3、1,2x x ==-；
4、0；
5、
1
||
A A 。

二、选择题(每小题3分共15分)
1、 B ；
2、C ；
3、B ；
4、D ；
5、D 。

三、计算题(每小题10分共50分)
1、解：3
112311
2846
513480
462
1
120112
1116
27
1
5
3
31602
7
D --------=
=
=-------- 8
460810810
2
112
1
1240101516
27010
15----=--=--==---。

2、解：
21
12341
1111112311
12311
122
1
1221
1311312121
111r r n n n x n x n D x x n x x n x x x x x x x x x
x
x x -+----==--
1011111111101111111110011
10111
1
(1)000110011
1000010
11
1
1
n x x x x x x
x x
x
x
+----==----
21
1
1
11111000011
1
1111
1
110111101111(1)
(1)0010011
1
1
1000110
11
r r n n x x
x
x x x x x x
-+
++
----=-=----- 1
12000010
000
100(1)
(1)0010
00011
n n n x
x
x
x x x x
x
x ++---=-=---。

3、231370111112
0241
20241202401
1113283008891208891223743077811077811A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
-------
⎪ ⎪ ⎪
=→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪
⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 120241202412
024011110111101
11108891200014000140
7781100014000
00------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
--------- ⎪ ⎪ ⎪
→→→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(阶梯形)
10
2
21
02
021
0000011110
11030
100000014
00014
001000
0000000000
0000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
---- ⎪ ⎪ ⎪
→→→ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(最简阶梯形) (标准形) 4、解：因为1
()()A B AB A I B A B A I A -+=⇒-=⇒=-，又因为
021()332121A I ⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪⎝⎭
因此
021121021121021121332342031024010103121122121122121122⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
121122101324100001010103010103010103021121001325001325-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
001 103325B ⎛⎫
⎪
∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭
5、解：因为1
XA B X BA -=⇒=，故
21101001010021001100
101
011131031
01031133123323
234322352252
5
2-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
100100010010101001321221282255333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
---
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 221 8253
3X -⎛⎫ ⎪∴= ⎪-- ⎪⎝⎭。

四、证明题(每小题10分共20)
1、证明：因为,T T A A B B ==-，所以
()()()()T
T
T
T
T
T
T
AB BA AB BA B A A B BA A B AB BA -=-=-=---=-。

2、证明： 因为*11*11*1
||()()||()||AA A I A A A I A A A -----=⇒=⇒=，又因为
**1111()()||||||A A I A A A A A A --==⇒== 综上可得：1*1*
()()A A --=。