高一数学三角函数讲义

三角函数讲义
知识要点:
一、角的概念与推广:任意角的概念;象限角（轴线角）、终边相同的角;
二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；
弧长公式：r l α=
扇形面积：S=α22
121r r l =⋅
三角函数线:如右图,有向线段A Ｔ与M Ｐ O Ｍ 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。

三、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有:
1、 常数代换法：如：αααααα2222
tan sec cot tan cos sin 1-=⋅=+=
2、 配
角方
法：
β
βαα-+=)(
()βαβαα-++=)(2
2
2
βαβ
αβ--
+=
3、 降次与升次:2
2cos 1sin 2
αα-= 22cos 1cos 22
αα+= 以及这些公式的
变式应用。

4、 ()θααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中a
b
=
θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。

5、 常见三角不等式:
（1
）、若
x x x x tan sin .2,0<<⎪⎭
⎫
⎝⎛∈则π (２)、若
2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭
⎫
⎝⎛∈x x x 则π
（３）、1cos sin ≥+x x 6、 常用的三角形面积公式：
（
1
）
、
c b a ch bh ah S 2
1
2121===
(2)、
B ac A bc
C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===
（3）、
S =
四、三角函图象和性质:
正弦函数图象的变换：
()()
αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换
万能公式:
2tan 12tan
2tan ,2tan 12tan 1cos ,2
tan 12tan
2sin 2
2
2
2α
-α
=αα+α-=αα
+α
=
α 证：2tan 12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 21
sin sin 2
22α+α=α+ααα=
α=α
2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1
cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=
α=α
2
tan 12tan
22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=
α
α=α
例1 已知
5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ
+θ,求3c ｏｓ 2θ + 4ｓｉn 2θ 的值。

解：∵
5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ ∴cos θ ≠ ０ (否则 2 ＝ - 5 ) ∴
53
tan 1
tan 2-=-θ+θ 解之得：ta ｎ θ = 2 ∴原式57
2122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32
22222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-=
２.已知s ｉｎｘ =
54，且x 是锐角,求2
cos 2sin x
x ±的值。

)55,553(- 3.下列函数何时取得最值?最值是多少?
1︒x x y 2cos 2sin = )21,21(min max -==
y y 2︒x x y 2cos sin 2-= )2
1
,23(min max -==y y
３︒)7cos(2)722cos(π+-π+=x x y )2
3
,3(min max -==y y
4．若α、β、γ为锐角,求证：α + β ＋ γ ＝ 4π
5.求函数x x x f sin cos )(2+=在]4
,4[π
π-上的最小值。

)221(- 关于三角函数的几种解题技巧
一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：
1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道
)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或,例如:
例１ 已知θθθθ33cos sin ,3
3
cos sin -=
-求。

解:∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故:3
1cos sin 31)33(
cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39
4
3133]313)33[(332=⨯=⨯+=
例2 已知:tg α＋ctg α＝２，求αα44cos sin +
解:αα44cos sin +＝αα44cos sin ++2 ｓin 2αｃos 2α－2 ｓin ２αcos 2α ＝（s ｉn 2α+cos 2α)- 2 sin 2αcos 2α ＝1-2 (sin αc ｏs α)2
=1-2)21(2⨯ =211- =2
1
二、关于“托底”方法的应用:
在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α(或ｃo ｓα)的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。

方法如下:
例 3 已知:tg α=3,求α
αα
αcos sin 2cos 3sin +-的值。

解:由于t ｇα=30cos 2
≠⇒+
≠⇒απ
παk 故,原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+
⋅⋅
-ααα
ααααα
α
αtg tg
例4 已知:ct ｇα= -3，求ｓｉｎαcos α-co ｓ2α＝?
三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用:
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+±++=±x b a b x b a a b a x b x a sin cos sin cos 2
2222
2
由于1)(
)(
22
2
22
2
=+++b
a b b
a a 。

故可设:2
2
sin b
a a A +=
,则
A A sin 1cos -±=,即:2
2
cos b
a b A +±
=
∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=± 无论x A ±取何值,-1≤ｓin(A ±x ）≤1,
22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即:22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a +
例１ 求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为(A) A.231+ B ．13- C ．2
3
1- D ．13+。