学新教材高中数学第六章平面向量及其应用平面向量的概念教学用书教案新人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用
6．１平面向量的概念
素养目标·定方向
素养目标学法指导
１．理解向量的有关概念及向量的几何表示.（直观想象）
２．理解共线向量、相等向量的概念.（数学抽象）
３．正确区分向量平行与直线平行.（逻辑推理）
４．能够利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力.（数学建模）１．向量是一个既有大小又有方向的量，学习时可以结合物理中的矢量来学习，同时对比数量来感受要素的差异.
２．向量可以用有向线段来表示，因而必然具备有向线段的三要素：起点、方向、长度.学习向量的有关概念时注意类比有向线段，通过对特殊向量的认识，逐步把握向量的特征.
３．相等向量与共线向量之间有一些特殊关系，要善于对比数量特征加深认识.
必备知识·探新知
知识点１向量的基本概念与表示
１．向量的概念
（１）向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量.
（２）数量：只有大小没有__方向__的量称为数量.
２．有向线段
（１）有向线段：具有__方向__的线段叫做有向线段.
（２）表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作__错误!__.
（３）有向线段错误!的长度：线段AB的长度也叫做有向线段错误!的长度，记作__|错误!|__.（４）有向线段的三要素：__起点__、__方向__、__长度__.
３．向量的表示方法
几何表示用__有向线段__来表示向量，有向线段的长度表示向量的__大小__，有向线段的方向表示向量的__方向__.即用有向线段的起点、终点字母表示，如错误!，…
字母表示用小写字母a，b，c，…表示
[知识解读] 用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：a，b，c.书写用错误!，错误!，错误! .
４．向量的相关概念
向量的模向量错误!的大小称为向量错误!的长度（或模），记作__|错误!|__
零向量长度为0的向量叫做零向量，记作__0__
单位向量长度等于__１个单位长度__的向量，叫做单位向量
知识点２相等向量与共线向量
１．平行向量：方向__相同或相反__的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作__a∥b__；规定：零向量与任意向量__平行__，即对任意向量a，都有__0∥a__.
２．相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量，记作a＝b.
３．共线向量：平行向量也叫做共线向量.
[知识解读] １．理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
２．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量（平行向量）有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.共线向量是相等向量的必要条件.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一向量的有关概念
１时间、摩擦力、重力都是向量；
２两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
３若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；
４在菱形ABCD中，一定有错误!＝错误!.
其中所有正确命题的序号为__３４__.
[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断.
[解析] 时间不是向量，故１不正确.
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故２不正确.
单位向量的长度为１，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，１为半径的圆上，故３正确.
４显然正确，故所有正确命题的序号为３４.
[归纳提升] 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
【对点练习】１下列说法中正确的是（ D ）
Ａ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
Ｂ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
Ｃ．向量的大小与方向有关
Ｄ．向量的模可以比较大小
[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
题型二向量的几何表示及应用
典例２某人从A点出发向东走了５米到达B点，然后改变方向按东北方向走了１0错误!米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了１0米到达D点.
（１）作出向量错误!，错误!，错误!.
（２）求错误!的模.
[分析] 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量.
[解析] （１）作出向量错误!，错误!，错误!，如图所示：
（２）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝１0错误!米，CD＝１0米，所以BD ＝１0米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝５米，BD＝１0米，所以AD＝错误!＝５错误!（米），所以|错误!|＝５错误!.
[归纳提升] 向量的两种表示方法及应用
（１）几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.
（２）字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示但需是黑体，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如错误!，错误!，错误!等.便于向量的运算.
【对点练习】２在如图的方格纸中，画出下列向量.
（１）|错误!|＝３，点A在点O的正西方向；
（２）|错误!|＝３错误!，点B在点O北偏西４５°方向；
（３）求出|错误!|的值.
[解析] 取每个方格的单位长为１，依题意，结合向量的表示可知，（１）（２）的向量如图所示.
（３）由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|错误!|＝错误!＝３．
题型三共线向量与相等向量
典例３如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点.
（１）写出与错误!共线的向量；
（２）写出与错误!长度相等的向量；
（３）写出与错误!相等的向量.
[分析] （１）共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；（２）在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；（３）相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与错误!的方向相同的向量.
[解析] （１）∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与错误!共线的向量为错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.
（２）∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝错误!BC，BD＝DC＝错误!BC，∴EF＝BD＝DC.
∵AB，BC，AC均不相等，∴与错误!长度相等的向量为错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.
（３）与错误!相等的向量为错误!，错误!.
[归纳提升] 相等向量与共线向量的探求方法
寻找相等向量先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线
寻找共线向量先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量
【对点练习】３如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有__１２３__.（填序号）
１错误!＝错误!；２错误!∥错误!；
３错误!与错误!共线；４错误!＝错误!.
[解析] ∵错误!与错误!方向相同，长度相等，∴１正确；
∵A，O，C三点在一条直线上，
∴错误!∥错误!，２正确；
∵AB∥DC，∴错误!∥错误!共线，３正确；
∵错误!与错误!方向不同，∴二者不相等，４错误.
易错警示
混淆向量的有关概念
Ａ．0个Ｂ．１个
Ｃ．２个Ｄ．３个
[错解] D
[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆.
[正解] １忽略了0与0的区别，a＝0；２混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；３两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；４当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[误区警示] 明确向量及其相关概念的联系与区别：
（１）区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关.
（２）零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.
（３）平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量.
【对点练习】４下列说法正确的是（ C ）
Ａ．平行向量就是向量所在直线平行的向量
Ｂ．长度相等的向量叫相等向量
Ｃ．零向量的长度为0
Ｄ．共线向量是在一条直线上的向量
[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选Ｃ．。