高三数学一轮复习空间中的平行关系教案高三全册数学教案

城东蜊市阳光实验学校空间中的平
行关系
α=，
A
线面平行的断定定理：假设不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，
aα．
//
b β=⇒．两个平面的位置关系有两种：两平面相交〔有一条公一一共直线〕、两平面平行〕两个平面平行的断定定理：假设一个平面内有两条相交直线都平行////b P a b αα⎪⎪
=⇒⎬⎪
⎪⎪⎭
推论：假设一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。

论
,,,,,//b P a b a b P a b ααβαβ'''''=⊂⊂=⊂⊂⇒
〔2〕两个平面平行的性质〔1〕假设两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；〔2〕假设两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

c
b
典例解析
题型1：一一共线、一一共点和一一共面问题
例1．〔1〕如下列图，平面ABD 平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。

试证明三直线BD 、MQ 、NP 一一共点。

证明：∵四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰， ∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O 。

∵O ∈直线MQ ；直线MQ ⊂平面ABD ， ∴O ∈平面ABD 。

同理，O ∈平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ，
故由公理二知，O ∈直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 一一共点。

点评：由条件，直线MQ 、NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD 是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公一一共点即可．“三点一一共线〞及“三线一一共点〞的问题都可以转化为证明“点在直线上〞的问题。

〔2〕如下列图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定一
一共线。

证明：∵AB ∥CD ， ∴AB ，CD 确定一个平面β．
又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公一一共点。

同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公一一共点．
∵两个平面有公一一共点，它们有且只有一条通过公一一共点的公一一共直线，
α
D
C
B A
E
F
H
∴E ，F ，G ，H 四点必定一一共线。

点评：在立体几何的问题中，证明假设干点一一共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公一一共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。

例2．：a ，b ，c ，d 是不一一共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 一一共面。

证明：1o 假设当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A d ，如图1所示： ∴直线d 和A 确定一个平面α。

又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 那么A ，E ，F ，G ∈α。

∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α。

同理可证b ⊂α，c ⊂α。

∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内。

2o 当四条直线中任何三条都不一一共点时， 如图2所示：
∵这四条直线两两相交，那么设相交直线a ，b 确定一个平面α。

设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，那么H ，K ∈α。

又H ，K ∈c ，∴c,那么c ⊂α。

同理可证d ⊂α。

∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．
点评：证明假设干条线(或者者假设干个点)一一共面的一般步骤是：首先根据公理3或者者推论，由题给条件中的部分线(或者者点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或者者点)均在这个平面内。

此题最容易无视“三线一一共点〞这一种情况。

因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义。

题型2：异面直线的断定与应用 例3．：如下列图， ＝a ，b ⊂，a b ＝A ，c ⊂
，c ∥a 。

求证直线b 、c 为
异面直线。

α
b a
d
c
G F E
A a b
c d
α
H
K 图1
图2
证法一：假设b、c一一共面于．由A∈a，a∥c知，A∉c，而a b＝A，
＝a，
∴A∈，A∈。

又c⊂，∴、都经过直线c及其外的一点A，
∴与重合，于是a⊂，又b⊂。

又、都经过两相交直线a、b，从而、重合。

∴、、为同一平面，这与 ＝a矛盾。

∴b、c为异面直线．
证法二：假设b、c一一共面，那么b，c相交或者者平行。

〔1〕假设b∥c，又a∥c，那么由公理4知a∥b，这与a b＝A矛盾。

〔2〕假设b c＝P，b⊂，c⊂，那么P是、的公一一共点，由公理2，P∈a，又b c＝P，即P∈c，故a c＝P，这与a∥c矛盾。

综合〔1〕、〔2〕可知，b、c为异面直线。

证法三：∵ ＝a，a b＝A，∴A∈a。

∵a∥c，∴A∉c，
在直线b上任取一点P〔P异于A〕，那么P∉〔否那么b⊂，又a⊂，那么、都经过两相交直线a、b，那么、重合，与 ＝a矛盾〕。

又c⊂，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线〞知，b、c为异面直线。

点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．。

异面直线又有两条途径：其一是直接假设b、c一一共面而产生矛盾；其二是假设b、c平行与相交；分别产生矛盾。

断定直线异面，假设为解答题，那么用得最多的是证法一、二的思路；假设为选择或者者填空题，那么往往都是用证法三的思路。

用反证法证题，一般可归纳为四个步骤：〔1〕否认结论；〔2〕进展推理；〔3〕导出矛盾；〔4〕肯定结论．
宜用反证法证明的命题往往是〔1〕根本定理或者者某一知识系统的初始阶段的命题〔如立体几何中的线面、面面平行的断定定量的证明等〕；〔2〕肯定或者者否认型的命题〔如结论中出现“必有〞、“必不存在〞等一类命题〕；〔3〕唯一型的命题〔如“图形唯一〞、“方程解唯一〞等一类命题〕；〔4〕正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；〔5〕结论中出现“至多〞、“不多于〞等一类命题。

例4．〔1〕异面直线a,b 所成的角为700
，那么过空间一定点O ，与两条异面直线a,b 都成600
角的直线有()条 A ．1B ．2 C ．3D ．4
〔2〕异面直线a,b 所成的角为θ,空间中有一定点O ，过点O 有3条直线与a,b 所成角都是600，那么θ的取值可能是〔〕
A ．300
B ．500
C ．600
D ．900
解析：〔1〕过空间一点O 分别作a '∥a,b '∥b 。

将两对对顶角的平分线绕O 点分别在竖直平面内转动，总能得到与b a '',都成600
角的直线。

故过点O 与a,b 都成600
角的直线有4条，从而选D 。

〔2〕过点O 分别作a '∥a 、b '∥b ，那么过点O 有三条直线与a,b 所成角都为600
，等价于过点O 有三条直线与b a '',所成角都为600
，其中一条正是θ角的平分线。

从而可得选项为C 。

点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象才能。

题型3：线线平行的断定与性质
例5．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，以下命题中正确的选项是〔〕 A ．假设a ∥M ，b ∥M ，那么a ∥b B ．假设a ∥M ，b ⊥a ，那么b ⊥M
C ．假设a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，那么l ⊥M
D ．假设a ⊥M ，a ∥N ，那么M ⊥N
解析：解析：A 选项里面，假设a ∥M ，b ∥M ，那么有a ∥b 或者者a 与b 相交或者者a 与b 异面。

B 选项里面，b 可能在M 内，b 可能与M 平行，b 可能与M 相交.C 选项里面须增加a 与b 相交，那么l ⊥M 。

D 选项证明如下：∵a ∥N ，过a 作平面α与N 交
于c ，那么c ∥a ，∴c ⊥M.故M ⊥N 。

答案D 。

点评：此题考察直线与直线、直线与平面、平面与平面的根本性质。

例6．两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM=FN ，求证：MN ∥平面BCE 。

证法一：作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，那么MP ∥AB ，NQ ∥AB 。

∴MP ∥NQ ，又AM=NF ，AC=BF ， ∴MC=NB ，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ
∴MP=NQ ，故四边形MPQN 为平行四边形 ∴MN ∥PQ
∵PQ ⊂平面BCE ，MN 在平面BCE 外， ∴MN ∥平面BCE 。

证法二：如图过M 作MH ⊥AB 于H ，那么MH ∥BC ， ∴
AB
AH
AC AM =
连结NH ，由BF=AC ，FN=AM ，得AB
AH
BF FN =
∴NH//AF//BE
由MH//BC,NH//BE 得:平面MNH//平面BCE ∴MN ∥平面BCE 。

题型4：线面平行的断定与性质
例7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，
,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1
,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===，求证：//MN 面
11ADD A 。

证明：取CD 的中点K ，连结,MK NK ； ∵,,M N K 分别为1,,AK CD CD 的中点 ∵1//,//MK AD NK DD
Q
P
M
N
F E
D
C B A
H M
N
F
E
D
C
B
A
∴//MK 面11ADD A ，//NK 面11
ADD A
∴面//MNK 面11ADD A ∴//MN 面11ADD A
点评：主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等根底知识，主要考察线面平行的断定定理。

例8．如下列图，正四棱柱ABCD —A1B1C1D1，点E 在棱D1D 上，截面EAC ∥D1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB ＝a.
〔Ⅰ〕求截面EAC 的面积；
〔Ⅱ〕求异面直线A1B1与AC 之间的间隔； 解：〔Ⅰ〕如下列图，连结DB 交AC 于O ，连结EO 。

∵底面ABCD 是正方形， ∴DO ⊥AC
又∵ED ⊥底面AC ， ∴EO ⊥AC
∴∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角， ∴∠EOD ＝45° DO ＝
22a ，AC ＝2a ，EO ＝2
2
a·sec45°＝a ， 故S △EAC=
21
EO·AC ＝2
2a2． 〔Ⅱ〕由题设ABCD —A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A ⊥底面AC ，A1A ⊥AC ． 又A1A ⊥A1B1，
∴A1A 是异面直线A1B1与AC 间的公垂线. ∵D1B ∥面EAC ，且面D1BD 与面EAC 交线为EO ， ∴D1B ∥EO ， 又O 是DB 的中点
∴E 是D1D 的中点，D1B ＝2EO ＝2a. ∴D1D ＝
2221=-DB B D a
图
异面直线A1B1与AC 间的间隔为
2a.
题型5：面面平行的断定与性质 例9．如图，正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为a 。

证明：平面ACD1∥平面A1C1B 。

证明：如图，∵A1BCD1是矩形，A1B ∥D1C 。

又D1C ⊂平面D1CA ，A1B ⊄平面D1CA ，
∴A1B ∥平面D1CA 。

同理A1C1∥平面D1CA ，又A1C1 A1B ＝A1，∴平面D1CA ∥平面BA1C1．
点评：证明面面平行，关键在于证明A1C1与A1B 两相交直线分别与平面ACD1平行。

例10．P 是△ABC 所在平面外一点，A ′、B ′、C ′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。

〔1〕求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC ；
〔2〕S △A′B′C′∶S △ABC 的值。

解析：(1)取AB 、BC 的中点M 、N ，
那么32='='PN A P PM
C P ∴A ′C ′∥MN A ′C ′∥平面ABC 。

同理A ′B ′∥面ABC ，
∴△A ′B ′C ′∥面ABC.
(2)32='=''PN A P MN
C A ⇒A ′C ′=32MN=32·21AC=31AC 31=''AC C A ，
同理
BC C B AC B A ''==''31 ∴91)(2=''=∆'''∆AC C A S S ABC
C B A
思维总结
在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置
关系)的根底上，研究有关平行的断定根据(定义、公理和定理)、断定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步理解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探究立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中进步逻辑思维才能、空间想象才能及化归和转化的数学思想的应用．
1．用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联络。

2．注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。

3．注意下面的转化关系：
4．直线和平面互相平行
证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线互相平行；证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这条直线的方向量和这个平面的法向量互相垂直。

5．证明两平面平行的方法：
〔1〕利用定义证明。

利用反证法，假设两平面不平行，那么它们必相交，再导出矛盾。

〔2〕断定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行那么面面平行。

用符号表示是：a∩b ，a
α，b α，
a ∥β，
b ∥β，那么α∥β。

〔3〕垂直于同一直线的两个平面平行。

用符号表示是：a ⊥α，a ⊥β那么α∥β。

〔4〕平行于同一个平面的两个平面平行。

//,////αβαγβγ⇒
两个平面平行的性质有五条：
〔1〕两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，那么线面平行〞。

用符号表示是：α∥β，a α，那么a ∥β。

〔2〕假设两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，那么线线平行〞。

用符号表示是：α∥β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，那么a ∥b 。

〔3〕一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。

这个定理可用于证线面垂直。

用符号表示是：α∥β，a ⊥α，那么a ⊥β。

b β=⇒////b P a b αα⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭。